第二章 地图的数学基础1-3节

第2章地球体与地图投影地图投影需要解决的矛盾地球是圆的，地图是平的，究竟采用什么方法，才能将球面的景物精确地描绘到平面图纸上。（经纬网、高程网）大与小的矛盾。（比例尺）地图的数学基础是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等数学要素。第1节地球体一、地球体的基本特征（一）地球的自然表面浩瀚宇宙之中:地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。机舱窗口俯视大地:地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。

——

珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。事实是：

地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。（二）地球的物理表面

当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。

大地水准面:假定海水静止不动,将海水面无限延伸,穿出大陆包围地球的球体。它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。

大地体:大地水准面包围的形体。研究大地水准面的意义1.地球形体的一级逼近__大地体： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。2.起伏波动在制图学中可忽略：

对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。3.

实质是重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。

(三）地球的数学表面在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。椭球体三要素:

长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f对

a，b，f

的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。 对地球形状a，b，f

测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近——参考椭球体。由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。我国所采用的参照椭球体1954年北京坐标系采用1940年克拉索夫斯基椭球体参数；1980年西安坐标系采用1975年IUGG（国际大地测量与地球物理联合会）椭球体参数；2000年国家大地坐标系全球定位系数则采用WGS-84世界大地坐标系统，G873)椭球体。参考椭球面自然表面物理表面数学表面地球体大地水准面测量计算的基础面测量实施的基础面自然面、物理面、数学面关系图自然表面大地水准面参考椭球面二、地理坐标用经线、纬线、经度、纬度表示地面点位的球面坐标。天文经纬度大地经纬度地心经纬度①天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。②大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度λ

、大地纬度

和大地高h表示。大地经度λ

：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。曲面上某一点的法线指的是经过这一点并且与曲面垂直的那条直线。

③地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度等同大地经度L，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角Ψ。在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。第2节大地测量系统一、中国的大地坐标系

1952年前:海福特（Hayford）椭球体；

1953—1980年:克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）；

1980年以后：

GRS1975（国际大地测量与地球物理学联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。ICA-75椭球参数a=6378140mb=6356755mf=1/298.257二、中国的大地控制网

平面控制网:按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成。

由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。（一）平面控制网三角测量：建立平面控制网，使以大地原点为基础，在全国范围内选择一系列控制点，建立起一系列的三角形，通过测定所有三角形的内角，利用正弦定理即可推算各三角形边长及各控制点的坐标。导线测量：把各个控制点连接成连续的折线，然后测定这些折线的边长和转角，最后根据起算点的坐标和方位角推算其他各点坐标。包括闭合导线、附合导线。布设原则：由高级到低级，由整体到局部，步步有检核。方位（角）的概念从北方起算顺时针方向到某方向线绕过的角度称为该方向线的方位角。

（0°－360°）OBA从北方或南方顺时针或逆时针到某方向线绕过的角度称为该方向线的象限角。

（0°－90°）BACDNEWSN等级边长分布密度分布方向一等三角锁20~25km锁与锁间距200km沿经纬线分布二等三角网13km150km2有一控制点（1：10万，1：5万》3点）在一等加密三等三角网8km50km2有一控制点（1：5万2~3点）在二等加密四等三角网4km20km2有一控制点（1：1万~2点）在三等加密高程控制网:

按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。水准测量方法：是借助仪器所提供的水平视线来测定两点间的高差。三角高程测量：是根据三角原理球的两点间高差的一种方法。中国高程起算面是黄海平均海水面。（二）高程控制网一等水准线是国家高程控制骨干，一般沿地质基础稳定、交通不甚繁忙、路面坡度平缓的交通干线布设，并构成网状；二等水准路线，沿公路、铁路、河流布设，同样也构成网状；三、四等水准路线，直接提供地形测量的高程控制点。青岛观象山水准原点我国采用的高程系1956年黄海高程系取1950年－1956年共7年的验潮资料水准原点高程为：72.289米1985年国家高程基准取1953年－1979年共27年的验潮资料水准原点高程为：72.260米地方高程系绝对高程（海拔）：地面点到大地水准面的垂直距离相对高程：地面点到任一水准面的垂直距离。高差：某两点的高程之差。li国家测绘局国家测绘局国家测绘局国家测绘局三、全球定位系统-GPS 全球定位系统(GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。（一）卫星定位的技术优势观测点之间无需通视提供3维坐标定位精度高观测时间短全天候定位操作简便（二）GPS系统的组成部分

空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。

地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。

用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。第3节地图投影（一）地球仪上经纬网的特点1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。3.经线和纬线是相互垂直的。

一、地图投影的概念4.同一经线上纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，由赤道向两极递减。5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。（二）地图表面和地球球面的矛盾

地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。地图表面和地球球面的矛盾（三）地图投影的概念

地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法。

数学上的投影面1面2几何学－－透视原理承影面灯源物体（投）影物体的形状、灯源的位置、以及承影面的形状都将影响投影的结果。地图投影地图投影是在几何投影的基础上发展起来的平面球面F（，）＝f（x,y）地图投影的实质就是球面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面图纸上。二、地图投影变形变形是必然的－－球面不可展（一）投影变形的性质

把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面。

（二）变形椭圆

取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。变形椭圆为经线长度比；为纬线长度比微小圆→变形椭圆

该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入：X2+Y2=1，得特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向.

长轴方向(长度比)a短轴方向(长度比)b经线方向(长度比)m

纬线方向(长度比)n统称主方向阿波隆尼定理(Apollonius):

椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；

两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。根据阿波隆尼定理有:m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b

椭圆共轭直径:过椭圆内任一条直径(图中LL)的平行弦中点的轨迹(图中KK)。KKLOθabmnL

(三）长度比和长度变形

长度比（m）:投影面上一微小线段dS′（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段dS（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。>0变大=0不变<0变小长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。长度变形(Vm):长度比与1的差。（四）面积比和面积变形

面积比（P）:投影面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（小圆面积）dF之比．面积变形（Vp）:面积比与1的差。>0变大=0不变<0变小P=a·b=m

·

n(q=90)P=m

·

n

·sinq(q≠90)面积比是变量，随位置的不同而变化。（五）角度变形

角度变形：投影面上任意两方向线夹角与球面上相应两方向线夹角之差。以ω表示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A′点的坐标为(x

′、y′)，则(自学）将两式相除，得：显然当（a+a

′）=90°时，右端取最大值，则最大方向变形：以w表示角度最大变形：若已知

m,n,q，则：（五）等变形线

在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。

等变形线就是变形值相等各点的连线。它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，在方位投影中，因投影中心点无变形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变形线成同心圆状分布。

等变形线通常是用点虚线来表示的。

三、地图投影方法（一）几何投影法

地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如平面、圆柱面和圆锥面。几何透视法是一种比较原始的投影方法，有很大的局限性，难于纠正投影变形，精度较低。绝大多数地图投影都采用数学解析法。数学解析法是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。大多数的数学解析法往往是在透视投影的基础上，发展建立球面与投影面之间点与点的函数关系的，因此两种投影方法有一定联系。

（二）数学解析法（二）数学解析法——以正轴圆锥投影为例经线投影为放射直线，经差l与投影面上d成正比：d=c·l（c为圆锥系数，0<c<1）。纬线投影为同心圆弧，其半径r是纬度的函数，r

=f（）。圆锥投影的一般公式为：X=r

s-

r

cosδr

=f()

Y=r

sind