第三讲 期望值法

回顾旧知

一个事件的概率越大，它发生的可能性就越大.当面对未来情况的各种状态时，由于已经知道它们出现的概率，或者这些概率可以估算出来，决策者就可以挑选其中概率最大状态作为考虑问题的出发点，然后再挑选对自己最有利的行动方案.最大可能法：第一步明确问题的决策目标；第二步明确未来状态x1，x2，…及其概率，确定可供选择的方案a1，a2，…；第三步明确损益函数R（a，x）或损益函数R；第四步由未来状态的概率与R（a，x）（或R）从a1，a2，…中选出最佳行动方案.最大可能法进行决策的步骤课前导入

在做风险决策时，我们通过上节课的学习知道，在进行决策时，未来状态出现的概率与之有很大的关系.而通过以前的学习，我们了解到，每个可行方案期望损益值的计算都与未来出现的状态有关.所以，我们可以从期望的角度来进行风险决策.这就是我们今天将要讲到的期望值法.第三讲期望值法

1.在理解最大可能法的基础上，对比学习本节内容——期望值法；

2.熟悉并掌握期望值法的方法，并能灵活应用它解决实际问题.知识与能力教学目标

1.通过期望值法的学习，理解和掌握另外一种风险与决策方法的应用；

2.通过本节的学习，复习再学习期望值这个概念，并了解它应用；

3.掌握期望值法的基本过程，了解它的原理，学会简单的应用.过程与方法

1.通过对另外一种风险与决策方法的具体了解，能够更加深刻地体会数学中的联系与结合，有利于对风险与决策这一概念的理解和掌握.2.在本节课学习的基础上，培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于对以前知识的深刻理解.情感态度与价值观对比上一讲最大可能法，初步了解期望值法，并掌握其初步应用.重点教学重难点深刻准确地理解期望值法的应用，掌握其与最大可能法的区别和联系，并能利用它分析并解决实际问题.难点

在风险决策问题中，当决策目标确定后，可以考虑用离散型随机变量来描述面临的各个行动方案，通过计算期望求出决策目标的期望所得，然后比较这些期望值，得到最优期望值，相应的备选方案就是决策者应采纳的最佳行动方案.这种方法被称为期望值法.提示和上一讲的最大值法相比较，他们之间有什么区别和联系呢？实际问题

为生产某种产品，投资方有两种投资方案，一个是建设大工厂，另一个是建设小工厂.大工厂需要投资300万元，小工厂需要投资150万元，两者的使用期限都是10年.估计在此期间，产品畅销的概率是0.7，产品滞销的概率是0.3.两个方案的年度收益情况如下表所示.投资方应该做出怎样的决策呢？

这个问题我们在上一讲是讲过的，而现在我们要试着用期望值法来进行风险决策.方案a1：造大工厂a2：造小工厂x1：产品畅销x2：产品滞销0.70.310040-2020

两个方案的10年收益情况单位：万元期望640340

设离散随机变量X1，X2分别表示造大工厂和造小工厂投产10年的收益值，由上表可知，我们已知道X1，X2的概率分布如下:X11000-200P0.70.3X2400200P0.70.3算出它们的期望为E（X1）=1000×0.7+（-200）×0.3=640E（X2）=400×0.7+200×0.3=340

以上这两个值反映了投资方案采纳不同基建方案时可能得到的收益值，通常称为收益的期望或期望收益，所以可以把它们填在表的最后一列中.投资方案采纳大工厂的利润预测为E（X1)——造大工厂投资=640-300=340（万元）;E（X2)——造大小厂投资=340-150=190（万元）.注意

两者比较，应该认为造大工厂的基建方案对投资方案更为有利，这一结果和最大可能法得到的结果是一致的.练一练

某公司准备进口一种新产品，根据国内市场以往同类产品的销售情况，具有销售差、销路一般以及销售好三种销售状态，相应的概率分别是0.4，0.55以及0.05.如果进口并投入市场，在三种状态销售下的相应结果是：亏80万元，盈50万元以及盈200万元.当然也可以不进口这种产品，这样公司既不亏损也不盈利.公司应该使用期望值法进行决策呢？

解：设离散型随机变量X表示进口这种产品并投入市场的收益值（单位：万元），由题意容易得到X的概率分布列如下:X-8050200P0.40.550.05X的期望为E（x）=（-80）×0.4+50×0.55+200×0.05=505.还记得他是什么吗?

上面的期望反映了销售这种产品的期望收益.如果不进口这种产品，公司既不亏也不盈，期望值应该是0.两者相比，公司可以采纳进口并销售这种产品的方案.

注意

这里需要特别指出，今后为了叙述起来方便，我们常常不再设离散变量，而直接写成求各个备选方案损益的期望值，作为比较各方案优劣的基础.

当然，作出这样决策后，应该受面临的风险不小，因为有百分之四十的可能会亏损80万元.实际问题

长江沿岸的某市为了防止洪水对该市的袭击，决定整修一段防护堤，当地有记录的洪水资料可得，一般洪水发生的可能性为70%，他不会对防护堤气破坏作用；较大洪水发生的可能性为25%，他和对防护堤造成轻微破坏；特大洪水发生的可能性为5%，它能对防护堤造成严重破坏.工程技术人员经过反复研究，提出了三个可行方案：整修堤岸，增高并加固堤岸，修建混凝土防水墙.每个方案的实施所需费用（包括修建费用和洪水发生后造成的损失）如下表所示.该市如可进行决策呢?X1：一般洪水X2：较大洪水X3：特大洪水0.700.250.05方案a1：整修堤岸a2：增高并加固堤岸a3：修建混凝土防水墙303540403840504245期望值33.536.140.25三个防洪方案的费用情况单位：千万元

解：由题意可知，该市的决策目标应该是所需的费用最少.由上表可知，方案a1（整修堤岸）所需的费用的期望值为30×0.70+40×0.25+50×0.05=33.5（千万元）；方案a2（增高并加固堤岸）所需费用的期望值为35×0.70+38×0.25+42×0.05=36.1（千万元）;方案a3（修建混凝土防水墙)所需费用的期望为40×0.70+40×0.25+45×0.05=40.25（千万元）.本例的损益矩阵是

把计算结果填入上表的最后一列，经比较大小，容易看出，整修堤坝的方案所需的方案所需要期望费用33.5千万元最小，方案a1应该作为最佳方案被采纳.这和原来的做法有什么不同？课堂小结1.期望值法：在风险决策问题中，当决策目标确定后，可以考虑用离散型随机变量来描述面临的各个行动方案，通过计算期望求出决策目标的期望所得，然后比较这些期望值，得到最优期望值，相应的备选方案就是决策者应采纳的最佳行动方案.这种方法被称为期望值法.2.用期望值进行风险型决策的步骤如下：第一步明确问题的决策目标；第二步确定未来状态x1，x2，…及其概率，确定可供选择的各个方案a1，a2，…；第三步确定损益函数R（a，x）或损益函数R；第四步求出各个方案a1，a2，…的损益期望值，根据决策目标求出最佳行动方案.习题答案习题三参考解答.1.用期望值法.(1)决策目标：得分最大.(2)未来状态及其概率：P（普通硬币）=2/3，P(特制硬币）=1/3.备选方案：a1:判断为普通硬币，a2：判断为特制硬币.(3)损益矩阵R：(4)方案a1：设X1为采纳a1的得分值，它是一个离散型随机变量，分布列为X19-12P2/31/3方案a1的得分期望值为E（X1）=2;同理得，方案a2的得分期望值为1.

因为E（X1）〉E（X2），所以应该采纳方案a1，即判断取出的一枚硬币为普通硬币，这时得分的期望值是2.2.用期望值法.决策目标：利润最大.

损益矩阵，(3)计算方案的期望值.方案a1的期望收益：9000元；方案a2的期望收益：10400元.

作比较，由于10400〉9000，所以最优决策方案a2，即应去采购哈密瓜.3.用期望值法.

我们注意到，用期望值法的风险决策结果与最大可能法的结果不同.期望值法考虑到三点未来天气的状态，而最大可能法只考虑未来天晴状态比较方案a1与a2的优劣.考虑问题的出发点不同，得到的结果就有可能不同.第一个决策目标：收益最大.状态：x1——新设备畅销；

x2——新设备滞销.(2)益损矩阵为(3)方案a1的期望收益为15万元；方案a2的期望收益为12.5万元.

经比较，由于15〉12.5，所以采纳a1为最佳方案，即出售新设备的图纸.备选方案a1：出售图纸；

a2：自己制造.第二个

用同样的方法，我们可以知道，方案a1的期望收益小于方案a2的期望收益，所以，应采纳a2为最佳方案，即公司自己制造新设备.注意：本题说明当未来的状态改变时，最佳的选择方案也有可能会改变.4.(1)由于随意遇到的一名高一(1)班同学可能有票，也可能没有，这就是可能出现两种未来状态x1和x2.题目中没有直接给出它们的概率，但我们可由已知条件推算出来：