2017-2018版高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法学案1-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12学必求其心得，业必贵于专精PAGE2。2。1综合法与分析法明目标、知重点1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题。1。综合法从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.2.分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实。[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的,并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验,但这些经验是零散的、不系统的,这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识.探究点一综合法思考1请同学们证明下面的问题,总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2）≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a〉0，所以a（b2＋c2）≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b（c2＋a2)≥2abc。因此a（b2＋c2)＋b（c2＋a2)≥4abc。总结：此证明过程运用了综合法。一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.思考2综合法又叫由因导果法,其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想"，所以综合法是演绎推理.例1在△ABC中,三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A,B，C成等差数列,a,b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形。证明由A，B，C成等差数列,有2B＝A＋C，①由于A，B,C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π。②由①②，得B＝eq\f(π,3),③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④由余弦定理及③,可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即（a－c)2＝0,从而a＝c，所以A＝C。⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f（π，3），所以△ABC为等边三角形。反思与感悟综合法的证明步骤如下：（1）分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等;(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化,书写出严密的证明过程.跟踪训练1在△ABC中，eq\f(AC，AB)＝eq\f（cosB，cosC)，证明：B＝C。证明在△ABC中，由正弦定理及已知得eq\f（sinB，sinC)＝eq\f（cosB，cosC）.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin（B－C）＝0,因为－π<B－C<π，从而B－C＝0，所以B＝C。探究点二分析法思考1回顾一下:基本不等式eq\f（a＋b,2)≥eq\r(ab）(a〉0，b>0)是怎样证明的？答要证eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab），只需证a＋b≥2eq\r（ab）,只需证a＋b－2eq\r(ab）≥0，只需证（eq\r（a)－eq\r(b）)2≥0，因为（eq\r(a)－eq\r(b））2≥0显然成立，所以原不等式成立。思考2证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件,最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件。小结一般地,从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理）为止，这种证明方法叫做分析法.思考3综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发,逐步推向未知，每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件.例2求证：eq\r(a)－eq\r（a－1）〈eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3）.证明方法一要证eq\r(a）－eq\r（a－1)<eq\r（a－2）－eq\r（a－3)，只需证eq\r(a）＋eq\r(a－3)<eq\r（a－2)＋eq\r(a－1）,只需证(eq\r(a)＋eq\r（a－3)）2<(eq\r（a－2）＋eq\r（a－1)）2，只需证2a－3＋2eq\r（a2－3a)<2a－3＋2eq\r(a2－3a＋2），只需证eq\r（a2－3a)<eq\r（a2－3a＋2)，只需证0<2，而0<2显然成立，所以eq\r(a)－eq\r(a－1）<eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3).方法二∵eq\r（a）＋eq\r(a－1)〉eq\r(a－2)＋eq\r（a－3）>0，∴eq\f(1,\r（a）＋\r(a－1））<eq\f（1,\r（a－2）＋\r（a－3)）,∴eq\r(a）－eq\r（a－1）〈eq\r(a－2）－eq\r(a－3）.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法。跟踪训练2求证：eq\r(3）＋eq\r(7）〈2eq\r(5）.证明因为eq\r（3）＋eq\r(7）和2eq\r（5）都是正数，所以要证eq\r（3）＋eq\r（7)<2eq\r(5)，只需证(eq\r（3）＋eq\r（7））2<（2eq\r（5)）2，展开得10＋2eq\r（21）〈20，只需证eq\r（21）<5，只需证21<25，因为21〈25成立，所以eq\r（3）＋eq\r（7)〈2eq\r(5）成立.探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中,怎样选用综合法或分析法?答对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法;对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来,先用分析法去转化结论,得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证。例3已知α，β≠kπ＋eq\f（π，2)(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，①sinθcosθ＝sin2β。②求证：eq\f（1－tan2α，1＋tan2α）＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β)。证明因为(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，所以将①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1。③另一方面，要证eq\f(1－tan2α,1＋tan2α）＝eq\f（1－tan2β,21＋tan2β)，即证eq\f(1－\f(sin2α，cos2α），1＋\f（sin2α,cos2α））＝eq\f（1－\f（sin2β,cos2β),21＋\f(sin2β，cos2β）)，即证cos2α－sin2α＝eq\f(1，2)(cos2β－sin2β)，即证1－2sin2α＝eq\f（1，2）（1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1。由于上式与③相同，于是问题得证。反思与感悟用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论,则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为:跟踪训练3若tan（α＋β)＝2tanα，求证:3sinβ＝sin（2α＋β)。证明由tan（α＋β）＝2tanα，得eq\f（sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f（2sinα，cosα），即sin（α＋β）cosα＝2cos（α＋β)sinα.①要证3sinβ＝sin（2α＋β），即证3sin［（α＋β)－α］＝sin［(α＋β）＋α]，即证3[sin(α＋β）cosα－cos(α＋β）sinα]＝sin（α＋β）cosα＋cos(α＋β)sinα,化简得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β）sinα。这就是①式.所以,命题成立.1。已知y>x〉0，且x＋y＝1，那么（）A。x〈eq\f(x＋y，2）〈y<2xy B。2xy〈x<eq\f（x＋y，2)<yC。x<eq\f(x＋y，2)〈2xy<y D.x<2xy〈eq\f（x＋y,2)<y答案D解析∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝eq\f（3，4），x＝eq\f（1,4），则eq\f(x＋y,2)＝eq\f（1,2），2xy＝eq\f（3，8)，∴x<2xy<eq\f(x＋y,2）<y，故选D。2。欲证eq\r(2)－eq\r(3）<eq\r（6)－eq\r(7）成立，只需证（)A。（eq\r（2）－eq\r（3))2〈（eq\r（6)－eq\r（7))2B。（eq\r（2)－eq\r（6))2〈(eq\r(3）－eq\r(7)）2C。（eq\r（2)＋eq\r(7)）2〈（eq\r(3)＋eq\r（6）)2D。(eq\r(2)－eq\r（3）－eq\r(6))2〈（－eq\r（7))2答案C解析根据不等式性质，a〉b〉0时，才有a2>b2，即证：eq\r（2)＋eq\r(7）〈eq\r(6)＋eq\r(3），只需证:（eq\r(2）＋eq\r(7）)2〈（eq\r(3)＋eq\r(6))2。3.要证明eq\r(3)＋eq\r（7）<2eq\r(5），可选择的方法有很多，最合理的应为________.答案分析法4.已知eq\f（1－tanα,2＋tanα）＝1，求证:cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)。证明要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证eq\f(cosα－sinα，cosα＋sinα)＝3,只需证eq\f(1－tanα，1＋tanα）＝3，只需证1－tanα＝3（1＋tanα),只需证tanα＝－eq\f(1,2），∵eq\f(1－tanα，2＋tanα)＝1，∴1－tanα＝2＋tanα,即2tanα＝