2017学年高中数学2-21.4生活中的优化问题举例含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.4生活中的优化问题举例［学习目标］1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．[知识链接]设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式eq\f(a＋b，2)≥eq\r（ab）（a,b＞0)？答设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为f(x)＝x（c－x）＝cx－x2(0＜x＜c),f′（x）＝c－2x。令f′（x）＝0，即c－2x＝0，得x＝eq\f(c，2）.故当x＝eq\f（c，2）时,f(x）有最大值feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（c，2)）)＝eq\f(c2,4），即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的eq\f(1,4）。若设这两个正数分别为a,b，则有eq\f（a＋b2，4)≥ab(a＞0,b＞0)，即eq\f（a＋b，2）≥eq\r(ab）（a，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立．[预习导引］1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是eq\o（\s\up7(\x(优化问题）→）,\s\do5（))eq\o（\s\up7(\x(用函数表示的数学问题））,\s\do5（）)eq\x(优化问题的答案)←eq\x(用导数解决数学问题)上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．要点一用料最省问题例1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站解如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时,才能使总费用最省，设点C距点D为xkm，则BC＝eq\r（BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402），又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a（50－x）＋5aeq\r(x2＋402）(0〈x<50）．∴y′＝－3a＋eq\f(5ax，\r（x2＋402））。令y′＝0，解得x＝30,（x＝－30舍去)在（0,50）上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20（km）．∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10,p＝6求得，即k＝eq\f(6,103)＝0。006,于是有p＝0。006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0。006v3＋96（元）,而航行1海里所需时间为eq\f（1,v）小时，所以，航行1海里的总费用为：q＝eq\f（1，v)（0。006v3＋96)＝0。006v2＋eq\f（96,v)。q′＝0。012v－eq\f(96，v2）＝eq\f(0。012,v2)(v3－8000)，令q′＝0,解得v＝20。∵当v<20时，q′〈0；当v>20时,q′〉0，∴当v＝20时，q取得最小值,即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．要点二面积、容积的最值问题例2如图,要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm）,能使矩形广告面积最小？解设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20cm，eq\f（y－25，2）cm，其中x〉20，y>25。两栏面积之和为2（x－20）·eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20）＋25.广告的面积S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(18000,x－20)＋25））＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，∴S′＝eq\f（18000［x－20－x],x－202）＋25＝eq\f(－360000,x－202）＋25。令S′>0得x>140，令S′<0得20〈x〈140。∴函数在（140，＋∞）上单调递增，在(20,140）上单调递减，∴S（x）的最小值为S(140）．当x＝140时,y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm,宽为175cm时，可使广告的面积最小．规律方法（1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．（2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型:列出实际问题的数学模型；③写关系:写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x）；④求导：求函数的导数f′（x），解方程f′(x）＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′（x)＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大(小）值；⑥结论：根据比较值写出答案．跟踪演练2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?解如图,设圆柱的高为h，底半径为R,则表面积S＝2πRh＋2πR2，由V＝πR2h,得h＝eq\f(V,πR2），则S（R)＝2πReq\f（V，πR2）＋2πR2＝eq\f（2V，R）＋2πR2，令S′（R)＝－eq\f（2V，R2)＋4πR＝0，解得R＝eq\r（3，\f（V，2π）），从而h＝eq\f(V,πR2)＝eq\f(V，π\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(3,\f（V，2π）)））2)＝eq\r（3,\f(4V,π))＝2eq\r(3,\f(V，2π）)，即h＝2R。因为S(R）只有一个极值，所以它是最小值．所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．要点三成本最省，利润最大问题例3甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b（b>0)；固定部分为a元．（1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为eq\f(s，v)，全程运输成本为y＝a·eq\f(s,v）＋bv2·eq\f（s,v）＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a，v）＋bv）），∴所求函数及其定义域为y＝seq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，v)＋bv）），v∈(0，c](2)由题意s、a、b、v均为正数．y′＝seq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（b－\f（a，v2）)）＝0得v＝eq\r(\f(a，b））.但v∈(0,c]．①若eq\r(\f（a,b）)≤c，则当v＝eq\r（\f(a,b)）时,全程运输成本y最小；②若eq\r(\f(a，b)）〉c，则v∈(0,c］，此时y′〈0，即y在(0,c］上为减函数．所以当v＝c时，y最小．综上可知，为使全程运输成本y最小，当eq\r（\f(a,b))≤c时，行驶速度v＝eq\r(\f（a，b))；当eq\r(\f(a,b)）〉c时，行驶速度v＝c。规律方法正确理解题意，建立数学模型,利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意:①合理选择变量，正确给出函数关系式．②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．跟踪演练3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－eq\f（1，8）q.求产量q为何值时，利润L最大？解收入R＝q·p＝qeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（25－\f(1，8)q））＝25q－eq\f（1,8)q2，利润L＝R－C＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(25q－\f(1，8）q2）)－（100＋4q)＝－eq\f(1，8)q2＋21q－100(0〈q〈200）L′＝－eq\f(1,4）q＋21令L′＝0，即－eq\f（1，4）q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84。所以产量为84时，利润L最大．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为f（x)＝eq\f（1,3）x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(）A．8 B．eq\f(20，3)C．－1 D．－8答案C解析原油温度的瞬时变化率为f′（x）＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5），所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(）A。eq\r（3,V） B．eq\r(3，2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r（3,V）答案C解析设底面边长为x，则表面积S＝eq\f（\r(3),2)x2＋eq\f（4\r（3),x)V（x>0）．∴S′＝eq\f（\r(3），x2)（x3－4V)．令S′＝0，得x＝eq\r（3，4V)。3．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为xcm,则箱高h＝eq\f（60－x,2）cm，箱子容积V（x)＝x2h＝eq\f（60x2－x3,2）(0＜x＜60）．V′（x)＝60x－eq\f（3，2)x2令V′（x)＝60x－eq\f（3，2)x2＝0，解得x＝0(舍去）或x＝40，并求得V（40）＝16000。由题意知，当x过小（接近0）或过大(接近60）时，箱子容积很小,因此,16000是最大值．答当x＝40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝eq\f(1,128000）x3－eq\f(3,80)x＋8（0〈x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米,当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了eq\f(100，x）小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，128000）x3－\f（3，80）x＋8）)×eq\f（100，x）＝eq\f（1,1280)x2＋eq\f（800，x)－eq\f（15，4）（0〈x≤120），h′（x）＝eq\f（x,640)－eq\f(800,x2）＝eq\f（x3－803,640x2)(0<x≤120）．令h′（x)＝0，得x＝80。因为x∈(0,80）时,h′(x）<0，h（x)是减函数；x∈（80,120)时，h′（x)〉0，h（x）是增函数,所以当x＝80时,h（x）取得极小值h（80)＝11。25(升)．因为h(x)在（0，120］上只有一个极小值,所以它是最小值．答汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升．1．解有关函数最大值、最小值的实际问题,在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大（小)值,极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A．4 B．6C．4.5 D．8答案A解析设底面边长为x,高为h，则V(x）＝x2·h＝256，∴h＝eq\f(256,x2），∴S（x）＝x2＋4xh＝x2＋4x·eq\f(256,x2)＝x2＋eq\f(4×256，x),∴S′(x)＝2x－eq\f(4×256，x2)。令S′(x)＝0，解得x＝8,∴h＝eq\f（256,82)＝4。2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x,x∈（0,0。0486)，若使银行获得最大收益,则x的取值为（)A．0.0162 B．0.0324C．0。0243 D．0。0486答案B解析依题意,得存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.0486kx2,其中x∈(0，0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0〈x〈0。0486)，则y′＝0。0972kx－3kx2。令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0<x<0.0324时，y′>0；当0.0324<x<0。0486时，y′<0.所以当x＝0。0324时，y取得最大值,即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(）A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（l,6)））3π B．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（l,3))）3πC．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（l,4））)3π D．eq\f(1,4）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l，4))）3π答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝eq\f(l－4r,2），V＝πr2h＝eq\f(l,2）πr2－2πr3eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0<r〈\f（l，4）））.则V′＝lπr－6πr2,令V′＝0，得r＝0或r＝eq\f(l，6),而r〉0,∴r＝eq\f(l，6）是其唯一的极值点．∴当r＝eq\f（l,6)时，V取得最大值，最大值为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(l,6）)）3π。4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱,则水箱最大容积为（）A．120000cm3 B．128000cm3C．150000cm3 D．158000cm3答案B解析设水箱底边长为xcm，则水箱高h＝60－eq\f（x,2）(cm）．水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－eq\f(x3，2)(0〈x〈120）．V′(x)＝120x－eq\f（3,2）x2。令V′(x）＝0,得x＝0(舍去）或x＝80。可判断得x＝80cm时，V取最大值为128000cm3。5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为________．答案3解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝eq\f（27，R2)，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·eq\f(27,R)，∴S′（R）＝2πR－eq\f(54π,R2）＝0，∴R＝3,则当R＝3时,S表最小．6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝eq\f(1,3）x3－eq\f（39，2)x2－40x(x＞0），为使耗电量最小，则其速度应定为________．答案40解析由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40,或x＜－1，故函数y＝eq\f（1，3)x3－eq\f(39,2）x2－40x(x＞0)在［40，＋∞)上递增，在(0，40］上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.7．学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小？解设版心的高为xdm，则版心的宽为eq\f(128,x）dm,此时四周空白面积为S(x）＝(x＋4）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(128，x）＋2））－128＝2x＋eq\f（512,x）＋8，x>0。求导数，得S′（x）＝2－eq\f（512,x2)。令S′(x)＝2－eq\f(512，x2）＝0,解得x＝16（x＝－16舍去)．于是宽为eq\f（128，x)＝eq\f(128，16）＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0；当x∈（16，＋∞)时,S′(x）〉0。因此,x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小．二、能力提升8．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是（)A。eq\f（3,2)eq\r(3)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2）cm2 D．2eq\r（3）cm2答案D解析设一个正三角形的边长为xcm，则另一个正三角形的边长为（4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝eq\f(\r（3）,4）x2＋eq\f（\r(3)，4）(4－x）2＝eq\f（\r（3)，2)［（x－2）2＋4]≥2eq\r(3)(cm2），故选D.9．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f（x3，900）＋400x，0≤x≤390，90090，x〉390，）)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(）A．150 B．200C．250 D．300答案D解析由题意得，总利润P(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（x3,900）＋300x－20000,0≤x≤390，70090－100x，x〉390，）)令P′(x）＝0，得x＝300,故选D。10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米,问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔的面积忽略不计）．答案63解析设y为流出的水中杂质的质量分数,则y＝eq\f(k，ab），其中k（k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0）得b＝eq\f（30－a,2＋a）.于是y＝eq\f(k,ab)＝eq\f（k,\f(30a－a2,2＋a)）＝eq\f（k2＋a，30a－a2)。(0〈a<30）令y′＝eq\f（a2k＋4ak－60k，30a－a22）＝0得a＝6或a＝－10(舍去)．∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a＝6时,b＝3，即当a为6米，b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋eq\r（x)）x万元．假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解（1）设需新建n个桥墩,则(n＋1)x＝m，即n＝eq\f（m,x）－1。所以y＝f（x)＝256n＋(n＋1）(2＋eq\r(x）)x＝256eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(m,x）－1）)＋eq\f（m,x)（2＋eq\r(x)）x＝eq\f(256m，x)＋meq\r(x）＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x）＝－eq\f(256m，x2）＋eq\f（1,2）mx－eq\f（1,2)＝eq\f(m，2x2)（xeq\f(3，2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f（3，2)＝512,所以x＝64.当0〈x〈64时，f′（x)<0，f（x)在区间(0，64)内为减函数；当64〈x〈640时，f′(x)〉0，f（x）在区间(64，640)内为增函数,所以f（x）在x＝64处取得最小值．此时n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f（640,64)－1＝9。故需新建9个桥墩才能使y最小．12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为xkm/h,甲、乙两城距离为akm.则总费用f（x）＝（kx3＋200)·eq\f(a，x)＝a（kx2＋eq\f（200，x）)．由已知条件，得40＝k·203，∴k＝eq\f(1,200)，∴f（x)＝aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，200)x2＋\f（200，x））)(0＜x＜100)．令f′（x)＝eq\f（ax3－20000，100x2)＝0，得x＝10eq\r（3,20）。当0〈x<10eq\r(3，20）时，f′(x)〈0；当10eq\r(3,20)〈x<