概率论浙大精品全套

概率论与数理统计ProbabilityandMathematicalStatistics

17.1参数估计的概念第七章参数估计q是总体F(x,q)中的未知参数样本统计量估计值θ——根据样本给出参数的估计参数估计点估计区间估计矩估计法极大似然估计法估计量27.2矩估计法和极大似然估计法7.3估计量的评选原则7.4区间估计一区间估计的概念二

单个正态总体均值的区间估计三单个正态总体方差的区间估计四单个正态总体的单侧区间估计一无偏性、二有效性、三一致性第七章参数估计37.2

矩估计法和极大似然估计法一矩估计法1原理：大数定理，样本矩≈总体矩。2方法总体X的分布函数F(x;1,…,k),其中1,…,k为待估参数.(X1,…,Xn)为X的样本(设X的k阶矩存在),

则总体的j阶原点矩E(Xj)=aj(q1,…,qk)令=Aj样本的j阶原点矩aj(q1,…,qk)=Ajj=1,…,k求解方程组,得到解4例试求总体期望q1=EX和方差q2=DX的矩估计。解注1注2注3此结论对期望和方差存在的总体都适用，即估计不唯一，如对总体P()有可用估计5例设总体X~U[a,b],试由样本(X1,X2,…,Xn),求未知参数a,b

的矩估计量。解6二极大似然估计法MaximumLikelihoodEstimate1原理设随机试验有n种可能结果现做一次试验，结果事件发生了，则认为事件在这n种可能结果中出现的概率最大。极大似然估计法：在一次抽样中，若得到样本观测值(x1,…,xn)，则选择q为q

的估计，使得此组观测值出现的概率最大。7例设一袋中放有黑球和白球若干个，已知两种球的数目之比为1:2，但不知黑球多还是白球多。今有放回抽取三次，结果是(白,黑,白)，试估计白球所占比例p是1/3还是2/3？8为样本的似然函数。若若总体X有密度函数f(x;q)(X是D.R.V.时,f(x;q)=P(X=x;q)),其中q=(q1,…,qk)为待估未知参数，为样本的一组观测值。称则称为的极大似然估计值，为的极大似然估计量。2

定义9(3)解方程(组)得极大似然估计3一般步骤(1)

写出似然函数(2)

建立似然方程(组)10解：设(x1,…,xn)为样本的一组观测值，似然方程l的极大似然估计为：比如，样本观测值为：10，13，65，18，79，42，65，77，88，123，n=10。则例X~P(l)，求l的极大似然估计。似然函数解方程11

例

设总体X~N(,2)，求和2

的极大似然估计。解思考

若m已知，s2的极大似然估计是什么?12例设总体

X~U[a,b]，试求a和b的极大似然估计。解无解？即a,b的极大似然估计为13

例

设总体X~N(,2),m未知.求的极大似然估计。解由上例，.而故5性质泛函不变性（Functionalinvariance）

若为的极大似然估计，则为u=u()的极大似然估计，即14例

设(X1,…,Xn)是正态总体N(1,s2)的样本，求P(X<t)的极大似然估计。解故所求值的极大似然估计为又期望m已知时，15

小结熟练求解未知参数的矩估计和极大似然估计掌握矩估计和极大似然估计的原理16一无偏性7.3估计量的评选原则1定义则称q是q的无偏估计量.172

例设(X1,…,Xn)是总体X的样本，

注：无偏估计不唯一例如：若D(X)>0，

为的无偏估计，但g()不一定是g()的无偏估计。18二有效性1定义则称有效.19

例在总体期望m=E(X)的线性无偏估计类中求m最小方差无偏估计。解由Cauchy-Schwarz不等式而故是

的最小方差无偏估计。20三一致性定义则称一致估计量.例

由大数定律知样本均值是总体均值的一致估计。21例

证明正态总体的样本方差S2是2的一致估计。证由切比雪夫不等式22

小结根据定义，能判断估计量的无偏性和有效性熟记统计量的无偏性，有效性，一致性的定义237.4区间估计

一区间估计的概念设总体X的分布函数为F(x;q

),q为未知参数，(X1,X2,…,Xn)为X的样本。给定a(0<a<1),若统计量称为的置信度(水平)为1－

的置信区间。含义：若1－

=0.95，抽样100次产生100个区间，其中约有95个区间包含q.置信上限24二单个正态总体N(m,s2)均值m的区间估计1方差s2已知2方差未知三单个正态总体N(m,s2)方差s2的区间估计四单侧区间估计2512已知2已知时，

的置信度为1－的置信区间为二单个正态总体N(m,s2)均值的区间估计262已知时，

的置信度为1－的置信区间为注1.置信区间长度2.相同置信水平下，置信区间选取不唯一。同一置信水平下，l越小，表示估计精度越高。若R.V.的密度函数是单峰对称的，则n固定时，上述公式的置信区间是所有置信区间中长度最短的。2722未知2未知时，

的置信度为1－的置信区间为28例滚珠直径X~N(m,s2)，从某天生产的滚珠中随机抽取6个，测得直径为(单位：mm)1.461.511.491.481.521.51求下面两种情况下m的置信度为95%的置信区间。

(1)s2=0.0006时；(2)s2未知时。思考：这两种情况下哪个置信区间的长度短？29三单个正态总体N(m,s2)方差的区间估计m未知m未知时，2的置信度为1－的置信区间为m未知时，的置信度为1－的置信区间呢？30例从自动车床加工的一批零件中随机的抽取16件，测得各零件长度为(单位：cm)2.152.102.122.102.142.112.152.13设零件长度服从正态分布，求零件长度标准差s的置信度为95%的置信区间。2.132.112.142.132.122.132.102.1431四单侧区间估计设总体X的分布函数为F(x;q

),q为未知参数，(X1,X2,…,Xn)为X的样本。给定a(0<a<1),若统计量称为的置信度(水平)为1－

的置信下(上)限。单侧置信上限或单侧置信下限32例

从一批灯泡中随机地抽取5只做寿命试验，测得寿命(单位：小时)1050，1100，1120，1250，1280.设灯寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限。33

小结熟记关于单个正态总体的期望和方差的区间估计理解区间估计和单侧区间估计的概念34解答题练习35解答题练习求p的极大似然估计值.一个样品中石灰石的石子数k恰有k个石灰石的样品个数01234567891011672326211230036解答题练习XP1231-q

q-q

2

q237解答题练习385.(6’)某工厂生产一种零件,其口径X(单位:mm)服从正态分布N(m,s2),现从某日生产的零