2017-2018版高中数学第二章空间向量与立体几何2空间向量的运算（三）学案2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19学必求其心得，业必贵于专精PAGE2空间向量的运算（三）学习目标1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一空间向量数量积的概念思考1如图所示，在空间四边形OABC中,OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量eq\o（OA，\s\up6（→））与eq\o(BC,\s\up6(→）)的数量积?并总结求两个向量数量积的方法。思考2在等边△ABC中，eq\o（AB，\s\up6(→))与eq\o(BC，\s\up6（→）)的夹角是多少？梳理（1)定义：已知两个非零向量a，b，则｜a｜|b｜cos〈a，b〉叫作a,b的数量积，记作a·b.(2）数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa）·b＝____________交换律a·b＝________分配律a·(b＋c)＝________知识点二空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔____________②若a与b同向，则a·b＝__________；若反向,则a·b＝__________。特别地，a·a＝__________或|a｜＝eq\r(a·a)③若θ为a,b的夹角，则cosθ＝________________④|a·b｜≤｜a｜·｜b|类型一空间向量数量积的运算命题角度1空间向量数量积的基本运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明,不正确的给予说明。①p2·q2＝（p·q）2；②｜p＋q|·|p－q|＝|p2－q2｜;③若a与(a·b）·c－（a·c）·b均不为0,则它们垂直.（2）设θ＝<a，b>＝120°，|a｜＝3，|b｜＝4，求：①a·b;②（3a－2b）·（a＋2b)。反思与感悟（1）如果已知a，b的模及a与b的夹角，则可直接代入数量积的公式计算。（2）如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝｜a｜2及数量积公式进行计算。跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(）A。eq\r（7）B。eq\r(10）C.eq\r(13)D.4命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知在长方体ABCD—1C1D1中，AB＝AA1＝2,AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点。试计算：（1)eq\o（BC,\s\up6（→)）·eq\o(ED1，\s\up6(→）)；（2)eq\o（BF,\s\up6（→）)·eq\o（AB1，\s\up6(→））；（3）eq\o（EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→))。反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量。零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律。跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：（1）（eq\o(OA，\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6（→）））·(eq\o(CA，\s\up6（→）)＋eq\o(CB,\s\up6（→)））；(2）|eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\o（OB，\s\up6(→）)＋eq\o（OC，\s\up6(→）)|.类型二利用数量积求夹角或模命题角度1利用数量积求夹角例3已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB＝a,求异面直线BA1与AC所成的角.反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法跟踪训练3已知PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的投影，lα，且l⊥OA.求证：l⊥PA。命题角度2利用数量积求模(或距离）例4如图所示，在平行六面体ABCD—B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长。反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式｜a｜＝eq\r(a·a)求解即可.跟踪训练4如图，已知线段AB⊥平面α，BCα，CD⊥BC,DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧,若AB＝BC＝CD＝2,求A,D两点间的距离。类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题例5如图,在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证:OA⊥BC.反思与感悟(1）证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直。（2）证明与空间向量a，b，c有关的向量m,n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5已知向量a，b满足：｜a|＝2，|b|＝eq\r（2），且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________.1。已知a,b，c是两两垂直的单位向量,则｜a－2b＋3c|等于()A.14 B.eq\r(14)C。4 D。22.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,下列向量的数量积一定不为0的是()A。eq\o（AD1，\s\up6(→））·eq\o(B1C,\s\up6（→）) B。eq\o（BD1,\s\up6(→）)·eq\o（AC，\s\up6(→))C.eq\o（AB,\s\up6（→))·eq\o（AD1,\s\up6（→）) D.eq\o（BD1,\s\up6（→））·eq\o(BC,\s\up6（→）)3。在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①（eq\o(AA1，\s\up6（→))＋eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o(AB，\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→)）2；②eq\o（A1C，\s\up6（→））·(eq\o（A1B1,\s\up6(→））－eq\o（A1A，\s\up6（→)））＝0；③eq\o（AD1，\s\up6（→)）与eq\o（A1B,\s\up6（→））的夹角为60°。其中真命题的个数为(）A.1 B.2C.3 D。04。已知a，b为两个非零空间向量，若|a｜＝2eq\r(2),|b｜＝eq\f(\r(2),2)，a·b＝－eq\r（2），则〈a，b〉＝________。5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.1。空间向量运算的两种方法（1)利用定义：利用a·b＝|a||b｜cos<a,b〉，并结合运算律进行计算.(2)利用图形：计算两个数量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算。2.在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式。（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3）代入a·b＝|a｜｜b|cos〈a,b〉求解.提醒:完成作业第二章§2（三)

答案精析§2空间向量的运算(三)问题导学知识点一思考1∵eq\o（BC，\s\up6（→））＝eq\o（AC，\s\up6（→))－eq\o（AB,\s\up6(→）),∴eq\o（OA,\s\up6(→))·eq\o(BC，\s\up6(→））＝eq\o(OA,\s\up6(→）)·eq\o（AC，\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6（→）)·eq\o(AB，\s\up6(→））＝｜eq\o(OA,\s\up6（→))｜|eq\o（AC,\s\up6(→)）｜cos〈eq\o(OA，\s\up6（→）)，eq\o（AC,\s\up6（→)）>－|eq\o（OA，\s\up6（→))｜｜eq\o（AB,\s\up6(→))｜·cos〈eq\o（OA，\s\up6(→）)，eq\o（AB，\s\up6（→)）〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2）。求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角,当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量,再代入计算。思考2120°.梳理（2)λ(a·b)b·aa·b＋a·c知识点二a·b＝0|a|·｜b|－|a｜·｜b｜|a｜2eq\f（a·b，|a||b|)题型探究例1(1)解①此命题不正确。∵p2·q2＝|p｜2·|q｜2,而（p·q）2＝（|p｜·｜q｜·cos〈p,q〉)2＝|p|2·|q｜2·cos2〈p，q〉,∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2。②此命题不正确。∵｜p2－q2｜＝|(p＋q）·（p－q）|＝｜p＋q｜·|p－q|·|cos〈p＋q,p－q〉|，∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，｜p2－q2｜＝｜p＋q｜·|p－q|.③此命题正确。∵a·［(a·b)·c－（a·c）·b］＝a·(a·b）·c－a·(a·c)·b＝(a·b）(a·c)－（a·b）（a·c）＝0，且a与(a·b）·c－（a·c）·b均为非零向量，∴a与(a·b）·c－(a·c)·b垂直。（2）解①∵a·b＝｜a|｜b｜cos〈a,b>,∴a·b＝3×4×cos120°＝－6.②∵（3a－2b）·(a＋2b)＝3|a｜2＋4a·b－4|b|2＝3|a｜2＋4|a|｜b｜cos120°－4｜b｜2，∴（3a－2b）·(a＋2b）＝3×9＋4×3×4×（－eq\f（1，2））－4×16＝27－24－64＝－61。跟踪训练1C例2解如图，设eq\o(AB,\s\up6（→)）＝a,eq\o（AD,\s\up6(→））＝b，eq\o(AA1，\s\up6(→））＝c,则｜a｜＝|c|＝2，｜b|＝4,a·b＝b·c＝c·a＝0.（1)eq\o（BC，\s\up6(→））·eq\o(ED1，\s\up6（→））＝b·[eq\f（1,2)（c－a）＋b]＝|b｜2＝42＝16.（2)eq\o(BF,\s\up6（→)）·eq\o（AB1,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（c－a＋\f(1,2）b))·（a＋c)＝|c|2－|a｜2＝22－22＝0.(3)eq\o（EF，\s\up6（→））·eq\o（FC1，\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）c－a＋\f（1,2）b）)·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）b＋a））＝eq\f（1，2）（－a＋b＋c)·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)b＋a））＝－eq\f（1,2）｜a｜2＋eq\f(1，4)|b|2＝2.跟踪训练2解(1)（eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o（OB，\s\up6(→)））·(eq\o(CA，\s\up6（→))＋eq\o(CB,\s\up6(→）)）＝(eq\o(OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6（→))）·(eq\o（OA，\s\up6(→)）－eq\o（OC，\s\up6(→))＋eq\o（OB,\s\up6(→）)－eq\o（OC,\s\up6(→)））＝(eq\o(OA，\s\up6（→))＋eq\o（OB，\s\up6（→)））·（eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o(OB,\s\up6(→））－2eq\o(OC，\s\up6（→）))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1。(2)|eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\o（OB，\s\up6（→))＋eq\o（OC,\s\up6（→））|＝eq\r（\o(OA，\s\up6（→)）＋\o（OB,\s\up6(→））＋\o(OC,\s\up6（→））2\o（\s\up7(），\s\do5（）））＝eq\r（\o(OA，\s\up6(→））2＋\o(OB，\s\up6（→)）2＋\o（OC，\s\up6（→))2＋2\o（OA,\s\up6（→))·\o（OB，\s\up6（→))＋\o(OB,\s\up6(→））·\o（OC,\s\up6（→）)＋\o（OA，\s\up6(→））·\o(OC，\s\up6(→））\o（\s\up7（),\s\do5(））)＝eq\r(12＋12＋12＋21×1×cos60°×3)＝eq\r(6).例3解如图所示,∵eq\o(BA1，\s\up6(→）)＝eq\o(BA，\s\up6（→))＋eq\o(BB1，\s\up6(→)）,eq\o（AC,\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\o（BC，\s\up6（→)），∴eq\o(BA1,\s\up6(→））·eq\o(AC,\s\up6(→))＝（eq\o（BA，\s\up6(→）)＋eq\o(BB1,\s\up6(→）)）·（eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o（BC,\s\up6（→）））＝eq\o（BA，\s\up6(→)）·eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（BA，\s\up6(→））·eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o(BB1,\s\up6(→））·eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o（BC,\s\up6（→））.∵AB⊥BC,BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up6（→))·eq\o（BC，\s\up6(→））＝0，eq\o(BB1，\s\up6（→)）·eq\o(AB，\s\up6(→))＝0,eq\o(BB1，\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6（→）)＝0且eq\o（BA,\s\up6(→))·eq\o（AB,\s\up6(→））＝－a2.∴eq\o(BA1，\s\up6（→))·eq\o（AC,\s\up6(→))＝－a2。又eq\o(BA1,\s\up6(→））·eq\o（AC,\s\up6(→))＝|eq\o（BA1，\s\up6（→））|·｜eq\o（AC，\s\up6（→）)|cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→）），eq\o（AC，\s\up6（→))>，∴cos〈eq\o（BA1,\s\up6（→))，eq\o(AC,\s\up6（→）)〉＝eq\f(－a2，\r（2）a·\r(2)a)＝－eq\f(1，2）。又∵<eq\o(BA1，\s\up6（→））,eq\o(AC，\s\up6(→）)〉∈[0°，180°］，∴〈eq\o(BA1,\s\up6（→））,eq\o（AC，\s\up6（→))〉＝120°，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA1与AC所成的角为60°。跟踪训练3证明如图，取直线l的方向向量a，同时取向量eq\o（PO，\s\up6（→))，eq\o(OA,\s\up6（→））。因为l⊥OA，所以a·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0.因为PO⊥α，且lα,所以l⊥PO，因此a·eq\o(PO,\s\up6(→））＝0。又因为a·eq\o(PA，\s\up6（→))＝a·（eq\o（PO,\s\up6(→））＋eq\o(OA，\s\up6（→）))＝a·eq\o（PO，\s\up6(→))＋a·eq\o（OA，\s\up6(→）)＝0，所以l⊥PA.例4解因为eq\o（AC1,\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o（AD，\s\up6（→）)＋eq\o(AA1,\s\up6(→)),所以eq\o(AC1，\s\up6(→)）2＝(eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o(AD,\s\up6（→))＋eq\o（AA1，\s\up6（→))）2＝eq\o（AB,\s\up6(→）)2＋eq\o（AD,\s\up6(→)）2＋eq\o(AA1，\s\up6(→))2＋2（eq\o（AB，\s\up6(→））·eq\o（AD，\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→)）＋eq\o（AD,\s\up6(→)）·eq\o(AA1,\s\up6（→）)).因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→）），eq\o(AD，\s\up6（→）)>＝90°，〈eq\o（AB,\s\up6（→）)，eq\o（AA1,\s\up6（→））〉＝〈eq\o(AD,\s\up6（→))，eq\o（AA1，\s\up6（→)）〉＝60°,所以eq\o(AC1，\s\up6（→）)2＝1＋4＋9＋2（1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因为eq\o(AC1,\s\up6（→）)2＝｜eq\o（AC1,\s\up6（→））｜2，所以｜eq\o（AC1，\s\up6(→）)｜2＝23，｜eq\o(AC1，\s\up6（→)）｜＝eq\r(23），即AC1＝eq\r(23).跟踪训练4解∵eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→））,∴｜eq\o(AD,\s\up6(→)）|2＝(eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(BC