2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质（一）学案1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE21学必求其心得，业必贵于专精PAGE1。2椭圆的简单性质(一）学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单性质已知两椭圆C1、C2的标准方程:C1：eq\f（x2，25）＋eq\f（y2,16）＝1,C2：eq\f（y2，25）＋eq\f(x2，16）＝1.思考1怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2椭圆具有对称性吗？思考3椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？梳理标准方程eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a〉b〉0)eq\f（y2,a2)＋eq\f(x2，b2）＝1(a>b〉0)图形性质焦点焦距|F1F2｜＝2c(c＝eq\r(a2－b2)）｜F1F2|＝2c(c＝eq\r(a2－b2））范围对称性关于____________________对称顶点轴长轴长________，短轴长________知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画?梳理（1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的________，用e表示．(2）性质:离心率e的取值范围是________，当e越接近1,椭圆越______，当e越接近______,椭圆就越接近圆．类型一椭圆的简单性质引申探究已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a,b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m〉0)的离心率为eq\f(1，2)，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．类型二求椭圆的离心率命题角度1与焦点三角形有关的离心率问题例2设F1，F2分别是椭圆E：eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a>b〉0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，｜AF1｜＝3|BF1|.(1)若｜AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2｜;(2)若cos∠AF2B＝eq\f（3，5)，求椭圆E的离心率．反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2））求解．跟踪训练2椭圆eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2，b2）＝1（a〉b>0）的两焦点为F1，F2,以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．命题角度2利用a，c的齐次式,求椭圆的离心率(或其取值范围)例3(1)设椭圆C：eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉b>0）的左，右焦点分别为F1，F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．（2)若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，b2)＝1（a〉b〉0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．反思与感悟若a,c的值不可求，则可根据条件建立a,b，c的关系式,借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．跟踪训练3若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________．类型三利用椭圆的简单性质求方程例4求满足下列各条件的椭圆的标准方程．（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为（0，－eq\r（10)）,该点与最近的焦点的距离为eq\r(10)－eq\r(5)；（2）已知椭圆的离心率为e＝eq\f（2,3）,短轴长为8eq\r（5).反思与感悟在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式;若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论,然后列方程(组）确定a,b，这就是我们常用的待定系数法．跟踪训练4椭圆过点(3，0)，离心率e＝eq\f（\r(6)，3）,求椭圆的标准方程．1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0,13）,另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（)A．（±13，0) B．(0,±10）C．（0，±13) D．(0,±eq\r(69））2。如图，已知直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的离心率为（）A。eq\f(1，5） B.eq\f(2，5）C。eq\f（\r（5），5） D。eq\f(2\r(5),5）3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是（)A.eq\f（x2，2）＋eq\f（y2，4）＝1 B．x2＋eq\f（y2,6）＝1C。eq\f（x2，6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2，5）＝14．已知点（m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上,则2m＋4的取值范围是________________．5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1）已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上，若其离心率为eq\f(1,3），焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r（3).1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式,应先化成标准形式．2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点,而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．

答案精析问题导学知识点一思考1对于方程C1:令x＝0，得y＝±4,即椭圆与y轴的交点为（0,4）与(0,－4）；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为（5，0）与(－5，0）．同理得C2与y轴的交点为(0，5)与（0，－5），与x轴的交点为(4,0)与(－4,0）．思考2有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．思考3C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4;C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5。梳理F1(－c，0)，F2(c,0）F1(0,－c），F2(0，c）|x|≤a，|y｜≤b|x｜≤b，｜y|≤ax轴、y轴和原点(±a,0），(0,±b）（0，±a)，（±b，0)2a2b知识点二思考如图所示，在Rt△BF2O中,cos∠BF2O＝eq\f（c，a),记e＝eq\f（c，a）,则0<e〈1,e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．梳理（1）离心率（2)(0，1）扁0题型探究例1解已知方程化成标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f（y2，9)＝1，于是a＝4,b＝3，c＝eq\r(16－9）＝eq\r(7），∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq\f（c，a）＝eq\f（\r（7），4）。又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是F1(－eq\r(7）,0)和F2(eq\r(7)，0），四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2（4,0)，B1(0，－3）和B2(0，3)．引申探究解把椭圆的方程化为标准方程eq\f(x2，9）＋eq\f（y2,4）＝1，可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3,短半轴长b＝2.又得半焦距c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r（9－4）＝eq\r（5)。所以椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－eq\r(5）,0）,(eq\r(5），0）．四个顶点的坐标分别是（－3，0），（3，0），(0，－2)，（0,2）．离心率e＝eq\f（c,a)＝eq\f（\r（5)，3)。跟踪训练1解椭圆方程化为标准形式为eq\f(x2，4)＋eq\f（y2，m)＝1,且e＝eq\f（1,2）。（1)当0<m<4时,长轴长和短轴长分别是4,2eq\r(3），焦点坐标为F1(－1，0)，F2（1，0），顶点坐标为A1（－2,0），A2(2,0)，B1(0，－eq\r(3))，B2（0，eq\r(3）)．(2)当m>4时,长轴长和短轴长分别为eq\f（8\r（3),3),4，焦点坐标为F1(0，－eq\f(2\r(3），3））,F2（0，eq\f(2\r（3)，3）），顶点坐标为A1（0，－eq\f(4\r（3），3)),A2（0，eq\f（4\r（3）,3）），B1（－2,0）,B2（2，0)．例2解(1)由|AF1|＝3｜F1B｜，|AB｜＝4,得|AF1｜＝3，|F1B|＝1。因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a＝16，｜AF1|＋|AF2｜＝2a＝8.故｜AF2|＝2a－|AF1｜＝8－3＝5。(2）设|F1B|＝k，则k>0，且｜AF1｜＝3k，|AB｜＝4k。由椭圆定义可得|AF2｜＝2a－3k，|BF2｜＝2a－k。在△ABF2中，由余弦定理可得｜AB|2＝|AF2｜2＋｜BF2｜2－2|AF2｜·｜BF2|·cos∠AF2B，即（4k）2＝（2a－3k）2＋（2a－k）2－eq\f（6，5）(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k）（a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k。于是有｜AF2|＝3k＝|AF1｜,|BF2｜＝5k。因此|BF2|2＝｜F2A｜2＋｜AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝eq\f(\r（2),2）a，所以椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)。跟踪训练2eq\r(3）－1例3（1）eq\f(\r(3),3）解析直线AB：x＝c，代入eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1，得y＝±eq\f(b2，a），∴A（c，eq\f（b2,a）），B(c，－eq\f（b2,a)）．∴kBF1＝eq\f（－\f(b2,a）－0,c－－c）＝eq\f(－\f（b2,a)，2c)＝－eq\f(b2，2ac)，∴直线BF1：y－0＝－eq\f（b2,2ac）(x＋c)，令x＝0，则y＝－eq\f（b2,2a)，∴D(0，－eq\f（b2，2a）），∴kAD＝eq\f(\f（b2，a）＋\f(b2，2a)，c)＝eq\f(3b2，2ac）.由于AD⊥BF1，∴－eq\f(b2，2ac）·eq\f(3b2，2ac)＝－1，∴3b4＝4a2c2,∴eq\r（3)b2＝2ac,即eq\r(3）(a2－c2）＝2ac，∴eq\r（3）e2＋2e－eq\r（3)＝0，∴e＝eq\f（－2±\r（4－4×\r（3)×－\r(3）），2\r（3)）＝eq\f(－2±4,2\r（3)），∵e>0，∴e＝eq\f(－2＋4，2\r(3）)＝eq\f(2,2\r(3）)＝eq\f（\r(3),3）。(2)[eq\f(\r（2)，2），1）解析椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1（a>b〉0),－b≤y≤b.由题意知,以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则c≥b，即c2≥b2,所以c2≥a2－c2，所以e2≥1－e2，即e2≥eq\f(1，2）。又0<e<1，所以e的取值范围是［eq\f(\r（2),2），1）．跟踪训练3eq\f（3，5)解析由题意知2a＋2c＝2（2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝eq\f（3,5)或e＝－1（舍去）．例4解(1)由题意知a＝eq\r(10），a－c＝eq\r（10）－eq\r(5），则c＝eq\r（5)。所以b2＝a2－c2＝5，所以所求椭圆的方程为eq\f（y2,10）＋eq\f(x2，5）＝1.（2)由e＝eq\f(c，a）＝eq\f（2,3），得c＝eq\f(2，3）a,又2b＝8eq\r(5),a2＝b2＋c2,所以a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2，144)＋eq\f(y2，80)＝1或eq\f（x2，80）＋eq\f(y2，144)＝1.跟踪训练4解∵椭圆过点(3，0)，∴点(3,0）为椭圆的一个顶点．①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3,∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6)，3)，∴c＝eq\f（\r(6），3）a＝eq\f(\r(6）,3)×3＝eq\r（6），∴b2＝a2－c2＝32－(eq\r(6)）2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为eq\f（x2,9）＋eq\f（y2，3）＝1。②当椭圆的焦点在y轴上时，（3,0）为右顶点，则b＝3