2017-2018版高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理（二）学案1-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10学必求其心得，业必贵于专精PAGE2.1.1合情推理(二）明目标、知重点1。通过具体实例理解类比推理的意义。2.会用类比推理对具体问题作出判断.1。类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理（简称类比)。2。类比推理的一般步骤（1)找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.探究点一平面图形与立体图形间的类比阅读下面的推理，回答后面提出的问题：1.科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星;（2)有大气层，在一年中也有季节变更；（3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.科学家猜想：火星上也可能有生命存在.2。根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：（1）a＝b⇒a＋c＝b＋c;（2）a＝b⇒ac＝bc；（3）a＝b⇒a2＝b2等等.猜想不等式的性质:(1）a>b⇒a＋c>b＋c；（2）a>b⇒ac〉bc；(3）a〉b⇒a2>b2等等.思考1这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？答这两个推理实例都是根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质.思考2猜想正确吗？答不一定正确.思考3类比圆的特征，填写下表中球的有关特征圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长球的表面积圆的面积球的体积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大以点P(x0，y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x－x0）2＋（y－y0)2＝r2以点P(x0,y0，z0）为球心，r为半径的球的方程为(x－x0)2＋（y－y0）2＋(z－z0）2＝r2例1如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai（i＝1，2，3,4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1，2，3,4)，若eq\f（a1，1)＝eq\f(a2，2)＝eq\f（a3，3)＝eq\f（a4,4）＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f(2S，k)，类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i＝1,2，3，4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1，2，3，4),若eq\f(S1,1)＝eq\f(S2，2)＝eq\f（S3，3)＝eq\f(S4，4)＝K,则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？解对平面凸四边形：S＝eq\f(1,2)a1h1＋eq\f(1,2）a2h2＋eq\f(1,2）a3h3＋eq\f(1，2)a4h4＝eq\f(1，2）(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4）＝eq\f(k,2)（h1＋2h2＋3h3＋4h4)，所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f(2S，k）；类比在三棱锥中，V＝eq\f（1,3)S1H1＋eq\f（1，3）S2H2＋eq\f（1,3）S3H3＋eq\f（1，3）S4H4＝eq\f(1，3)（KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)＝eq\f（K,3)（H1＋2H2＋3H3＋4H4)。故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝eq\f（3V，K).反思与感悟解决此类问题注意用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化,如本题中平面图形中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的距离。平面图形中的面积类比三棱锥中的体积，进而计算出结果.跟踪训练1在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”.拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是____________________________________________。答案设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则Seq\o\al（2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB）＝Seq\o\al(2，△BCD)解析类比条件：两边AB、AC互相垂直eq\o（→，\s\up7（平面→空间、边垂直→面垂直））侧面ABC、ACD、ADB互相垂直。结论：AB2＋AC2＝BC2eq\o(→,\s\up7（边长→面积））Seq\o\al（2，△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD）＋Seq\o\al（2，△ADB）＝Seq\o\al（2，△BCD)。探究点二定义、定理或性质中的类比例2在等差数列{an｝中，若a10＝0，证明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19,n∈N＋）成立，并类比上述性质相应在等比数列{bn｝中，若b9＝1，则有等式_____________成立.答案b1b2…bn＝b1b2…＋b17－n（n<17，n∈N＋）解析在等差数列｛an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19,a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n。相应地，类比此性质在等比数列{bn｝中，可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n≤17，n∈N＋）。反思与感悟（1)运用类比思想找出项与项的联系,应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键.（2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和（或差)对应着等比数列中的积(或商）。跟踪训练2设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn｝的前n项积为Tn，则T4，______,______,eq\f（T16,T12)成等比数列.答案eq\f(T8，T4）eq\f（T12，T8)1.下列说法正确的是（)A。由合情推理得出的结论一定是正确的B。合情推理必须有前提、有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理可知，合情推理必须有前提、有结论。2。在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________。答案1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方。同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8。3.若数列｛cn}是等差数列，则当dn＝eq\f（c1＋c2＋…＋cn,n）时，数列｛dn｝也是等差数列，类比上述性质，若数列｛an｝是各项均为正数的等比数列，则当bn＝________时，数列｛bn}也是等比数列。答案eq\r(n,a1a2…an）4。对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________.答案中心［呈重点、现规律］1。合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前，合情推