数字图像处理第七章课件

第7章小波与多分辨率处理小波­——有限宽度的波；‘小’是指其衰减性， ‘波’是指其波动性，其正负相间的震荡形式。 变化的频率，有限的时延

小波与音乐 频率-音高，时延-音长图像的小波变换——图像的乐谱 小波分析是近60年来，特别是80年代中后期发展起来的一个数学分支。多分辨率理论包括：信号处理中的子带编码数字语音识别中的正交镜像滤波金字塔图像处理7.1背景相似纹理和灰度的连通区域——形成物体如果这些物体小或反差低，需要在高分辨率观察；物体大或反差大，仅需在低分辨率观察。但是,如果一张图中的物体有大有小，或反差有高有低，则比较好的办法是在不同分辨率上研究它们。7.1Background图例：局部直方图在到处变化。可见,在一张图中做简单的统计能说明什么？/无法对整张图像定义一个简单的统计模型。通常多分辨率分析是需要的。7.1.1图像金字塔均值/差值图像金字塔，从底到第P层的总像素：<=（4/3）N2，采样数大于原始像元数：超完备表示从左到右（底到顶）逐层平均，1维是2点平均，2维是4点平均…

合计相减存储加减均值金字塔差异金字塔

需要存储各点仅需存储n点，但要逐层重建每次叠代有3个步骤：计算输入图像的降（空间）分辨率的近似图。低通滤波后2维下采样。2维上采样步骤1的输出，并用插补滤波器滤波。计算步骤1和步骤2输出的差异，记为第j层的预测误差。经过P次叠代产生两个内在相关的P+1层金字塔：近似与预测误差金字塔。如图7.3图7.2(b)产生图像金字塔的框图说明对7.1图的一种可能的近似和预测误差4层金字塔5*5的高斯低通滤波后下采样Laplacian预测误差(零值移到中灰度显示）L10L9L8L7L7适合于定位窗梃，而不适于看瓶花的根茎预测误差的直方图在0处有尖峰。适于压缩。图像金字塔示例空间域的图像镶嵌用差异金字塔的图像镶嵌多分辨率人脸检测7.1.2子带滤波两波段子带编/解码h0,h1是半波数字滤波器，其波谱分割特性如下图选择h0,h1,g0,g1,使的输入信号能被完美重建，即x’(n)=x(n)QMF=Quadraturemirrorfilters（1976）积分镜像滤波器CQF=Conjugatequadraturefilters（1986）共轭积分滤波器表7.1完全重建的滤波器家族（1维）这些1维滤波器可以对图像的行、列分别作用来处理2维图像图7.5子带图像编码的2维，4波段滤波器族近似垂直细节（水平边缘）水平细节对角细节先做垂直方向的低/高通滤波mn后做水平方向的低/高通滤波？图像的多分辨率分解图7.64个8拍Daubechies正交滤波器的脉冲响应其中h0(n),n=0,1,…7-0.010597400.032883010.03084138-0.18703481-0.027983760.630880760.714846570.23037781g0(K-1-n)=h0(n)g1(n)=(-1)ng0(K-1-n)h1(n)=g1(K-1-n)镜像滤波器分解合成图7.7用(7.6图)子带滤波器的(7.1图）4频带拆分近似子带水平子带垂直子带对角子带参见图7.5流程级联的分解/合成滤波器族Haar基函数定义在区间[0，1]，要求N=2n.基函数在尺度和位置上都不同，必须有两个变量p,q。令k由另两个整数p(尺度),q（位置）唯一决定：其中2p是不大于k的2的最大幂，而q-1是余数。Haar函数定义为：对i=0,1,…,N-1，令x=i/N，则可以产生一组基函数。

7.1.3Haar

变换Haar变换的酋核心阵:矩阵越大，零元素越多图7.8采用Haar基函数的离散小波变换可由上图重构的不同尺寸近似图与子带滤波与Laplacian金字塔类同上节介绍的3种著名成像技术在一种称为多分辨率分析MRA的独特数学理论的发展中起重要作用。在MRA中用一个比例函数创建系列近似图，各图与其最紧邻的近似图相差2的因数。另一个称为小波的函数用来记录相邻近似图之间的差异。7.2多分辨率扩展7.2.1系列展开一个函数的线性展开式k是整数，是实值展开系数是实值展开函数如果展开是唯一的，称之为基函数。展开函数序列被称为可被如此展开的一类函数的基。这些函数形成一个函数空间，称为该展开序列的闭范围ClosedSpan复习：正变换的本质：在新坐标轴上的投影。例如：含义：4维空间坐标轴（基向量）含义：f在对应坐标轴的投影（值）对任何函数空间V及其对应的展开序列存在一个对偶函数序列可用来计算f的投影系数：其中，是的复共轭根据展开序列的正交性，投影系数的计算可采用3种可能的形式之一。题7.10b根据展开序列函数的正交性,

点积的计算有3种情况:情况1:正交如果这时称为自对偶情况2:双正交如果情况3:展开序列不是V的一个基,但是支持展开定义式对于任一有多组展开系数这种展开序列函数及其对偶函数被称为超完备或冗余的，它们形成一种所谓的小波标架:其中当A=B，该展开序列函数称为紧标架，这时：7.2.2多分辨率扩展的比例尺函数由实轴上平方可积函数的整数位移k和2进变比例所组成的展开函数集：其中，j,k为整数。k决定函数在x轴上的位置；j决定函数的宽度，而2j/2控制函数的高度/幅值。当j为某定值，其对应的展开函数集是的子集。所支撑的空间记为图7.9在j=0,1时的Haar比例尺函数(e):(f):由(f)可见，如果f(x)是V0的元素，则也是V1的元素。例7.4上例7.4中的简单比例尺函数遵循多分辨率分析(MRA)的4个基本要求：1、比例尺函数与其整数位移正交（图7.9a,b,c,d)Haar函数：紧支2、比例尺函数支撑的子空间是大比例尺的空间包含小比例尺：图7.103、所有子空间的公共函数是：f(x)=04、所有函数都可以以任意精度表示：在这些条件下：子空间Vj的展开函数可由子空间Vj+1的展开函数加权和表示。将j=k=0代入上式，得MRA方程：是比例尺函数系数（原来用a0)因为：7.2.3小波函数

给定满足MRA要求的比例尺函数，就能定义带j,k的小波函数ψ(x),来支撑两个相邻子空间Vj

与Vj+1的差异。如图7.11所示，我们定义小波集合：与比例尺函数一样，记：如果：则：上图中的比例尺函数和小波函数子空间的关系为：其中♁表示空间的联合。Vj在Vj+1的正交补足空间是Wj，Vj中的所有元素与Wj的元素正交：所有可测度的、平方可积的函数空间可表示为：或或者甚至由于小波空间被包含在由较高分辨率比例尺函数支撑的空间中(图7.11)，任何小波函数均可以表示其较高分辨率比例尺函数的线性组合:其中，称为小波函数系数。可证明，小波函数系数与比例尺函数系数间的关系为：这与子带滤波器的脉冲响应间的关系相似，（镜像）Haar小波：W0Haar小波：W1图d:V1中的函数f(x)可由V0♁W0表示,Page372如：图d=图e+图fV0W0例7.6（重复）Haar变换的函数定义在闭区间[0，1]：令正整数：整数p,q分别是尺度和位移。Haar函数定义：对于i-0,1,2,…,N-1,如果x=i/N,则可产生一组基函数。Haar函数是一些简单的阶跃函数。Haar单位高、单位宽的尺度函数：Haar小波函数：7.3WaveletTransformsinOneDimension小波系列展开离散小波变换连续小波变换付氏系列展开离散付氏变换连续付氏变换7.3.1小波系列展开在小波ψ和比例尺函数φ上定义实轴平方可积函数f：其中：j0是任意起始比例尺，称为近似或比例系数；称为细节或小波系数。第1项是在j0比例尺上近似f(x),第2项是累加j0起的细节。如果展开函数构成一个正交归一化的基，则：例7.7一维小波变换：将2个子带的滤波器族递归地用到前一步的低频子带，产生倍频分裂7.3.2TheDiscreteWaveletTransform（DWT）上述小波展开是针对连续函数，如果对于离散采样序列，上述小波系列展开式就变成：DWT变换对：对j>=j0其中，f(x),是离散变量x=0,1,2,…M-1的函数通常j0=0,M=2J,因此：x=0,1,2,…,M-1,j=0,1,2,…J-1,k=0,1,2,…,2j-1.(上限与j的当前值有关）近似系数细节系数例7.8计算f(x)={1,4,-3,0}的1维DWTM=4,J=2,j0=0采用Haar比例尺和小波函数，并假设f(x)的4个样本分布在这些基函数的支撑上。这样，DWT得到从重建原函数：j=0,1问题7.167.3.3连续小波变换（CWT)略7.4TheFastWaveletTransform(FWT)7.52维小波变换yxi={H,V,D}大小为M*N的函数f(x,y)的DWTi={H,V,D}其中，j0是任意初始尺度，是对f(x,y)在该尺度上的近似。是为尺度j>=j0的f(x,y)添加方向细节。正向反向：可用数字滤波器和下采样实现。2D-DWT的频域系数4分树沿行方向检测，得垂直边缘沿列方向检测，得水平边缘nm合成滤波器族分析滤波器族2D-FWT求内积线性叠加例7.123尺度的FWT第4阶一维对称小波Symlets=SymmetricalWavelets分解滤波器合成滤波器一维的小波和尺度Fig.7.24(Con’t)检测水平细节的2维小波xy不同小波基的小波变换Daubechies

orthonormal8-tapfilters

8-padsSymlets双正交Cohen-Daubechies-Feauveau17/11wavelets

小波在图像处理中的应用步骤：计算一幅图像的2维小波变换改动变换频谱计算反变换由于DWT的尺度和小波向量被用作低通和高通滤波器，大部分付氏变换域的滤波技术都有对应的小波域滤波技术。例7.13小波基边缘检测Multiscaleedgedetection

例7.14基于小波的噪声消除a.原图b.2尺度的低通c.最高分辨率细节的高通d.c与a的差异,包含大部分原图噪声和一些边缘。e.2尺度的细节全部丢弃，仅用低分辨的近似f.e与a的差异,边缘信息增加。消除图像噪声的通用小波基程序：选择小波（比如Haar,Symlet,…)和分解的级数P.计算该噪声图像的FWT。对各级细节（小波）系数阈值化。硬阈值化：对系数的幅值低于阈值者置零。（系数不连续）软阈值化：硬阈值化后将剩下的系数拉伸到零。基于J-P级的原始近似系数和