2017-2018版高中数学第二章解三角形3解三角形的实际应用举例学案5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE3解三角形的实际应用举例学习目标1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°"和“南偏西45°”的示意图．梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：（1）方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．（2）仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示）知识点二测量方案思考如何不登月测量地月距离？梳理测量某个量的方法有很多,但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长,精确度越高．类型一测量不可到达点间的距离例1如图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m,∠BAC＝51°，∠ACB＝75°。求A、B两点间的距离(精确到0.1m)．反思与感悟解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1要测量对岸两点A、B之间的距离,选取相距eq\r（3）km的C、D两点,并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°,∠ADC＝30°,∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为______km。类型二测量高度例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)．反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼,抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m。类型三航海中的测量问题例3如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?（角度精确到0。1°，距离精确到0。01nmile)反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角（方向角)，二要弄清不动点（三角形顶点），然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练3甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq\r（3）a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？1．一艘海轮从A处出发,以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行,30min后到达B处，在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(）A．10eq\r(2）nmile B．10eq\r(3）nmileC．20eq\r（2)nmile D．20eq\r（3)nmile2．甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°,∠CAB＝105°，求A、B两点的距离．4．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示,求塔的高度．1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解．

答案精析问题导学知识点一思考梳理(1）90(2)上方下方知识点二思考可以在地球上选两点，与月亮构成三角形,测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．题型探究例1解根据正弦定理得eq\f(AB，sinC）＝eq\f（AC,sinB)，AB＝eq\f（ACsinC,sinB)＝eq\f（ACsinC,sin180°－A－C）＝eq\f(55sin75°，sin180°－51°－75°)＝eq\f(55sin75°，sin54°）≈65。7（m)．答A、B两点间的距离为65.7m.跟踪训练1eq\r(5)解析如图，在△ACD中，∠ACD＝120°,∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3）(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°。∴BC＝eq\f（\r（3)sin75°,sin60°）＝eq\f（\r(6）＋\r(2）,2)（km)．△ABC中，由余弦定理得AB2＝(eq\r（3)）2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（6）＋\r(2），2)））2－2eq\r（3)×eq\f(\r（6)＋\r（2)，2）×cos75°＝3＋2＋eq\r（3)－eq\r（3）＝5，∴AB＝eq\r(5)(km）．∴A、B之间的距离为eq\r（5）km.例2解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α,∠BAC＝α－β，∠BAD＝α。根据正弦定理，eq\f（BC,sinα－β)＝eq\f(AB，sin90°＋β）,所以AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β)＝eq\f（BCcosβ,sinα－β).解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCcosβsinα,sinα－β).将测量数据代入上式，得BD＝eq\f（27。3cos50°1′sin54°40′,sin54°40′－50°1′）＝eq\f(27.3cos50°1′sin54°40′，sin4°39′)≈177。4(m）．CD＝BD－BC≈177。4－27。3≈150（m）．答山的高度约为150m。跟踪训练230解析设两条船所在位置分别为A、B两点,炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AC＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3）（m），BC＝eq\f（30，tan45°）＝30(m），C＝30°,AB2＝(30eq\r(3))2＋302－2×30eq\r(3)×30×cos30°＝900，所以AB＝30（m）．例3解在△ABC中,∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r（67.52＋54。02－2×67。5×54.0×cos137°)≈113.15(nmile）．根据正弦定理，eq\f（BC,sin∠CAB)＝eq\f（AC，sin∠ABC），sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ABC,AC）＝eq\f(54。0sin137°,113.15)≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答此船应该沿北偏东56。0°的方向航行，需要航行113。15nmile。跟踪训练3解如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里),AC＝eq\r(3）at(海里），B＝90°＋30°＝120°，由eq\f（BC，sin∠CAB)＝eq\f(AC，sinB)得:sin∠CAB＝eq\f（BCsinB,AC)＝eq\f（at·sin120°，\r(3)at）＝eq\f(\f（\r(3），2),\r(3）)＝eq\f(1,2），∵0°<∠CAB〈90°，∴∠CAB＝30°。∴∠DAC＝60°－30°＝30°.∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．当堂训练1．A2.20eq\r（3）米、eq\f（40,3）eq\r（3）米3．解由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理eq\f(AC，sin∠ABC）＝eq\f（AB，sin∠ACB），故AB＝eq\f(AC·sin∠ACB，sin∠ABC)＝eq\f（50×\f(\r（2），2),\f（1,2）)＝50eq\r(2)（m)．4．解在△ABT中，∠ATB＝21。4°－18.6°＝2。8°,∠ABT＝90°＋18。6°,AB＝15(m)．根据正弦定理，eq\f(15，sin2。8°