第七章-矩阵位移法2014 011

例4.作M图，

EI=常数R1=0解:Z1=12i4i3iiM1R1t由结果可见：温度变化引起的位移与EI大小无关，内力与EI大小有关lllZ1MtM一.单跨超静定梁的形常数与载常数二.位移法基本概念三.位移法基本结构与基本未知量四.位移法典型方程五.算例六.平衡方程法建立位移法方程1.转角位移方程Slope-DeflectionEquation§6.2位移法基本概念、典型方程§6.2位移法基本概念、典型方程1.转角位移方程

Slope-DeflectionEquation由线性小变形，由叠加原理可得

单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下xyP+++t1t2符号规定:杆端弯矩---绕杆端顺时针为正杆端剪力---使受力体顺时针转动为正杆端转角---顺时针为正杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正固端弯矩转角位移方程A端固定B端定向杆的转角位移方程为A端固定B端铰支杆的转角位移方程为2.平衡方程法建立位移法方程1.转角位移方程

Slope-DeflectionEquationEI=CPADBCDZ1=12i2i4i4i3iP3Pl/16一.单跨超静定梁的形常数与载常数二.位移法基本概念三.位移法基本结构与基本未知量四.位移法典型方程五.算例六.平衡方程法建立位移法方程七.力法与位移法的比较§6.2位移法基本概念、典型方程一.单跨超静定梁的形常数与载常数二.位移法基本概念三.位移法基本结构与基本未知量四.位移法典型方程五.算例六.平衡方程法建立位移法方程七.力法与位移法的比较§6.2位移法基本概念、典型方程力法、位移法对比力法基本未知量：多余约束力基本结构：一般为静定结构。作单位和外因内力图由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。建立力法方程（协调）位移法基本未知量：结点独立位移基本结构：单跨梁系作单位和外因内力图由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。建立位移法方程（平衡）

解方程求多余未知力迭加作内力图用变形条件进行校核

解方程求独立结点位移迭加作内力图用平衡条件进行校核不能解静定结构可以解静定结构一.单跨超静定梁的形常数与载常数二.位移法基本概念三.位移法基本结构与基本未知量四.位移法典型方程五.算例六.平衡方程法建立位移法方程七.力法与位移法的比较§6.2位移法基本概念、典型方程一.单跨超静定梁的形常数与载常数二.位移法基本概念三.位移法基本结构与基本未知量四.位移法典型方程五.算例六.平衡方程法建立位移法方程七.力法与位移法的比较八.联合法与混合法§6.2位移法基本概念、典型方程1.联合法PEI=C=+P/2P/2P/2P/2P/2P/2力法:6个未知量位移法:6个未知量部分力法,部分位移法:4个未知量§6.3力法、位移法混合法基本思路

联合法是一个计算简图用同一种方法，联合应用力法、位移法。

混合法则是同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。超静定次数少，独立位移多的部分取力为未知量。超静定次数多，独立位移少的部分取位移作未知量。2.混合法用混合法计算图示刚架,并作弯矩图.EI=常数.这样做系数如何计算？系数间有什麽关系，依据是什麽？如何建立方程，其物理意义是什麽？请自行求系数、列方程、求解并叠加作弯矩图原则上与未知力对应的系数用图乘求，与位移对应的系数用平衡求。系数间有位移和反力互等的关系。按典型方程法建立，力法部分协调方程，位移法部分平衡方程。第七章矩阵位移法7-1基本概念

7-2单元分析

7-3坐标转换问题

7-4整体分析§7­1

基本概念

矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。

理论基础：位移法分析工具：矩阵计算手段：计算机

有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。主要包括:离散化;单元分析;整体分析等基本思想:化整为零

------结构离散化将结构拆成杆件,杆件称作单元.单元的连接点称作结点.单元分析

对单元和结点编码.634512135642单元杆端力集零为整------整体分析单元杆端力结点外力单元杆端位移结点外力单元杆端位移(杆端位移=结点位移)结点外力结点位移基本未知量:结点位移el,A.EI具体几项工作1、整体坐标系2、结点编码3、单元编号4、单元坐标系5、位移编码结点整体位移码单元局部结点码离散化将结构离散成单元的分割点称作结点.634512135642结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等整体编码：单元编码、结点编码、结点位移编码。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐标系:整体(结构)坐标系;X(u)Y(v)局部(单元)坐标系.矩阵位移法需要明确以下离散化的工作离散化，单元结点编号输入单元材料特性和杆件截面特性及约束条件和荷载信息§7­2

单元分析

建立单元杆端力和单元杆端位移的关系.

单元分析的目的:局部坐标系下单元刚度方程e12局部坐标系单元刚度方程局部单刚平面桁架的单元刚度矩阵连续梁单元的单元刚度矩阵e2112=12+简记为---单元刚度方程其中称作单元刚度矩阵(简称作单刚)----单元杆端力1,2----局部编码----单元杆端位移634512135642（0,0,0）（0,0,0）（1,0,2）（4,0,5）（1,0,3）（4,0,6）不计轴变时的结点位移编码(已知为零的位移不编号)e12不计轴向变形的平面梁柱单元的单元刚度矩阵则有

为局部坐标系中的单元刚度方程

建立单元杆端力和单元杆端位移的关系.

单元杆端力单元分析的目的:

单元杆端位移

单元杆端力和单元杆端位移的方向与局部坐标系一致为正.e12计轴向变形的平面自由式梁柱单元单元刚度矩阵可根据叠加原理得到拉压梁柱这一结果对应的杆端位移矩阵如何？单元刚度矩阵的性质

根据反力互等定理，单元刚度矩阵一定是对称矩阵。

除连续梁单元刚度矩阵外，其它三种单元刚度矩阵是奇异的。

解释一：从数学上看，因为存在相关的行、列，所以对应的行列式为零，矩阵不可逆。

解释二：从物理概念上看，因为杆端相当于没有约束（均可位移），自由体系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所以无法由平衡的外荷唯一地确定位移。

刚度矩阵元素kij的物理意义为：单元仅发生第个j杆端单位位移时，在第个i杆端位移对应的约束上所需施加的杆端力。§7­3

单元刚度矩阵的坐标转换1.问题的提出2.整体坐标系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力e122.整体坐标系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系e12简记为:其中单元的坐标转换矩阵e2.整体坐标系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系e12其中单元的坐标转换矩阵e可直接验证坐标转焕矩阵是一个正交矩阵.即对于杆端位移有相同的关系: