2017-2018版高中数学第二章解三角形1.2余弦定理(二)学案5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE1.2余弦定理（二)学习目标1。熟练掌握余弦定理及其变形形式.2。会用余弦定理解三角形.3。能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形思考在△ABC中,若B＝30°，AB＝2eq\r(3），AC＝2，可以先用正弦定理eq\f（b,sinB）＝eq\f(c,sinC)求出sinC＝eq\f(\r（3），2).那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能,怎么解？梳理已知两边及其一边的对角,既可先用正弦定理，也可先用余弦定理,满足条件的三角形个数为0，1,2，具体判断方法如下:设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理eq\f(a，sinA)＝eq\f(b，sinB），可求得sinB＝eq\f(bsinA，a）。（1）当A为钝角时，则B必为锐角,三角形的解唯一；（2)当A为直角且a〉b时,三角形的解唯一；(3）当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆,三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当a<CD时,无解；②当a＝CD时,一解;③当CD<a〈b时,则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角,此时B的值有两个．④当a≥b时，一解．（4)如果a>b,则有A〉B,所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二判定三角形的形状思考1三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？思考2△ABC中,sin2A＝sin2B.则A，B一定相等吗？梳理判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边（或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三证明三角形中的恒等式思考前面我们用正弦定理化简过acosB＝bcosA,当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？梳理证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的差异．类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形引申探究例1条件不变，用正弦定理求c.例1已知在△ABC中，a＝8,b＝7，B＝60°，求c.反思与感悟相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．跟踪训练1在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝eq\f(π，3），a＝eq\r（3），b＝1,则c等于(）A．1 B．2C。eq\r(3）－1 D.eq\r(3)类型二利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB;（2）b＝ccosA＋acosC；（3）c＝acosB＋bcosA,这三个关系式也称为射影定理,请给出证明．反思与感悟证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化;二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边,求证：eq\f(cosB,cosC）＝eq\f（c－bcosA,b－ccosA）.类型三利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3在△ABC中,已知(a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状．反思与感悟（1）判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2＝2bccosA，b2＋c2＝(b＋c）2－2bc等等．跟踪训练3在△ABC中，若B＝60°,2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于（）A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．在△ABC中,若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．在△ABC中,若B＝30°，AB＝2eq\r(3），AC＝2,则满足条件的三角形有几个？1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下,利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解,只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径:(1）化边为角；（2)化角为边,并常用正弦(余弦）定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．

答案精析问题导学知识点一思考能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB中，已知三个量AC＝b,AB＝c,cosB，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．知识点二思考1不需要．如果所知条件方便求角,只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cosC的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．思考2∵A，B∈（0，π），∴2A,2B∈(0,2π），∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f（π,2).知识点三思考由余弦定理得aeq\f（a2＋c2－b2,2ac）＝beq\f（b2＋c2－a2，2bc),去分母得a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2,化简得a＝b。题型探究例1解由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB,得72＝82＋c2－2×8×ccos60°,整理得c2－8c＋15＝0,解得c＝3或c＝5.引申探究解由正弦定理，得eq\f(a,sinA）＝eq\f(c，sinC）＝eq\f（b,sinB)＝eq\f(7，sin60°）＝eq\f(14\r(3)，3)，∴sinA＝eq\f（a,\f（14\r(3),3）)＝eq\f(4,7）eq\r（3)，∴cosA＝±eq\r（1－sin2A)＝±eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3)，7））)2）＝±eq\f（1,7）.∴sinC＝sin［π－(A＋B)］＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,7）eq\r(3)·eq\f（1,2）±eq\f(1,7）·eq\f(\r（3）,2)，∴sinC＝eq\f(5\r(3），14)或sinC＝eq\f（3\r(3）,14）.当sinC＝eq\f（5\r(3),14)时，c＝eq\f（14\r(3）,3)·sinC＝5；当sinC＝eq\f(3\r（3),14）时,c＝eq\f（14\r(3）,3）·sinC＝3.跟踪训练1B例2证明方法一(1）由正弦定理,得b＝2RsinB,c＝2RsinC，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R（sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C）＝2RsinA＝a。即a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2）b＝ccosA＋acosC；(3）c＝acosB＋bcosA.方法二（1）由余弦定理,得cosB＝eq\f（a2＋c2－b2,2ac），cosC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab)，∴bcosC＋ccosB＝b·eq\f（a2＋b2－c2，2ab)＋c·eq\f（a2＋c2－b2，2ac)＝eq\f（a2＋b2－c2，2a)＋eq\f（a2＋c2－b2，2a）＝eq\f（2a2,2a）＝a.∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证（2)b＝ccosA＋acosC；（3)c＝acosB＋bcosA.跟踪训练2证明方法一左边＝eq\f(\f（a2＋c2－b2,2ac）,\f(a2＋b2－c2，2ab）)＝eq\f（ba2＋c2－b2，ca2＋b2－c2）,右边＝eq\f（c－b·\f(b2＋c2－a2，2bc),b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc))＝eq\f（ba2＋c2－b2,ca2＋b2－c2），∴等式成立．方法二右边＝eq\f（2RsinC－2RsinBcosA,2RsinB－2RsinCcosA）＝eq\f(sinA＋B－sinBcosA，sinA＋C－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB,sinAcosC）＝eq\f(cosB，cosC）＝左边，∴等式成立．例3解由（a＋b＋c)(b＋c－a）＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc)＝eq\f(bc,2bc）＝eq\f(1,2)。∵0〈A〈π，∴A＝eq\f（π,3）.又sinA＝2sinBcosC。∴由正弦、余弦定理,得a＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f（a2＋b2－c2,a），∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．跟踪训练3解方法一根据余弦定理,得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a＋c,2)）)2＝a2＋c2－2accos60°，整理得（a－c)2＝0，∴a＝c。又∵2b＝a＋c，∴2b＝2c,即b＝c。∴△ABC是等边三角形．方法二根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC。又∵B＝60°,∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin（120°－A)，A∈（0°，120°），整理得sin(A＋30°）＝1，A＋30°∈(30°，150°)，∴A＋30°＝90°,∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是等边三角形．当堂训练1．C2。C3．解设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理得b2＝a2＋c2