2017-2018版高中数学第二章概率5第2课时离散型随机变量的方差学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE第2课时离散型随机变量的方差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2。能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．知识点离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为X012Peq\f（6,10）eq\f（1,10)eq\f(3，10)Y012Peq\f(5,10）eq\f（3，10）eq\f（2,10）思考1试求EX，EY.思考2能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低?思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理（1)离散型随机变量的方差的含义设X是一个离散型随机变量，用E（X－EX）2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________,称E(X－EX）2为随机变量X的方差，记为________．（2）方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系方差越____,随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周围．（3）参数为n,p的二项分布的方差当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np（1－p)．类型一求离散型随机变量的方差命题角度1已知分布列求方差例1已知X的分布列如下：X－101Peq\f（1,2)eq\f（1,4）a（1）求X2的分布列;（2)计算X的方差；(3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错!在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式DX＝EX2－（EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用,如D(aX＋b）＝a2DX。跟踪训练1已知η的分布列为η010205060Peq\f（1,3)eq\f（2,5）eq\f（1,15）eq\f(2,15)eq\f（1,15)（1）求方差；(2）设Y＝2η－Eη，求DY。命题角度2未知分布列求方差例2某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4,在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．反思与感悟(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤①理解X的意义，写出X可能取的全部值．②求X取每个值的概率．③写X的分布列．④求EX，DX。(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np（1－p)．跟踪训练2在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球,其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球,若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．类型二方差的实际应用例3某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也可能亏损15％，且这两种情况发生的概率为eq\f（7，9）和eq\f(2，9)。项目二:通信设备．据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50％，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(3，5），eq\f（1，3)和eq\f（1，15）.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由．反思与感悟均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的,还需比较它们的取值的离散型程度,即通过比较方差，才能做出更准确的判断．跟踪训练3甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ，η的分布列为ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0。3（1)求a,b的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况．1．已知随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2）eq\f（1,3)eq\f（1,6)则下列式子:①EX＝－eq\f（1,3）；②DX＝eq\f(23，27）；③P(X＝0）＝eq\f(1，3).其中正确的个数是(）A．0B．1C．2D．32．已知随机变量X的分布列为P（X＝k)＝eq\f(1,3）（k＝1，2，3)，则D(3X＋5）等于()A．6B．9C．3D．43．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________。X－1012Pabceq\f(1,12)4。有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知EX＝EY，DX〉DY,则自动包装机________的质量较好．(填“甲”或“乙”)5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ。1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围;反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别:样本方差是随着样本的不同而变化的，因此,它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．

答案精析问题导学思考1EX＝0×eq\f（6，10）＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f（3，10)＝eq\f(7，10），EY＝0×eq\f（5,10）＋1×eq\f（3，10)＋2×eq\f（2，10）＝eq\f（7,10）.思考2不能，因为EX＝EY.思考3方差．梳理（1)平均偏离程度均值DX(2）大小题型探究例1解（1)由分布列的性质，知eq\f（1,2)＋eq\f（1,4）＋a＝1,故a＝eq\f（1,4）,从而X2的分布列为X201Peq\f（1，4）eq\f（3,4）（2)方法一由(1）知a＝eq\f（1,4）,所以X的均值EX＝(－1）×eq\f(1,2）＋0×eq\f（1，4）＋1×eq\f(1,4）＝－eq\f（1,4).故X的方差DX＝(－1＋eq\f(1，4)）2×eq\f(1，2)＋(0＋eq\f(1，4）)2×eq\f(1，4）＋（1＋eq\f（1,4))2×eq\f（1，4）＝eq\f(11,16）.方法二由(1）知a＝eq\f(1,4），所以X的均值EX＝（－1)×eq\f（1,2)＋0×eq\f(1，4)＋1×eq\f（1,4）＝－eq\f（1,4)，X2的均值EX2＝0×eq\f（1，4)＋1×eq\f(3，4）＝eq\f（3，4），所以X的方差DX＝EX2－(EX）2＝eq\f(11,16）。(3）因为Y＝4X＋3，所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.跟踪训练1解(1)∵Eη＝0×eq\f(1,3）＋10×eq\f（2,5）＋20×eq\f(1，15）＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f（1，15)＝16，∴Dη＝(0－16）2×eq\f(1,3）＋（10－16)2×eq\f（2，5）＋(20－16）2×eq\f(1，15)＋(50－16)2×eq\f(2,15)＋(60－16）2×eq\f（1，15）＝384，(2）∵Y＝2η－Eη，∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1536.例2解X可能的取值为0，1,2,3，4，且P（X＝0)＝eq\f（1,C\o\al（4,8））＝eq\f（1，70），P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4）C\o\al（3，4）,C\o\al（4，8）)＝eq\f（8,35），P(X＝2）＝eq\f(C\o\al(2，4）C\o\al（2，4),C\o\al(4,8））＝eq\f(18,35)，P(X＝3）＝eq\f（C\o\al(3，4)C\o\al（1，4），C\o\al（4，8）)＝eq\f（8,35)，P（X＝4)＝eq\f（1，C\o\al（4，8))＝eq\f（1,70）。即X的分布列为X01234Peq\f（1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35）eq\f(8,35）eq\f（1，70）∴EX＝0×eq\f（1,70）＋1×eq\f(8，35）＋2×eq\f（18,35)＋3×eq\f（8,35）＋4×eq\f（1,70）＝2,DX＝(0－2）2×eq\f（1，70）＋（1－2）2×eq\f（8，35)＋（2－2)2×eq\f(18,35)＋（3－2)2×eq\f（8,35）＋(4－2)2×eq\f（1，70）＝eq\f（4,7）。跟踪训练2解X的可能取值为1,2，3，4，5.P（X＝1）＝eq\f(1,5),P(X＝2）＝eq\f（4，5）×eq\f（1，4)＝eq\f(1,5)，P（X＝3)＝eq\f(4，5)×eq\f(3，4)×eq\f（1,3)＝eq\f（1，5），P（X＝4）＝eq\f(4，5）×eq\f(3，4)×eq\f（2，3）×eq\f（1,2）＝eq\f(1,5)，P(X＝5)＝eq\f(4，5)×eq\f（3,4)×eq\f(2，3）×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,5）。∴X的分布列为X12345P0。20。20.20。20。2由定义知，EX＝0.2×（1＋2＋3＋4＋5）＝3.DX＝0.2×（4＋1＋0＋1＋4）＝2。例3解若按项目一投资，设获利X1万元，则X1的分布列为X1300－150Peq\f（7，9）eq\f（2，9)∴EX1＝300×eq\f（7，9)＋(－150）×eq\f(2,9）＝200（万元)．DX1＝（300－200）2×eq\f(7,9）＋（－150－200）2×eq\f（2，9)＝35000，若按项目二投资，设获利X2万元，则X2的分布列为X2500－3000Peq\f（3,5）eq\f(1，3）eq\f（1,15)∴EX2＝500×eq\f(3，5）＋(－300）×eq\f（1,3)＋0×eq\f（1,15）＝200（万元)．DX2＝(500－200）2×eq\f(3,5)＋（－300－200）2×eq\f（1,3)＋(0－200）2×eq\f(1，15）＝140000，∴EX1＝EX2,DX1＜DX2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述,建议该投资公司选择项目一投资．跟踪训练3解（1）由离散型随机变量的分布列的性质，可知a＋0.1＋0。6＝1,所以a＝0。3.同理，0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4.(2）Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2。3，Eη＝1×0。3＋2×0。4＋3×0.3＝2。Dξ＝（1－2.3)2×0.3＋(2－2.3）2×0。1＋（3－2.3）2×0。6＝0。81，Dη＝（1－2）2×0。3＋(2－2）2×0.4＋（3－2）2×0。3＝0.6。由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明在平均得分相差不大的情况下,甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势．当堂训练1．C2。A3。eq\f（5,12)eq\f（1,4）4。乙5．解ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况,即编号为1,2，3的座位上分别坐了编号为2,3，1或3,1，2的学生，则P（ξ＝0)＝eq\f(2，A\o\al（3,3))＝eq\f（1，3）；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P（ξ＝1）＝eq\f(C\o\al(1，3），A\o\al(3,3））＝eq\f(1,2);ξ＝3表示三位学生全坐对了,即对号入座，则P（ξ＝