第6章微波谐振器

第6章微波谐振器微波谐振器通常由一定形状的“电壁”或“磁壁”限定的体积内，产生电磁振荡。它是一种储能和选频谐振元件，用于滤波器、振荡器、频率计、调谐放大器等。什么是电壁，磁壁？电力线垂直理想导体表面磁力线垂直理想磁介质表面谐振器：低频（<300MHz）采用集中参数的LC谐振回路；但在高频段（≥300MHz），LC回路的欧姆损耗、介质损耗、辐射损耗增大，品质因素Q下降。

微波谐振器可以定性地看作是由集中参数LC谐振回路过渡而来的，如图所示。

在研究谐振频率f0时，采用不计及腔损耗，即腔壁由理想导体构成。但是，当研究Q时,则必须考虑损耗的因素。6-1微波谐振器的基本特性与参数一、任意形状微波谐振器自由振荡的基本特性任意形状理想导电壁的谐振器，填充均匀介质，且无源，电磁场满足边界条件：分离变量法为满足边界条件的模式矢量函数谐振器自由振荡的模式角频率对于谐振器，某一自由振荡模式谐振器自由振荡的模式，其最大电场储能量等于最大磁场储能量微波谐振器可以存在无穷多不同振荡模式的自由振荡不同振荡模式具有不同的振荡频率，而LC回路只有单一谐振频率。对于微波谐振器的某一模式（频率），电场与磁场的实间相位差90°，即电场最大时，磁场最小。能量在电场与磁场间交换。但最大储能相等。与LC回路相似二、谐振器的基本参数1、谐振波长表征谐振器的振荡规律和存在条件。在求解中,它与传输线不同。在传输线中z是优势方向:即从概念上讲：x、y方向是驻波，而z方向假定是行波。xy0-z例，矩形波导x0-zy矩形谐振腔可见,传输线kc

是二维谐振，将一端矩形波导两段封闭，z方向的行波解也变为驻波形式。即，谐振腔在三个方向都是纯驻波。

为波导的截止波长，波导波长在z方向，也有边界限制，也应呈驻波分布2、品质因数

表征微波谐振系统的频率选择性，表示谐振器储能与损耗间关系。谐振器平均储能；一周期内的平均损耗功率谐振器内壁的切向磁场一般总大于腔内磁场，近似有

可以知道，小、V/S大，是Q0大的先决条件。理想腔的品质因数也称为固有品质因数Q0(或无载Q值)。

Q无量纲,只与媒质、腔体几何形状和波型有关。事实上可以有很多损耗源，例如除了导电壁的Q值以外，最普遍的是介质对应的Qd。这时储能和损耗功率分别是

可见,均匀分布的介质Q值是一个普适的公式，它与波型无关。现在，我们进一步引进复频率，令于是内部场可写成

复频率相当于场衰减。于是能量可写成

而损耗功率，于是

比较上两式引入复频率，可以把谐振频率和幅值包含在一个公式之中3、损耗电导

将单模谐振器等效为LC回路，用等效电导表示谐振器功率损耗为等效电路两段电压幅值现代微波理论中对于G0这个参量已经比较淡化(只有在TEM波，例如同轴腔才使用)，而强调ω0和Q这两个参量。6-2串联和并联谐振电路输入阻抗输入复功率电阻耗散功率一、串联谐振电路谐振时，电感中平均储磁场能量电容中平均储电场能量1、谐振频率复功率2、品质因数串联谐振电路在谐振频率附近有耗谐振器可看成有复谐振频率的无耗的二、并联谐振电路电阻耗散功率复功率1、谐振频率2、品质因数在谐振频率附近谐振频率可采用电纳法分析。在谐振时，谐振器内电场能量和磁场能量彼此相互转换，其谐振器内总的电纳为零。如果采用某种方法得到谐振器的等效电路，并将所有的等效电纳归算到同一个参考面上，则谐振时，此参考面上总的电纳为零，即获得谐振频率。6-3传输线谐振器利用不同长度和端接（开路或短路）的TEM传输线端构成一、短路λ/2线型谐振器终端短路的有耗线，谐振时，，则特性阻抗相移常数衰减常数输入阻抗无耗线当与串联谐振电路的输入阻抗相似。等效电感等效电容品质因数二、短路λ/4线型谐振器长度为（2n－1）λ/4(n=1,2,3…)短路传输线构成并联谐振器。由回顾无耗传输线输入阻抗等效为并联谐振电路谐振时，令回顾并联RLC谐振电路

重写比较两式三、同轴谐振腔同轴谐振腔通常分为/2型、/4型及电容加载型三种。其工作特点简要介绍如下。1、/2型同轴谐振腔/2型同轴谐振腔由两端短路的一段同轴线构成，如下图所示。谐振条件为

由上式可导出谐振波长0与腔体长度l的关系为或/2型同轴谐振腔的品质因数为当(b/a)=3.6时，同轴腔的品质因数Q0达最大。2、/4型同轴谐振腔谐振时应满足：或由于这类同轴腔内导体长度为0/4的奇数倍，故称为四分之一波长型同轴谐振腔。谐振波长0与腔体长度l的关系为四、开路λ/2线型谐振器带状线和微带线也传输TEM波，λ/2开路线回顾第2章终端开路无耗线，输入阻抗等效并联谐振电路由谐振附近时，令对比并联RLC谐振电路获得五、电容加载型同轴谐振腔电容加载型同轴谐振腔谐振条件：回顾终端接纯电容负载相当小于λ/4开路线等效满足谐振条件的C值如果将缝隙电场近似看作均匀分布，则式中C可按平板电容公式计算0为空气的介电常数，a为同轴腔内半径，d为缝隙宽度。6-4金属波导谐振腔一、矩形谐振腔矩形谐振腔是由一段两端短路的矩形波导构成，它的横截面尺寸为ab，长度为l。1、谐振模式及其场分布在TEmn模和TMmn中横向电场传播常数首先在z=0处放一块金属板(全反射),则有

则又在z＝l处方金属板，要求谐振时腔边长等于半波导波长的整数倍矩形谐振腔的截止波数TEmnp和TMmnp

模式谐振频率矩形波导中传输的电磁波模式有TE模和TM模，相应谐振腔中同样有TE谐振模和TM谐振模，分别以TEmnp和TMmnp表示，存在无穷多个模式。其中下标m、n和p分别表示场分量沿波导宽壁、窄壁和腔长度方向上分布的驻波数。在众多谐振模中，TE101为最低谐振模。它是由传输线TE10模在z方向加两块短路板而构成的金属封闭盒。

2、矩形腔TE10p模的场和Q

TE101模Ey（1）TE10p模的场可采用Maxwell方程组解出归纳起来TE101模的场

TE10波导模的场Ey和Hx在z方向行波同时出现最大值TE101模中最大值对应最小值相位差90°，因此Sz只有虚功率。在相位方面，只差一负号有行波传输的实功率TE101模的场结构

由于

可知

值得提出：如果是TE10p模只要作代换即可，这时有（2）

TE101和TE10p模的Q值电磁储能功率损耗功率损耗推广到TE10p模无耗情况下的Q值当介质有耗，介质耗散功率［例］铜制矩形腔尺寸a=l=2cm，b=1cm,TE101模，空气填充，求Q0值［解］

二、圆形波导谐振腔

与矩形腔的情况类似，我们以TEmn波为例，先研究z方向行波场——也即传输线情况。

在z=0处放一金属板，Hz=0的全反射条件

其中，kc=mmn/R，umn是m阶Bessel函数导数的根。在z=l处放一金属板，再构成Hz=0的全反射条件。RrxZjy0由sinβl=0可得到β

=pp

/l，且

我们再次看到尽管圆柱腔和矩形腔横向截面完全不同，但是纵向因子是一样的，这正是传输线型谐振腔的共同特点。1、圆柱腔中的场在波导中，横向分量用纵向分量表示如下：注意到谐振腔与波导的不同，重新作变换，即

可以得到TEmnp模场本征解表达式

2、谐振频率fmnp

传播常数谐振频率圆柱腔三种主要工作模式

TM010为金属的趋肤深度TE111TE011

工作模式图的目的在于选择频率范围，在此内单模工作。其中

利用λ0=c/f0和D=2a可知

已知谐振波长圆柱形谐振腔的谐振模式图对于圆柱腔TEmnp谐振模，有对于圆柱腔TMmnp谐振模，有即使同一个腔长，对于不同的模式都会同时谐振于同一个频率上，这就是圆柱腔存在的干扰模问题。若取不同的m、n和p值，将上面两式画在横坐标为(D/l)2，纵坐标为(f0D)2的坐标系内，则可得到一系列的直线，这些直线构成了模式图。圆柱形谐振腔的谐振模式图为了使谐振腔正常工作，须合理选择工作方框，使工作方框内不出现或少出现不需要的干扰模式。工作方框是以工作模式的调谐直线为对角线，由最大和最小的(f0D)2和相对应(D/l)2所确定的区域。设计谐振腔和工作模式都可确定其相应的工作方框，方框的中心位置由固有品质因数较高Q值确定。方框的高度由工作频带来确定。在工作方框中任何非对角线模式，都是不需要的干扰模式。这些干扰模会影响谐振腔正常工作。在设计圆柱谐振腔时，应尽可能消除干扰模的影响，移动方框的中心位置或缩小工作方框，使干扰模不出现在工作方框内，还可以合理选择激励和耦合机构，使干扰模不被激励，或者使已出现的干扰模无法耦合输出。矩形腔和圆柱腔比较

TEmnp模

矩形圆柱它们的z方向函数相同，传输线型谐振腔均满足广义传输线理论。

谐振腔场方程

谐振波长

品质因