第4章-区间估计0

区间估计区间估计的概念

问题：在实际工作中，由于总体中各观察对象之间存在着个体变异，且随机抽取的样本又只是总体中的一部分，因此计算的样本统计量，不一定恰好等于相应的总体参数；

eg1:从某地7岁男童中随机抽取110名，测得平均身高为119.95cm，该样本均数不一定等于该地7岁男童身高的总体均数。eg2:

某县为血吸虫病流行区，从该县人群中随机抽取400人，测得的血吸虫感染人数为60人，感染率为15%，该样本率不一定等于该地人群的总体感染率。

总体X的未知参数

的估计量是随机变量，无论这个估计量的性质多么好，它只能是未知参数的近似值，但近似程度如何？误差范围多大？可信程度又如何？这些问题是点估计无法回答的。

那么

的真值在什么范围内呢？是否能通过样本寻求一个区间，并且给出此区间包含参数

真值的可信程度．这就是总体未知参数的区间估计问题．

在区间估计理论中，被广泛接受的一种观点是置信区间，它是由艾曼（Neymann)于1934年提出的。区间估计的思想

点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。引例设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计量可知由查表得定义1

设总体X的分布函数F(x;)，为未知参数，X1,X2,…,Xn是取自总体的样本，对给定值

(0<<1),若存在统计量和满足则称随机区间为的置信水平为1-

的置信区间,

和分别称为置信度为的置信下限与置信上限，称为置信水平(置信度)．一、置信区间的概念这种估计的方法叫做区间估计.评价置信区间好坏标准：(1)精度：越小越好；(2)置信度：越大越好.置信区间的估计精度：置信区间的长度=;［注］置信度的(1-)含义：若重复多次抽样,得到样本X1,X2,…,Xn的多个样本值x1,x2,…,xn

，对应每个样本值都确定了一个置信区间，每个这样的区间要么包含了的真值

，要么不包含真值.当抽样次数100次时，这些区间中包含真值的区间大约占100(1-)%个，不包含的区间大约占100%.当Ｘ是连续型随机变量时，对于给定的，我们总是要求(2)围绕构造一个与待估参数有关的函数U,且分布已知；(1)选取未知参数的某个较优估计量，一般步骤：寻求置信区间的基本思想：在点估计的基础上，构造合适的含样本及待估参数的函数U，且已知U的分布，再根据给定的置信度导出待估参数置信区间.二、寻求置信区间的方法(4)对上式作恒等变形，化为(3)对给定的置信水平1-，确定1与2，使则就是的置信水平为1-的双侧置信区间.对于给定的(0<<1),令

设总体X~N(,2),X1,X2,…,Xn是总体X的样本，求,2

的置信水平为(1)的置信区间.

单个正态总体的情况⑴均值的置信区间(a)2为已知时,因为求得的置信度水平为(1)的置信区间:(2为已知)/2/2或X是,的无偏估计,且注：置信水平为(1)的置信区间不唯一.如上例=0.05,可证置信区间长度越短表示估计的精度越高.例1

某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：cm）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）试求该天产品的平均直径EX的点估计；（2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信

区间：=0.05；=0.01。解（1）由矩法估计得EX的点估计值为续解（2）由题设知X~N（，0.06）构造U-统计量，得EX的置信区间为当=0.05时，而所以，EX的置信区间为（14.754，15.146）当=0.01时，所以，EX的置信区间为（14.692，15.208）置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。例2

假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布N（，2），且标准差=12元，今要对该地旅游者的平均消费额EX加以估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差小于2元，问至少要调查多少人？解由题意知：消费额X~N（，122），设要调查n人。由即得查表得而解得至少要调查139人(b)2为未知时,因为S2是2的无偏估计量,所以用S替换,求得的置信水平为(1)的置信区间:(2未知)/2/2例3

某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。解由题设可知：口杯的重量X~N（，2）由抽取的9个样本，可得由得查表得全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）练习假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需求？解由题设可知：平均需求量X~N（，2）平均消费额的置信区间为（9.229，10.771）由查表得续解要以99%的概率满足10000户居民对该种商品的需求，则最少要准备的量为（公斤）最多准备（公斤）如果总体X~N（，2），其中已知，2未知由构造2-统计量查2-分布表，确定双侧分位数从而得2的置信水平为1-的置信区间为(2)方差2

的置信区间(已知的情况)例已知某种果树产量服从Ｎ（218，2），随机抽取6棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236试以95%的置信水平估计产量的方差。解计算查表果树方差的置信区间为

2的无偏估计量为S2

，(未知的情况)当1-给定后,因为即得到方差2

的一个置信度为1-

的置信区间:(2)方差2

的置信区间标准差

的一个置信度为1-

的置信区间/2/2例4

设某灯泡的寿命X~N（，2），，2未知，现从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为90%的2的区间估计。解样本方差及均值分别为2的置信区间为（0.4195，5.5977）由得查表得小结总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（1）方差已知，对均值的区间估计

假设置信水平为1-构造U-统计量，反查标准正态分布表，确定U的双侧分位数

得EX的区间估计为小结总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（2）方差未知，对均值的区间估计

假设置信水平为1-构造T-统计量，查t-分布临界值表，确定T的双侧分位数

得EX的区间估计为小结总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（3）均值已知，对方差的区间估计

假设置信水平为1-构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数

得2的区间估计为小结总体服从正态分布的均值或方差的区间估计（4）均值未知，对方差的区间估计

假设置信水平为1-构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数

得2的区间估计为（1）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量（2）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量总体服从正态分布的对均值的区间估计区间估计（4）均值未知，对方差的区间估计，构造2统计量（3）均值已知，对方差的区间估计，构造2统计量总体服从正态分布的对方差的区间估计区间估计在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变,我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。(a)12,22均为已知:设总体X~N(1,12),Y~N(2,22),X1,X2,…,Xn1是X的样本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的样本.这两个样本相互独立，分别为第一、二个总体的样本均值与方差.因为1-2的无偏估计量,而即得1-2的(1))置信区间:两个正态总体的情况(1)两个总体均值差1-2的置信区间(置信度为(1))由第六章§2定理四知

(b),但为未知.从而可得的一个置信度为的置信区间为此处例3为比较I，II两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取I型子弹10发，得到枪口速度的平均值为，标准差．随机地取II型子弹20发，得到枪口速度的平均值为，标准差。假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为它们的方差相等。求两总体均值差的置信度为0.95的置信区间。=0.95,解：按实际情况，认为分别来自两个总体的样本是相互独立的。又由假设两总体的方差相等，但数值未知，故可用上式求均值差的置信区间。=0.025即（3.07,4.93）.故所求的两总体均值差的置信度为0.95的置信区间是例4

为提高某一化学生产过程的效率，试图采用一种新的催化剂。为慎重起见，在实验工厂先进行试验，设采用原来的催化剂进行了n1=8次试验，得到效率的平均值，样本方差

;又采用新的催化剂进行了n2=8次试验，得到效率的均值