第3章：多自由度振动3

§3.3频率方程的零根和重根情形看右图示例子，其刚度矩阵和质量矩阵为一.零根情形代入频率方程可解得请你思考：造成固有频率为零的数学原因和物理原因是什么？一般说来，将代入频率方程导出可见，从数学的角度来看，造成频率方程有零根的充分必要条件是由于刚度矩阵的行列式值等于零，所以此时刚度矩阵为奇异矩阵，即：此时柔度矩阵Ｆ不存在。仔细观察刚才的系统，发现它没有外界的约束，系统可以含有任意的刚体位移，因此，要求系统的柔度矩阵是不可能的。因此，从物理的角度来看，造成频率方程有零根的充分必要条件是：系统含有刚体位移。上述系统称为半正定系统。假定相应的主坐标方程为积分得表明此主振动转化为随时间t匀速增大的刚体位移系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除设为零固有频率对应的刚体位移模态正交性条件要求为系统的除刚体位移之外的其它模态将上式各项乘以与相应的主坐标并对i=2至n求和令为系统消除刚体位移后的自由振动，导出以下约束条件利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚体位移的缩减系统。缩减系统的刚度矩阵不再奇异

例4

讨论两端自由的轴上三个圆盘的扭转振动。各盘绕转动轴的转动惯量分别为J，2J和J，轴的抗扭刚度均为k。

解

以，，为广义坐标，系统的动能和势能分别为代入拉氏方程，导出动力学方程为其中直接验证可知刚度矩阵为半正定系统的本征方程为解出固有频率并可计算出相应模态其中与零频率对应的一阶模态为刚体转动，其模态示意图见下面系统模态1111-111-1为消去刚体转动自由度，将刚体转动模态代入导出如下的约束条件解出将解出的再代入系统的动能和势能得到代入拉氏方程，缩减系统的质量矩阵和刚度矩阵缩减后的刚度矩阵为正定矩阵，对应的本征方程为解出缩减系统的频率和模态为缩减系统与未缩减系统的计算结果完全相同注：缩减系统的动力学方程也可以将约束方程直接代入原来的未缩减系统动力学平衡方程得到二.重根情形在复杂系统中会出现某些特征值非常接近甚至相等的现象，如柔性航天结构。下面讨论特征值重根时系统的模态和其正交问题不失一般性，假设则在计算与该频率相对应的模态时，振幅方程组中会有两个方程不独立将A的最后两个元素的有关项移至等号右端和任意给定，两组线性独立的值，和，比如令从前面方程组解出其余n-2个的两组解记作此组合的第1、第2阶模态显然不是唯一的,也不是正交的。为

保证它们之间满足正交性条件，令也是原方程组的解显然与令正交解出待定常数从而得到相互独立且正交的第1、第2阶模态。思考：这样求得的前两阶模态与其余的n-2个模态是否正交？为什么？例

讨论图示由等刚度弹簧支承的质点的平面运动，设质点的质量为m

，弹簧的刚度均为k/2。解

系统的动力学方程为本征方程为固有频率为取模态为满足正交性条件取模态为也满足正交性条件§3.4多自由度系统在简谐激励下的受迫振动回顾:单自由度系统的受迫振动或稳态解为其中若不考虑阻尼,则稳态解为设n自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同的广义简谐力的激励，为简单起见，先不计阻尼影响系统的受迫振动方程其中x为位移向量.为激励频率

为广义激励力的幅值向量设动力方程的稳态解为其中X为受迫振动振幅组成的列阵代入动力方程导出记一.按刚度法求解于是有结论

因为系统的特征方程而故:激励频率接近系统的任何一个固有频率都会使受迫振动的振幅无限增大而引起共振在求得结构的振幅之后，若要计算结构的最大内力，可将最大惯性力和最大干扰力同时作用在结构上，然后按静力问题求解例设刚度系数为的弹簧支承的物体上受到简谐力此物体上安装由小物体和刚度系数为试证明在一定条件下吸振器能消除物体的受迫振动的激励。的弹簧组成的吸振器解动力方程为:令:代入动力方程后得到计算复频响应矩阵其中导出受迫振动的振幅显然,当和满足如下条件时可以得到这表明:处于共振状态的吸振器,激励力平衡，从而吸收了外界激励的全部能量，使物体的振动抑制为零。的惯性力恰好与例题三层刚架。质量、侧移刚度及动荷载如图所示，p(t)=100sintkN。每分钟振动200次。略去横梁变形。试求该刚架各层振幅值及各层柱的剪力幅值。解：（一）求各楼层的振幅：（二）求动内力值：44.5947.61617.492Q图（kN)位移（cm.)动M图（kN.m)二.按柔度法求解运动方程设达到稳态后，各质点按干扰力频率作简谐振动：代入动力方程得也可写成若动力荷载不是直接作用在结点上，则以代替在平稳阶段,各质点作简谐振动,振动频率与荷相同各质点的惯性力为各质点的惯性力的幅值为惯性力的幅值向量为代入方程整理得利用以上二式可以求得结构振动的振幅向量和惯性力的幅值向量与刚度法一样，若要计算结构的最大内力，可将最大惯性力和最大干扰力同时作用在结构上，然后按静力问题求解例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。已知：解：利用对称性可简化计算对称荷载反对称荷载质量1处的静位移质量1的位移动力系数质量1处的静弯矩质量1的弯矩动力系数结论

在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。￭10.8.5￭10.8.6￭10.8.6￭10.8.7直接解法:只适合于外部激励为同步的简谐激励模态叠加法:适合于外部激励为任意激励动力方程坐标变换主坐标

几何坐标向量

振型矩阵

其中荷载向量

§3.5多自由度系统在任意激励下的受迫振动坐标变换式代入动力方程，并两边左乘得到其中主坐标形式的动力学方程显然是解耦的，即可利用杜哈梅积分求出各主坐标的受迫振动特解模态叠加（振型分解)法计算步骤1.确定体系的自振频率和主振型；2.求广义质量，广义荷载；3.求广义坐标；4.求质点位移。例：求图示结构在突加荷载作用下的位移解确定自振频率和主振型主振型求广义质量、广义荷载求广义坐标求质点位移可见，第一主振型对位移的影响远大于第二主振型的影响。多自由度体系位移计算时，由于高阶振型分量影响很小，故通常只计算前2～3个振型的影响即可。例.求图示体系在突加荷载作用下的位移反应.解:m1m2已知:加荷前静止。§3.6有阻尼的受迫振动一.多自由度系统的阻尼阻尼力的机理很复杂，难以给出恰当的数学描述通常等效为粘性阻尼粘性阻尼系数系统仅沿第j个坐标有单位速度时，沿第i个坐标必须施加的力二.动力学方程利用拉格朗日方程，可以得到系统的动力学方程写成矩阵形式仍然利用振型叠加法主坐标

几何坐标向量

振型矩阵

其中荷载向量

结构质量矩阵

结构阻尼矩阵

结构刚度矩阵

三.方程求解Rayleigh阻尼将代入动力学方程并两边左乘得到其中一般情况下，振型关于阻尼矩阵不具有正交性,因此，此时的动力学方程无法求解为便于求解，通常假定阻尼矩阵C为质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合式中，a和b为两个待定系数此时即变成对角矩阵令模态阻尼矩阵原动力学方程组