第4章 梁的弯曲

机械设计基础

FundamentalsofMachineDesign

刘建军广东工业大学机电学院电话MAIL：teach_jj@163.com§4-1

弯曲的概念§4-2梁的弯曲应力§4-3

弯曲正应力和强度计算§4-4

提高梁弯曲强度的措施§4-5梁的刚度条件§4-6组合变形时的强度计算第4章梁的弯曲重点：熟练掌握梁剪力、弯矩的计算及剪力图、弯矩图的绘制。掌握弯曲正应力强度的计算。难点：梁的内力分析。梁最大弯矩的确定。第4章梁的弯曲外伸梁

1.弯曲的概念简支梁悬臂梁§4-1

弯曲的概念一、平面弯曲的概念受力特点：外力垂直于杆的轴线，或位于其轴线所在平面内的外力偶作用。变形特点：轴线由直线变为曲线，称弯曲变形;发生弯曲或以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。

2.平面弯曲§4-1

弯曲的概念一、平面弯曲的概念

1.梁的内力——弯矩和剪力

取左段为研究对象：ABxaF1FBFAF2简支梁(一端固定铰支座，一端活动铰支座)mmxyFAF1FQM剪力C若把左段上所有外力和内力对截面mm的形心C取矩，应满足力矩平衡，这就要求在截面mm上有一内力偶矩M弯矩§4-2

梁的弯曲内力一、梁的内力、弯矩图

1.梁的内力——弯矩和剪力

取左段为研究对象：ABxaF1FBFAF2mmxyFAF1FQMFQ’M’FBF2剪力C弯矩取右段为研究对象：剪力FQ’、弯矩M’§4-2

梁的弯曲内力一、梁的内力、弯矩图

1.梁的内力——弯矩和剪力

ABxaF1FBFAF2mmxyFAF1FQMFQ’M’FBF2C规定：剪力FQ的正负FQFQ(+)(-)FQFQ左段对右段：向上相对错动为正向下相对错动为负§4-2

梁的弯曲内力一、梁的内力、弯矩图

1.梁的内力——弯矩和剪力

ABxaF1FBFAF2mmxyFAF1FQMFQ’M’FBF2C规定：弯矩M的正负(+)(-)凸向下为正凸向上为负mmmm§4-2

梁的弯曲内力一、梁的内力、弯矩图例求简支梁n-n截面的弯矩解:(1)求支反力

AB1.5mF=10kNFBFAnnFAFQMFQ’M’FBF2.5m0.8m(2)求弯矩取左段为研究对象CC或:取右段为研究对象例求简支梁n-n截面的弯矩解:(1)求支反力

AB1.5mF=10kNFBFAnnFAFQMFQ’M’FBF2.5m0.8m(2)求弯矩取左段为研究对象CC或:取右段为研究对象凸向下为正凸向上为负截面左侧外力对截面形心的力矩顺时针转向取正值，逆时针转向取负值；截面右侧外力对截面形心的力矩逆时针转向取正值，顺时针转向取负值。

1.梁的内力——弯矩和剪力

2.弯矩图

弯矩方程

例

(增)写出弯矩方程,并画出弯矩图

解:AC段:

CB段:AB1.5mF=10kNFBFA2.5mxxxMO9.375+§4-2

梁的弯曲内力一、梁的内力、弯矩图例4-1图示简支梁AB,在梁的全长受均布载荷q的作用,试画出梁的弯矩图解:(1)求支反力ABFBFAq(2)列弯矩方程lx(3)画弯矩图x=0和x=l两处,M=0二次方程，抛物线,x=?,M→max+xMO例4-2图示为一长度为l的简支梁,在C点处受集中力F的作用,试画出梁的弯矩图解:(1)求支反力ABFBFA(2)列弯矩方程lx1(3)画弯矩图FxMOabCx2+例4-3图示为一长度为l的简支梁,在C点处受集中力偶MO的作用,试画出梁的弯矩图解:(1)求支反力

ABFBFA(2)列弯矩方程lx(3)画弯矩图xMOabCMOAC段:CB段:C点左侧截面C点右侧截面或+-弯矩突变课堂练习一图示悬臂梁,在B点处受集中力P的作用,试画出梁的弯矩图。解:(1)求支反力PlFAMAx(2)列弯矩方程(3)画弯矩图xOM-课堂练习二试列图示梁的弯矩方程，作弯矩图，并求出。(2)列弯矩方程AB段：BC段：(3)画弯矩图解:(1)求支反力ABFBFA20cmCM0=1000N·cm10cmxM(N·cm)O+1000注意BC段剪力=0弯矩M=常量纯弯曲课堂练习三试列图示梁的弯矩方程，作弯矩图。(2)列弯矩方程AC段：CD段：DB段：(3)画弯矩图解:(1)求支反力xMO注意CD段:剪力Q=0

弯矩M=常量纯弯曲ABFFBFAaaFCD+求出梁横截面上的剪力和弯矩后,为了解决梁的强度问题,必须进一步研究横截面上各点的应力分布情况。若梁横截面上只有弯矩而无剪力，则所产生的弯曲称为纯弯曲。ABFFBFAaaFCDxMO+CD段纯弯曲1.正应力的分布规律

(1)变形几何关系

(2)应力应变关系2.最大正应力的计算公式§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力

1.正应力的分布规律

(1)变形几何关系基本假设梁的横截面在变形后仍为平面，并垂直于变形后梁的轴线。只是绕横截面内的某一轴线转过一个角度，横截面间没有相对错动。§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力

1.正应力的分布规律

(1)变形几何关系§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力

1.正应力的分布规律

(1)变形几何关系凹入一侧变短外凸一侧变长中性层纵向纤维长度不变纵向对称平面梁轴线横截面对称轴中性轴§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力

1.正应力的分布规律

(1)变形几何关系取微段(长为dx)；变形后中性层长(O1O2)保持为dx；中性层曲率半径为ρ；距中性层y处纵向线长变为；伸长量为：正应变：︵︵§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力

1.正应力的分布规律

(1)变形几何关系正应变：纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比(2)应力应变关系关键是ρ=?需求出!︵§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力

2.最大正应力计算公式

取微面积dA,微内力为σdAσdA简化成3个内力分量轴力:对z轴的力偶矩:对y轴的力偶矩:§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力

2.最大正应力计算公式(轴惯性矩)抗弯刚度§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力

2.最大正应力计算公式Iz

——轴惯性矩Wz——抗弯截面系数Ip

——极惯性矩Wp——抗扭截面系数扭转拉压剪切扭转弯曲§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力3.梁弯曲时的强度计算适用于抗拉和抗压强度相等的材料对于象铸铁等脆性材料制成的梁，因材料的抗压强度远高干抗拉强度，其相应强度条件为:强度计算目的:(1)即校核梁的强度(2)设计梁的截面尺寸(3)确定梁的许用载荷。§4-3

弯曲正应力和强度计算一、弯曲时的正应力例图示车轴，已知a=310mm，l＝1440mm，F＝15.15kN，[σ]=100MPa，若车轴的横截面为圆环形，外径D＝100mm,内径d＝80mm，试校核车轴的强度。解:(1)求支反力(2)画弯矩图(3)校核车轴的强度例图示螺旋压板装置，已知a=50mm，压板的许用弯曲应力[σ]=140MPa，试计算压板给工件的最大允许压紧力F。解:将压板简化为外伸粱，受力如图

画弯矩图1.集中力远离简支梁的中点2.将载荷分散分布§4-4

提高梁弯曲强度的措施一、降低梁的最大弯曲3.合理安排支座的位置§4-4

提高梁弯曲强度的措施三、梁截面的合理形状§4-4

提高梁弯曲强度的措施二、采用等强度梁由于截面上的应用分布不均，为了充分利用材料，使截面尺寸随截面弯矩的大小而改变，如阶梯轴尽量考虑抗弯截面系数大而截面面积小的截面形状

у——挠度

θ——转角Fуθуmaxθmax一、梁的刚度概念§4-5

梁的刚度条件在工程实际中有许多构件在载荷作用下，常常同时产生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。如：

(1)“弯曲和扭转”组合变形

(2)“拉伸和扭转”组合变形

(3)“拉伸和弯曲”组合变形一、组合变形下强度计算