第1章数值分析-绪论

第1章绪论基础部数学教研室

彭晓华数值分析参考教材(TextBook)*《数值分析》，曾繁慧主编，中国矿业大学出版社*《数值分析》，李庆扬王能超易大义编，清华大学出版社基础知识微积分、线性代数、常微分方程数值分析——绪论1.1

数值分析的研究对象与特点数值分析(NumericalAnalysis):

数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法、理论与软件实现。本课程的主要内容：误差与误差分析非线性代数方程组求解线性代数方程组求解插值最佳逼近数值微分与数值积分常微分方程初值问题的数值解法数值分析的算法要求：（1）面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，这些计算是计算机能直接处理的运算（2）有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论的基础上数值分析的算法要求：（4）要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。（3）要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省计算时间，空间复杂性好是指节省存储空间，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现一个面向计算机，有可靠理论分析、计算复杂性好并且通过数值实验能够验证算法是行之有效的算法就是一个好的数值算法。如何学好这门课掌握微积分、线性代数、常微分方程的基本内容注意掌握基本原理和基本方法，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论注意用所学数值方法解决实际计算问题基本要求:确保出勤，有事请假认真完成习题的演练一定数量的数值实验（利用MATLAB用数值方法解决实际问题）结合自己的专业解决实际问题数值分析——绪论1.2.1误差的来源（1）模型误差：在建立数学模型时对被描述的实际问题进行抽象简化而产生的模型与实际问题之间的误差称为模型误差（2）观测误差（测量误差）：在数学模型中，根据实验观测得到的数据误差称为观测误差或测量误差1.2数值计算的误差数值分析——绪论（3）方法误差(截断误差)：当数学模型不能得到精确解时，通常用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为方法误差或截断误差。由Taylor多项式求的近似值。截断误差:例1数值分析——绪论由Taylor公式求ex的近似值。取n项近似:截断误差:例2数值分析——绪论由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示时要产生误差，计算过程又有可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差（4）舍入误差：用0.3333近似代替1/3.例3舍入误差:1/3-0.3333=0.000033….【注】（1）

数值分析中主要关心方法误差和舍入误差。不研究模型误差和观测误差。（2）方法误差将结合具体算法讨论。（3）下面介绍舍入误差，的基本概念和研究方法。数值分析——绪论1.2.2误差的概念设x为精确值,a为x的一个近似数。【定义1】如果一、绝对误差例如，用毫米刻度的米尺测量一长度的近似值，它的误差限是0.5mm.如读出的长度是765mm，则读出和该长度接近的刻度则称δ为a的绝对误差限(误差限)近似数a的绝对误差(误差):是数值分析——绪论对于一般情形例4

绝对误差的局限性例子。【注】绝对误差（或误差限）不能充分说明近似数的精确程度。则即但有时记为二、相对误差【定义2】(相对误差限)实际运算a=3.14是π的近似值。取5位,a=3.1416,δ≤0.000008三、有效数字例如【注】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字取3位,a=3.14,δ≤0.002误差数值分析——绪论误差近似数a的相对误差:例5

若近似值

且a1是1到9中的一个整数，意整数。m为整数，a2,…,an为0到9中的任【定义3】【注】

近似数的有效数字不但给出了近似值的大小,而且还指出了它的绝对误差限。数值分析——绪论成立,则称a近似x有n位有效数字。的误差限是某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有n位，就说有n位有效数字。它可以表示为则a=8.0000具有5位有效数字。设则例6因为m=-2,所以n=2，即a有2位有效数字。设x

=8.00001，例7数值分析——绪论若则因为m=-2,所以n=3，即a有3位有效数字。因为m=1,所以n=5，即a有5位有效数字。如果以为单位,重力常数例8它们都有3位有效数字，因为按第一种写法数值分析——绪论根据前面的式子，这里如果以为单位，这里按第二种写法3位有效数字，绝对误差限由于单位不同而不同尽管写法不同，但都具而相对误差限相同，因为注：（1）相对误差和相对误差限是无量纲的，

（3）有效位数与小数点后有几位无关，

具有n位有效数字的近似数数值分析——绪论的绝对误差限为越小在m相同的情况下，n越大，则（4）有效位数越多，绝对误差限越小。（2）绝对误差和绝对误差限是有量纲的四、有效数字与相对误差的关系设x的近似数为数值分析——绪论则a的相对误差限为如果a具有n位有效数字，【定理1】反之，若a的相对误差限则a至少具有n位有效数字四、有效数字与相对误差的关系或证明：数值分析——绪论当a具有n位有效数字时反之，由故a至少具有n位有效数字注：（5）有效位数越多，相对误差限越小数值分析——绪论例9要使的近似值的相对误差限小于0.1%要取几位有效数字？设取n位有效数字,由定理1，由于知所以取只要取所以的近似值取4位有效数字，其相对误差限小于0.1%。1.2.3

函数值的误差估计一、一元函数的误差估计设a、b分别为精确值x、y的近似值；δa

、δb分别为a、b的误差限。

f(a)为f(x)的近似函数值。

数值分析——绪论二、二元函数的误差估计f(a,b)为f(x,y)的近似函数值。

数值分析——绪论三、n元函数的误差估计的近似函数值。于是由泰勒

数值分析——绪论为展开得函数值的误差为为的近似值，设试求面积

数值分析——绪论已知的绝对误差限和相对误差限。解：因为的值为其中例10已测得某场地长的值为宽四、简单算术运算的误差限和相对误差限两个数的加、减、乘、除算术运算得到的误差限和相对误差限分别为：应避免用高精度数据和低精度数据作混合运算。作加减法时，尽量避免接近的两个数相减。【注】数值分析——绪论作乘除法时计算结果的精度也不会比原始数据的高。1.3

误差定性分析与避免误差危害1.3.1算法的数值稳定性用一个算法进行计算，初始数据误差（舍入误差造成）在计算中传播使计算结果误差增长很快，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的。计算积分得两个递推算法:算法2算法1例11数值分析——绪论利用MATLAB程序递推计算，结果见表MATLAB计算程序：E0=0.09531;%初始值E(1)=1-10*E0;forn=2:8E(n)=1/n-10*E(n-1);%递推计算endE%用quadl计算积分值E8E8=quadl('x.^8./(x+10)',0,1)两算法计算值与精确值比较

(算法1)(算法2)(精确值)算法2是稳定的算法1是不稳定的数值分析——绪论【定义4】对于某个算法，若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的。算法1误差分析数值不稳定

算法2误差分析数值稳定数值分析——绪论1.3.2病态数学问题与条件数条件数C衡量问题的病态程度：数值稳定性是对算法而言的。病态是数学问题即数学模型本身的性质,与算法无关。病态数学问题：对一个数值问题本身，当输入数据有微小扰动（即误差）时，引起输出数据（即问题解）的相对误差很大，这就是病态问题。相反的问题为良态数学问题。C越大病态可能越严重。数值分析——绪论计算函数值y=f(x)时，若例如有扰动相对误差的比值

称为计算函数值问题的条件数。其相对误差为函数值y=f(a)的相对误差为y=f(x)的条件数定义为：即例12取对数函数

x越接近1条件数越大，求对数函数值的相对误差越大。自变量的相对误差一般不会太大，如果条件数很大，将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题。则例13如

有这问题可以认为是病态的。一般情况它表示相对误差可能放大n倍。自变量的相对误差函数值的相对误差就认为是病态的。条件数越大病态越严重。1.3.3避免误差危害的若干原则一、避免两相近的数相减例14计算只有一位有效数字利用三角恒等式具有三位有效数字如果无法改变算式，则采用增加有效位数进行运算。在计算机上则采用双倍字长的高精度运算。二、注意简化计算步骤，减少运算次数数值分析——绪论计算多项式例15(1)若直接计算akxk再逐项相加(2)秦九韶算法乘法：n次用克莱姆（Cramer）法则求解线性方程组Ax=b例16当n=20时总计算量≈21×19×20！约307816年

天啊，30多万年的时间！（假设计算机每秒可做1亿次乘除法运算）乘法：加法：n数值分析——绪论【注】算法复杂度包括空间的复杂度和时间复杂度。高斯消元法：2千多次乘除运算加法：n次的值。三、要避免用绝对值很小的数做除数数值分析——绪论用绝对值很小的数做除数，舍入误差会增大，甚至会在计算机中造成“溢出”错误。如计算分母的绝对值很小，此算法是数值不稳定的。四、两数相加要防止大数“吃”掉小数12346+0.6+0.6-12345数值分析——绪论=0.12346×105-0.12345×105=1=0.12346×105+0.000006×105+0.000006×105-0.12345×105求多项式值的秦九韶算法

输入

x；a0，a1，…，an

S←a0；u←1k

从

1到n循环u←x×uS←S+ak×u输出数据S

；结束输入

x；a0，a1，…，an

S←ank

从

n

到1

循环S←ak－1+x×S输出数据S

；结束秦九韶算法P(x