直线的方向向量、平面的法向量

直线的方向向量与平面的法向量齐河一中数学组YXZABCDEF练习：在正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F平面ADE为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？一、直线的方向向量AB直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向线段所在直线垂直于平面

，则称这个向量垂直于平面,记作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。平面的法向量不惟一，合理取值即可。

因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？l1l2l1三、平行关系：例4如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且求证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以为正交基底，建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有又平面CDE的一个法向量是因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDEl1l2l四、垂直关系：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F例5.在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE

证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：所以1．如图，正方体中，

E为的中点，证明：//平面AEC练习:用空间向量来解决下列题目2、在正方体AC中，E、F、G、P、

Q、R分别是所在棱AB、BC、BB

AD

、DC

、DD的中点，求证：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD⊥平面EFGABCDABCDFQEGRP1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=

；若则k=

。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=

.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=

.巩固性训练3

由线线垂直可以得到线面垂直，再由线面垂直又可以得到线线垂直。平面的斜线、斜线在平面内的射影 PAB图1α图2如图2，ＰＡ∩α＝Ａ，ＰＡ不垂直α,思考：平面的斜线在平面内的射影是什么图形？答案：仍是一条直线BA直线PA--------叫做平面α的斜线；点A叫做斜足.线段PA叫做斜线段.三垂线定理PmBAα证明：PA平面PAB∪m⊥PAPB⊥αmα∪PB⊥mBA⊥mm⊥平面PAB性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直一面——平面α（基础平面）；四线——PB（α的垂线），PA（斜线），BA（射影），m（α内的直线））三垂直——PB⊥

m,,BA⊥m,PA⊥m故称“三垂线定理”一面四线三垂直三垂线定理中的元素（1）PmBAα直线a一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα例如：当b⊥α时，则b⊥OA注意：定理中“在平面内”的条件不能去掉。b但

b不垂直于OP三垂线定理三垂线定理中的元素（2）线射垂直线斜垂直αPAOaPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆命题？三垂线定理思考题：想一想？如图，PA

垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面，Ｃ为圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中共有几个直角三角形，并说明理由。三垂线定理1、已知点O是△ABC的BC边的高上的任意一点，且OP⊥平面ABC，求证PA⊥BC.2、如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，