理论力学-动能定理

第三篇动力学理论力学第12章动能定理

第12章动能定理

动能是物体因为运动而具有的机械能，它是作功的一种能力。动能定理描述质点系动能的变化与力作功之间的关系。求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。矢量形式标量形式力的功力的功定义变力Fi

的元功

需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。W仅仅是Fi•dri

的一种记号。M2M1常力对直线运动质点所作的功：

力的功力的功定义变力Fi

的元功

M2M1力

Fi

在其作用点的轨迹上从

M1点到

M2点所作的功：

重力的功

对于质点：

对于质点系:

力的功几种常见力的功

其中：z1、z2分别是质点在初位置和末位置的z

坐标其中：zC1、

zC2分别是质点系质心在初位置和末位置的z

坐标重力的功与路径无关。弹性力的功

其中，1

、2

是弹簧初始位置和最终位置的变形量。力的功几种常见力的功

弹性力的功与路径无关。

定轴转动刚体上作用力的功刚体以角速度ω绕定轴z转动，其上A点作用有力F

，则则力F的元功为——力F

对轴z的矩

于是，力在刚体上由1转到2时所作的功为力的功作用在刚体上力与力偶的功

定轴转动刚体上外力偶的功

若力偶矩矢量为M

，则力偶所作之功为其中Mz

为力偶矩矢M

在z轴上的投影，即力偶对转轴z的矩。力的功作用在刚体上力的功、力偶的功

质点系的内力总是成对出现的，且等值、反向、共线。因此，质点系的内力对质点系的动量和动量矩没有影响。力的功内力作功的情形

事实上，在许多情形下，物体的运动是由内力作功而引起的。当然也有的内力确实不作功。*

人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功。

*所有的发动机从整体考虑，其内力都作功。*

机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功。*有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功。那么，质点系的内力对质点系作不作功呢？

刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作功之和恒等于零。

*刚体的内力不作功

力的功不作功的力*理想约束约束反力不做功

光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。

柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。*纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功OC*FFN约束力不做功的约束称为理想约束

C*

为瞬时速度中心，在这一瞬时C*点的速度为零。作用在C*点的摩擦力F所作元功为vO理想约束的约束反力不做功

力的功不作功的力质点系的动能与刚体的动能质点系的动能

刚体的动能

第12章动能定理

质点系的动能与刚体的动能质点系的动能

物理学中对质点的动能的定义为

质点系的动能为质点系内各质点动能之和。

动能是度量质点系整体运动的另一物理量。动能是正标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关。

设重物A、B的质量为mA=mB=m，三角块D的质量为m0

，置于光滑地面上。圆轮C和绳的质量忽略不计。系统初始静止。解：重物A、B的运动可以看成质点的运动，三角块D做平动，也可以看成质点的运动。

开始运动后，系统的动能为

其中

质点系的动能与刚体的动能质点系的动能——例题1

求：当物块A以相对速度下落时系统的动能。

或者写成质点系的动能与刚体的动能质点系的动能——例题1

？质点系的动能与刚体的动能质点系的动能——例题1

注意到,系统水平方向上动量守恒，故有●

平移刚体的动能

刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能

上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于质心时的动能。

质点系的动能与刚体的动能刚体的动能

刚体以角速度绕定轴

z转动时，其上－点的速度为：

因此，定轴转动刚体的动能为

质点系的动能与刚体的动能刚体的动能

●

定轴转动刚体的动能

其中

为刚体对定轴z的转动惯量。

平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与相对质心转动动能的和。质点系的动能与刚体的动能刚体的动能

●

平面运动刚体的动能

设P为平面运动刚体某瞬时的速度瞬心，

则刚体的动能为：质点系的动能与刚体的动能刚体的动能

思考题：均质圆盘质量为m，在平面上做纯滚动，轮心速度为vo，求圆盘的动能？OvO问：若质量m集中在轮缘上，轮在平面上做纯滚动，轮心速度为vo，求轮的动能？

坦克或拖拉机履带单位长度质量为ρ

，轮的半径为r，轮轴之间的距离为d，履带前进的速度为v0。求：全部履带的总动能。dC2C1rv0

质点系的动能与刚体的动能——例题2

解：把履带看成一质点系在C1C2

上建立平动坐标系C1x´y´，则牵连运动为水平平移，牵连速度为v0。

相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为ω＝v0/r,履带上各点的相对速度均为

v0。dC2C1rx´y´v0

质点系的动能与刚体的动能——例题2

因此，全部履带的总动能为：解：质点系的动能等于系统跟随质心平移的动能与相对于质心平移系运动的动能之和。（柯尼希定理）dC2C1rx´y´v0

质点系的动能与刚体的动能——例题2

动能定理及其应用质点系的动能定理

动能定理应用举例

第12章动能定理

质点的动能定理的微分形式：质点的动能定理的积分形式：

动能定理及其应用质点系的动能定理

质点系的动能定理的微分形式：动能定理及其应用质点系的动能定理

所有可以作功的力——既包括外力，也包括内力；既包括主动力，也包括约束力。在理想约束系统中，只包括主动力(外力和内力)。质点系的动能定理的积分形式：均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量的绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度。2．系统运动时，物块C的加速度。

动能定理及其应用动能定理应用举例——例题3

解：以整个系统为研究对象。

1．运动分析，确定各部分的速度、角速度，写出系统的动能

注意到轮A作平面运动；轮B作定轴转动；物块C作平移。于是，系统的动能：根据运动学分析，得到动能定理及其应用动能定理应用举例——例题3

解：2.确定所有力的功：

3．应用动能定理的积分形式：

由此解出物块C的重力作正功，轮A的重力作负功，约束反力不作功。于是，所有力的总功为动能定理及其应用动能定理应用举例——例题3

解：4．确定物块C的加速度：

将下降高度h视为变量，其对时间的一阶导数即为物块C的速度

因为物块C作直线平移，故有

于是，物块C的加速度为

动能定理及其应用动能定理应用举例——例题3

动力学普遍定理的综合应用返回返回总目录第12章动能定理

矢量形式标量形式动力学普遍定理的综合应用

动量定理

给出了质点系动量的变化与外力主矢之间的关系，可以用于求解质心运动或某些外力。

动量矩定理

描述了质点系动量矩的变化与外力主矩之间的关系，可以用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动量和外力。

动能定理

建立了作功的力与质点系动能变化之间的关系，可用于复杂的质点系、刚体系求运动。

应用动量定理和动量矩定理的优点是不必考虑系统的内力。应用动能定理的好处是理想约束力所作之功为零，因而不必考虑。

在很多情形下，需要综合应用这三个定理，才能问题的解答。正确分析问题的性质，灵活应用这些定理，往往会达到事半功倍的作用。

另外，这三个定理都存在不同形式的守恒形式，也要给予特别的重视。

动力学普遍定理的综合应用例题5

均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：

1．轮A、轮B之间的绳子拉力和B处的约束力；

2．轮A与地面的接触点处的摩擦力。

动力学普遍定理的综合应用而故有取轮B和物块C组成的质点系为研究对象，分析受力，对点B应用动量矩定理，有解：

1．确定绳子拉力本例的条件与例题2相同。在例题2中已经求得例题5

动力学普遍定理的综合应用解得例题5

动力学普遍定理的综合应用

解：

2．确定B处的约束力对图示系统应用质心运动定理，有由此解得B处的约束力例题5

动力学普遍定理的综合应用解：

3．确定A轮与斜面之间的摩擦力

取轮A为研究对象，分析受力，应用相对质心的动量矩定理，得到注意到

于是，得到摩擦力例题5

动力学普遍定理的综合应用本例小结：

本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。还可以发现，每种问题的解法都并不是唯一的。这说明，对于具体问题，必须进行具体分析，没有统一的方法可循。

例题5

动力学普遍定理的综合应用均质细长杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。杆受微小干扰而倒下。求：杆刚刚到达地面时的角速度和地面的约束力。

例题6

动力学普遍定理的综合应用解：杆在水平方向不受外力，且由静止倒下，则在倒下过程中其质心将铅直下落。由运动学知，P为杆的瞬心。例题6

动力学普遍定理的综合应用v

CCA杆刚到达地面时，A点成为杆的瞬心，杆的的动能为：

例题6

动力学普遍定理的综合应用v

CCA杆在滑倒过程中，只有重力作功。由动能定理，有例题6

动力学普遍定理的综合应用AFNmga

CC杆刚到达地面时，受力及加速度分析如图。其中

其中

由运动学知

由刚体平面运动微分方程，得例题6

动力学普遍定理的综合应用AFNmga

CC其中

由运动学知

将加速度矢量式向铅垂方向投影，得

联立以上诸式，可以解得

均质杆长为l，质量为m1，B端靠在光滑墙上，A端用铰链与均质圆盘的质心相连。圆盘的质量为m2

，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示θ=45°时由静止开始纯滚动。试求:

A点在初瞬时的加速度。

例题7

动力学普遍定理的综合应用解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象。用动能定理求解。

系统的动能为例题7

动力学普遍定理的综合应用设轮心A的速度为vA，则有代入系统的动能表达式，得m2gm1g例题7动力学普遍定理的综合应用只有杆的重力对系统作功根据动能定理上式对时间求导注意到初瞬时可解得解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象。用功率方程求解。

系统的动能为例题7

动力学普遍定理的综合应用设轮心A的速度为vA，则有代入系统的动能表达式，得m2gm1g例题7

动力学普遍定理的综合应用只有杆的重力对系统作功，其功率为根据功率方程等式左边对时间求导注意到初瞬时可解得D动量定理、动量矩定理和动能定理的比较

动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。

动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用

整体运动的变化所受的作用力动量定理动量力(冲量)动量矩定理动量矩力矩动能定理动能力的功

动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。

动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用

动量定理、动量矩定理和动能定理的比较

动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。

动能定理的表达式中含有路程参数。结论与讨论4、几个动力学定理的综合应用

动量