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扬帆远航《数学模型》（第三版）P44《数学模型》（第四版）P47扬帆远航海面上东风劲吹，帆船要从A点驶向正东方的B点。稍有常识的人都知道，为了借助风力，船应该先朝东北方向前进，然后再转向东南方，才能到达B点。这里要解决的问题是，确定起航时的航向θ（与正东方向的夹角）及帆的朝向α（帆面与航向的夹角）。AB

风向北航向帆船α帆AB

北α

模型分析：帆船在航行过程中既受到风通过帆船对船的推力，又受到风对船体的阻力，需要对这两种力作合理、简化分析，找出它们在航向的分力。AB

α

风的推力分解为，其中垂直于帆，平行于帆。又分解为，即为风在航向的推力。风的阻力分解为，其中为风在航向的阻力。

因为和的方向反，所以船受到的净推力为

模型假设：记帆的迎风面积为，船的迎风面积为。1、风通过帆对船的推力与成正比，风对船体的阻力

与成正比，比例系数相同（记作），且远大于。2、的分力与帆面平行，可以忽略。3、分力与垂直于船身，可以被船舵抵消，不予考虑。4、航速与净推力成正比，比例系数记作。模型建立：根据模型假设和力的分解图，容易得到以下关系记船在正东方向的速度分量为，则AB

α按照流体力学的知识，在航行速度不大的情况下，航速与净推力成正比。于是航向θ和帆的朝向α的确定，应该使船在正东方向的速度，即净推力在正东方向的分力达到最大。本题就是要确定θ和α，使船在正东方向的速度达到最大。模型求解：这本来是一个二元函数的极值问题，但是由、知，与无关，首先只需在固定时使最大，解出，然后再求，使最大。用初等数学的办法即可求解。固定时：积化和差公式所以当时，最大将、代入得由、记、则显然，时最大。由且远大于可知结果分析：航向角应该在和之间（具体数值取决于和的比值），帆的朝向角为的一半，这是从A点出发时的航向及帆的

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