大学物理分子动理论

第三篇热学研究物质各种热现象的性质和变化规律热力学气体动理论统计物理热力学第一定律热力学第二定律统计方法宏观量是微观量的统计平均玻耳兹曼气体动理论基础第六章麦克斯韦6-1平衡态温度理想气体状态方程一、平衡态热力学系统（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观物体。外界：热力学系统以外的物体。系统分类（按系统与外界交换特点）：孤立系统：与外界既无能量又无物质交换封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换系统分类（按系统所处状态）：平衡态系统非平衡态系统热平衡态:在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。平衡条件:(1)系统与外界在宏观上无能量和物质的交换，

(2)系统的宏观性质不随时间改变。非平衡态:不具备两个平衡条件之一的系统。箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：粒子数说明：平衡态是一种理想状态

处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。平衡态是一种热动平衡

对热力学系统的描述：1.宏观量——状态参量平衡态下描述宏观属性的相互独立的物理量。如压强p、体积V、温度T

等。2.微观量描述系统内个别微观粒子特征的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量

等。微观量与宏观量有一定的内在联系。二、温度表征物体的冷热程度A、B

两体系互不影响各自达到平衡态A、B

两体系达到共同的热平衡状态AB绝热板初态AB导热板末态ABC若A和

B、B

和C

分别热平衡，则A

和C一定热平衡。(比如C是测温计)

（热力学第零定律）

处在相互热平衡状态的系统拥有某一共同的宏观物理性质——温度

温标：温度的数值表示方法。热力学温标T

与摄氏温标t

的关系三、理想气体状态方程理想气体当系统处于平衡态时，各个状态参量之间的关系式。例：氧气瓶的压强降到106

Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32l，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400l

，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为使用时的温度为T设可供x天使用原有每天用量剩余分别对它们列出状态方程，有

气体对器壁的压强是大量分子对容器不断碰撞的统计平均效果。6-2

理想气体压强公式每个分子对器壁的作用所有分子对器壁的作用理想气体的压强公式1、分子可以看作质点本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。2、除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。3、分子间的碰撞是完全弹性的。一、理想气体的分子模型理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。1、平均而言，沿各个方向运动的分子数相同。2、气体的性质与方向无关，即在各个方向上速率的各种平均值相等。3、不因碰撞而丢失具有某一速度的分子。二、理想气体的分子性质平衡态下：三．理想气体的压强公式

(V,N,m)

平衡态下器壁各处压强相同，选A1面求其所受压强。i分子动量增量i分子对器壁的冲量i分子相继与A1面碰撞的时间间隔单位时间内i分子对A1面的冲量则i分子对A1面的平均冲力所有分子对A1面的平均作用力压强——分子的平均平动动能平衡态下气体动理论第一基本方程一、温度的统计解释温度是气体分子平均平动动能大小的量度6-3

温度的统计解释气体动理论第二基本方程例题:下列各式中哪一式表示气体分子的平均平动动能？（式中M为气体的质量，m为气体分子质量，N为气体分子总数目，n为气体分子数密度，NA为阿伏加得罗常量）(A)(B)(C)(D)解：√例:（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：例）一容器中贮有理想气体，压强为0.010mmHg高。温度为270C，问在1cm3中有多少分子，这些分子动能之总和为多少？已知：求：N=？EK=？解：每个分子平均平动动能为：故N个分子总动能：二、气体分子的方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根

气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。例题6：一瓶氮气和一瓶氦气密度相同，分子平均平动动能相同，且处于平衡态，则AT、P均相同。BT、P均不相同。CT相同，但DT相同，但√例题7：在密闭的容器中，若理想气体温度提高为原来的2倍，则A都增至2倍。B增至2倍，p增至4倍。D增至4倍，p增至2倍。C都不变。√一、自由度确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例6-4

能量均分定理理想气体的内能双原子分子单原子分子平动自由度t=3平动自由度t=3转动自由度r=2三原子分子平动自由度t=3转动自由度r=3y（x,y,z)azxbofxyz分子内部要发生振动，在经典范围内不考虑。刚性双原子:i=3＋2＝5平动转动刚性多原子:i=3＋2＋1＝6平动转动绕轴自转二、能量均分定理气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能量按自由度均分定理如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为三、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能

(摩尔内能)为一定质量理想气体的内能为温度改变，内能改变量为例就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。解：在空气中N2质量摩尔数O2质量摩尔数Ar质量摩尔数1mol空气在标准状态下的内能总结几个容易混淆的慨念：1.分子的平均平动动能：3.质量为M的理想气体内能：4.单位体积内气体分子的平动动能之和：5.单位体积内气体分子的动能之和：2.分子的平均动能：n为单位体积内的分子数例题8：如果氢气、氦气的温度相同，摩尔数相同，那么着两种气体的1、平均动能是否相等？2、平均平动动能是否相等？3、内能是否相等？氢气i=5氦气i=3不等相等不等例题9：H2的温度为00C，试求：1、分子的平均平动动能。2、分子的平均转动动能。3、分子的平均动能。例题9：H2的温度为00C，试求：4、分子的平均能量。例3：储有氢气的容器以某速度v作定向运动。假设该容器突然停止，全部定向运动动能都变为气体分子热运动动能，此时容器中气体的温度上升0.7K。求:（1）容器作定向运动的速度v（2）容器中气体分子的平均动能增加了多少？解：（1）对于H2i=5

（2）设氢气的总质量为M6-5麦克斯韦分子速率分布定律

平衡态下，理想气体分子速度分布(distribution)是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。一、气体分子的速率分布分布函数研究气体分子的速率分布把速率分成若干相等区间求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数各区间的分子数占气体分子总数的百分比分布表分布曲线分布函数速率区间（m/s)分子数的百分比（％）100以下1.4100~2008.1200~30016.5300~40021.4400~50020.6500~60015.1600~7009.2700~8004.8800~9002.0900以上0.9即：面积大小代表速率v附近dv区间内的分子数占总分子数的比率△v0时，即取dv为速率区间分子的速率分布函数：速率v附近△v区间内的分子数占总分子数的比率的极限f(v)f(vp)vvpvv+dvv1v2dNN面积=

出现在v~v+dv区间内的概率分子出现在v1~v2区间内的概率曲线下的总面积恒等于1f(v)又称概率密度：某一分子在速率v附近的单位速率区间内出现的概率。某一分子出现在v1~v2区间内的概率：某一分子出现在v~v+dv区间内的概率：例：求分布在v1~v2速率区间的分子平均速率。解：对于g(v)：对v1~v2内分子求平均：对所有分子求平均：1860年，Maxwell从理论上得出：在平衡态下的理想气体，无外力场作用时：三、麦克斯韦分子速率分布定律英国物理学家、数学家。11月13日出生时，是法拉第发现电磁感应后2个多月。15岁在“爱丁堡皇家学报”发表论文，1854年从剑桥大学毕业，卡文迪什试验室首任主任。麦克斯韦像麦克斯韦（1831-1879）简介测定分子速率分布的实验装置圆筒（直徑D）不转，分子束的分子都射在P处;圆筒转动，分子束中速率不同的分子将射在不同位置.f(v)vVp1、最概然速率Vp：令得四、三种速率：与f(v)极大值对应的速率。2、平均速率对于v连续分布：3、方均根速率对于v连续分布：例：如图：两条曲线是氢和氧在同一温度下分子速率分布曲线，判定哪一条是氧分子的速率分布曲线？0f(v)v都与成正比，与成反比。0f(v)vvp例如，在270C时，H2和O2分子的方均根速率分别为1.93×103m/s和486m/s。对于一个系统而言，即T和Mmol相同时1、温度与分子速率：五、麦克斯韦速率分布曲线的性质2、质量与分子速率：Mmol10f(v)vvpvpT相同Mmol2T2T10f(v)vvpvpMmol相同例：用总分子数N，气体分子速率v和速率分布函数f(v)表示下列各量：（2）速率大于v0的那些分子的平均速率。（3）多次观察某一个分子的速率，发现其速率大于v0的几率=（1）速率大于v0的分子数：1.2.3.4.5.6.7.8.9.说明以下各式的物理意义：6-6玻尔兹曼能量分布律

平衡态下的理想气体的麦克斯韦速率分布律:在v～v+dv其指数仅包含分子运动动能相应于分子不受外力场的影响若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何波尔兹曼从两个方面将麦克斯韦速率分布推广到有外力场作用的情况：（1）分子在外力场中应以总能量E=Ek+Ep取代（2）粒子的分布不仅按速率区间v～v+dv

分布，还按位置区间x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz分布

没有外力场作用时，分子在空间位置的分布均匀，即在容器中分子数密度处处相等；有外力场作用时，分子在空间位置的分布不均匀，即在不同位置处分子数密度不同；推广：（1）气体分子处于外力场中，分子能量E=Ep+Ek（2）粒子分布不仅按速率区v~v+dv间分布，还应按位置区间x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz分布分子数密度的玻尔兹曼分布假定体积元dxdydz中的分子数仍含有各种速率的分子，且遵守麦克斯韦分布律在速率区间v~v+dv中的分子数为dN则：（1）等宽度区间，能量越低的粒子出现的概率越大说明：（2）随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。粒子优先占据能量小的状态重力场中粒子按高度的分布重力场中的气压公式（）每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，可粗略估计高度变化。例氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。解：在室温下，氢原子几乎都处于基态。6-7分子碰撞和平均自由程

一、碰撞：1、气体运动轨迹为一折线：一般为每秒几百米。如：N2分子在270C时的平均速率为476m.s-1.矛盾气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。扩散速率(位移量/时间)平均速率(路程/时间)克劳修斯的解释：分子自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞频率:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。

这个矛盾是克劳休斯解决的：常温常