第三章 工程经济 含时间因素的货币等值计算 同济大学

第三章含时间因素的货币等值计算3.1货币的时间价值1、含义

指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间的推移会得到货币增值，用于投资就会带来利润；用于储蓄会得到利息。2、原因（1）以货币表示的资源可以成为资本，存在投资的机会，从而产生对资本投入要素的回报。（2）消费者都存在一种潜在的期望，要求现在消费的节省以换回日后更多的消费。3.1货币的时间价值原资金投资储蓄新资金原资金货币的时间价值原资金闲置=+3.1货币的时间价值

资金的价值是时间的函数，随时间的推移而增值，所增值部分的资金就是原有资金的时间价值。

影响资金时间价值的因素：1、资金的使用（占用）时间长短；2、资金数额的大小；3、资金投入或回收的（时间）特点；4、资金周转速度的快慢。3.1货币的时间价值

通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，我们在经济分析时就主要着眼于方案在整个寿命期内的货币收入和支出的情况，这种货币的收入和支出称之为现金流量(CashFlow)。年末A方案B方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000

有一个总公司面临两个投资方案A、B，寿命期都是4年，初始投资也相同，均为10000元。实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数据见表。如果其他条件都相同，我们应该选用那个方案呢?3.1货币的时间价值300030003000方案D

3000300030006000

123456方案C01234560

30003000

两个方案C和D，其他条件相同，仅现金流量不同。3.1货币的时间价值

货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大小有关，而且与发生的时间有关。由于货币的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。3.1货币的时间价值

01234

01234

400方案F方案E

200200200

100

200200

300

300

400

从现金流量的绝对数看，方案E比方案F好；但从货币的时间价值看，方案F似乎有它的好处。如何比较这两个方案的优劣就构成了本课程要讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。3.2利息公式（一）相关概念1、利息——一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值，用“I”表示。广义的利息信贷利息经营利润2、利率——利息递增的比率，用“i”表示。每单位时间增加的利息

原金额（本金）×100%利率(i%)=

计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度来计算，用“n”表示。3.2利息公式一）利息的种类1、单利计息1.单利——每期均按原始本金计息（利不生利）

设：I——利息

P——本金

n——计息期数

i——利率

F——本利和则有

例题1：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表年年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还110001000×0.06=6010600210601000×0.06=6011200311201000×0.06=6011800411801000×0.06=60124012402、复利计息

将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，这种计息方式称为复利（计息）——利滚利年份年初本金P当年利息I年末本利和F

P(1+i)2…………P(1+i)n-1P(1+i)n

1

PP·iP(1+i)2P(1+i)P(1+i)·in－1P(1+i)n-2P(1+i)n-2·i

n

P(1+i)n-1P(1+i)n-1·iF=P(1+i)nI=F-P=P[(1+i)n-1]3.2利息公式

例题2：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还1234年10001000×0.06=601060010601060×0.06=63.601123.6001123.601191.0201191.021262.481262.481123.60×0.06=67.421191.02×0.06=71.46例3-3复利的威力

1626年荷兰东印度公司花了24美元从印第安人手中买下了曼哈顿岛。而到2000年1月1日，曼哈顿岛的价值已经达到了约2.5万亿美元。这笔交易无疑很合算。但是，如果改变一下思路，东印度公司也许并没有占到便宜。如果当时的印第安人拿着这24美元去投资，分别按照8%的单利和复利利率计算，结果如下单利（美元）复利（万亿美元）到2000年，这24美元复利计息将变成约76万亿美元，几乎是其2.5万亿美元价值的30倍。而按照单利计算这24美元仅变成742美元。3.2利息公式(二)等值的含义

货币等值(equivalence)是考虑了货币的时间价值的等值。货币的等值包括三个因素：（1）金额（2）金额发生的时间（3）利率3.2利息公式1、一次支付复利公式

F

——将来值(FutureValue/worth)；i

——利率(interestrate)；n

——计息期数(number)；P

——现在值(PresentValue/worth)；记为（F/P,i,n）,则有F=P(F/p,i,n)案例

（三）利息公式第一年年初第一年年末第二年年末第n年年末PP+Pi=P(1+i)P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2…………P(1+i)n1、一次支付复利公式

在第一年年初，以年利率6%投资1000元，则到第四年年末可得本利和若干？分析2、一次支付现值公式2、一次支付现值公式

为了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%计算，现在必须投资多少？分析3、等额支付系列复利公式3、等额支付系列复利公式3、等额支付系列复利公式

连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计算，第5年年末累积借款若干？分析4、等额支付系列积累基金公式4、等额支付系列积累基金公式

如果要在第5年年末得到资金1000元，按年利率6%计算，从现在起连续5年每年必须存储若干？分析5、等额支付系列资金恢复公式5、等额支付系列资金恢复公式5、等额支付系列资金恢复公式

如果现在以年利率5%投资1000元，在今后的8年中，每年年末以相等的数额提取回收本利和，则每年年末可以等额提取若干？分析6、等额支付系列现值公式6、等额支付系列现值公式

按年利率6%计算，为了能够在今后5年中每年年末得到100万元的利润，现在应投资若干？分析7.均匀梯度系列公式7.均匀梯度系列公式A=A1+A2

注：如支付系列为均匀减少，则有A=A1－A27.均匀梯度系列公式等额支付系列复利公式7.均匀梯度系列公式等额支付系列积累基金公式例

假定某人第一年末把1000元存入银行，以后9年每年递增存款200元。如年利率为8%，若这笔存款折算成10年的年末等额支付系列，相当于每年存入多少？解

每年应存入1744元。

7.均匀梯度系列公式8.运用利息公式应注意的问题

（1）为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初。（2）方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末。（3）本年的年末即是下一年的年初。（4）P是在当前年度开始时发生。（5）F是在当前以后的第n年年末发生。（6）A是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生。（7）均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。8.运用利息公式应注意的问题

(四)名义利率和有效利率1、离散式复利按期（年、季、月和日）计息的方法

如果名义利率为r，一年中计息n次，每次计息的利率为r/n，根据一次支付复利系数公式，

年末本利和为：

F=P[1+r/n]n

一年末的利息为：

P[1+r/n]n

－P

按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i为：

例3-6：现投资1000元，时间为10年，年利率为8%，每季度计息一次，求10年末的将来值。

F=？1000…012340季度每季度的有效利率为8%÷4=2%，用年实际利率求解:年有效利率i为：i=（1+2%）4－1=8.2432%F=1000（F/P，8.2432%，10）=2208（元）用季度利率求解:F=1000（F/P，2%，40）=1000×2.2080=2208（元）解：例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如按季度计息,则第3年应偿还本利和累计为()元。

A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000…012312季度解:例:已知某项目的计息期为月,月利率为8‰,则项目的年名义利率为()。

A.8%B.8‰C.9.6%D.9.6‰解:（年）名义利率=每一计息期的有效利率×一年中计息期数

所以r=12×8‰=96‰=9.6%答案:C2、连续式复利名义利率和有效利率下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算的实际利率：复利周期每年计息数期各期实际利率实际年利率一年半年一季一月一周一天连续1241252365∞12.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%0.000012.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%12.7497%将年名义利率化为年有效利率，再比较1计息期为一年的等值计算从利息表上查到，当n=9，1.750落在6%和7%之间。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839从用直线内插法可得相同有效利率名义利率直接计算例：当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750

计算表明，当利率为6.41%时，现在的300元等值于第9年年末的525元。

例：当利率为8%时，从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000×0.1363=1363(元/年)计算表明，当利率为8%时，从现在起连续6年1363元的年末等额支付与第6年年末的10000等值。解：100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%例：当利率为10%时，从现在起连续5年的年末等额支付为600元，问与其等值的第0年的现值为多大？解：

P=A(P/A,10%,5)=2774.59元

计算表明，当利率为10%时，从现在起连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值2274.50元是等值的。2计息期短于一年的等值计算

（1）计息期和支付期相同例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？

解：每计息期的利率

（每半年一期）n=(3年)×(每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元计算表明，按年利率12%，每半年计息一次计算利息，从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付与第0年的现值491.73元的现值是等值的。

（1）计息期和支付期相同2.计息期短于支付期例：按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？

0123456789101112季度F=？100010001000式中，r=12%，n=4，i=12%÷4=3%。

239F=？季度

0123456789101112经转变后计息期与支付期重合（单位：元）F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元第三种方法：将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。年有效利率是由此可得

F／A，12．55%，3F=1000(3．3923)=3392元通过三种方法计算表明，按年利率12%，每季度计息一次，从现在起连续三年的1000元等额年末借款与第三年年末的3392元等值。

假定现金流量是：第6年年末支付300元，第9，10，11，12年年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15，16，17年年末各支付80元。如按年利率5%计息，与此等值的现金流量的现值P为多少？解先把所有的支付画出现金流量图（图3-13）图3-13

现金流量图（单位：元）3.3等值计算实例

然后根据现金流量图利用公式进行计算：

P/F，5%，6P/A，5%，4P/F，5%，8P/F，5%，13P=300（0.7462）+60（3.5456）（0.6768）+210（0.5303）

F/A，5%，3P/F，5%，17+80（3.153）（0.4363）

=589.27（元）这个现金流量，按年利率5%计息，与其等值的现值为589.27元。3.3等值计算实例例3-15求每半年向银行借1400元，连续借10年的等额支付系列的等值将来值。利息分别按：（a）年利率12%，每半年计息一次；（b）年利率为12%，每季度计息一次两种情况计息。解两种计息情况的将来值（a）计息期等于支付期

F/A，6%，20

F=1400（36.7856）=51500元（b）计息期短于支付期

A/F，3%，2F/A，3%，40

F=1400（0.4926）（75.4013）=52000元3.3等值计算实例某人购买一套住房总价150万，其中申请70%

期限为20年、年利率为5%的商业抵押贷款，约定按月等额还款。每月要还多少？这种贷款的年有效利率是多少？解贷款总额P=150×70%=105万元，每月还款额为即每月要还款近7000元。

这种还款方式下，年实际有效利率为

3.3等值计算实例