2023年等差数列知识点及类型题

等差数列知识点及类型题一、数列由与的关系求由求时,要分ｎ=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表达,若不能，则用分段函数的形式表达为。根据下列条件，拟定数列的通项公式。分析:将无理问题有理化,而后运用与的关系求解。二、等差数列及其前n项和（一)等差数列的鉴定1、等差数列的鉴定通常有两种方法：第一种是运用定义，，第二种是运用等差中项,即。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前ｎ项和直接判断。(1)通项法：若数列｛}的通项公式为ｎ的一次函数,即=An+B,则{}是等差数列；（2)前n项和法：若数列{}的前n项和是的形式(A,Ｂ是常数）,则{}是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。〖例2〗已知数列{}的前n项和为，且满足（1）求证:{}是等差数列;(2)求的表达式。【变式】已知数列{aｎ}的各项均为正数,a1=1.其前n项和Ｓn满足２Ｓn=2paeq＼o\al（2，ｎ）+an－ｐ（p∈R)，则｛an｝的通项公式为____＿＿__.(二)等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=+(n-1)d及前n项和公式，共涉及五个量,,d,n,,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而和d是等差数列的两个基本量，用它们表达已知和未知是常用方法。注：由于，故数列｛}是等差数列。〖例3〗已知数列｛}的首项＝3，通项,且，,成等差数列。求:（1）的值；(２）数列{}的前n项和的公式。分析：（1）由=3与，，成等差数列列出方程组即可求出;(2)通过运用条件提成两个可求和的数列分别求和。(三)等差数列的性质1、等差数列的单调性:等差数列公差为d，若ｄ>0,则数列递增；若d<0,则数列递减;若d=０，则数列为常数列。★2、等差数列的简朴性质:已知数列｛}是等差数列,是其前n项和。（1）若ｍ＋n=p+q,则,特别：若m+n＝2ｐ，则。(２)仍是等差数列,公差为ｋｄ;（3）数列也是等差数列;(其中均为常数）。典型例题1．等差数列中,若,则＝________;2.（厦门)在等差数列中，,则其前9项的和S9等于（)A.１8B2７Ｃ36D93、（全国卷Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=4、等差数列{ａｎ｝的前m项和为30,前2ｍ项和为100，则它的前3ｍ项和为()（A)1３0（B)170(C)２10(Ｄ)１６0５.（湖北卷)已知两个等差数列和的前项和分别为A和,且,则使得为整数的正整数的个数是（)A.2B．３C.4D.５6、已知方程(x2-２x＋m）(x2－2x＋n)＝０的四个根组成一个首项为eq\ｆ(1,4)的等差数列,则|m－n｜的值等于_＿___＿__.7、在等差数列{an}中，a１=-3,１1a5＝5ａ8-13,则数列{ａｎ}的前n项和Sn的最小值为_____＿＿＿.８.若两个等差数列和的前项和分别为和,且满足，则.★等差数列的最值:若是等差数列,求前n项和的最值时，（1）若a1>0,d<0,且满足,前n项和最大;（2）若a１＜0，d>0,且满足,前n项和最小；（3)除上面方法外,还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，运用二次函数的图象或配方法求解，注意。〖例4〗在等差数列中，，其前n项和为。（1)求的最小值,并求出取最小值时ｎ的值;（２）求。分析：（1）可由已知条件,求出a１,d,运用求解,亦可用运用二次函数求最值；（2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。〖例5〗已知数列是等差数列。（1）若（２)若【变式】已知数列{aｎ｝的各项均为正数,Sn为其前n项和，对于任意的ｎ∈Ｎ*，满足关系式2Sn=3aｎ-3．(１)求数列{aｎ}的通项公式;(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝eｑ\f(1,loｇ3an·ｌog3an＋1),前n项和为Ｔn,求证:对于任意的正整数n，总有Tn<1.跟踪训练１.已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4，则这个数列共有（)Ａ．1３项Ｂ.14项C.15项D.1６项2．已知等差数列的通项公式为aｎ=-3n＋a，a为常数，则公差ｄ=()3．在等差数列{aｎ｝中,若ａ1+ａ２=－18，ａ5＋ａ6＝-2,则30是这个数列的（)A.第22项B.第2１项C.第20项D．第１9项４.已知数列a,-1５，b，c,45是等差数列，则a+b+ｃ的值是（）A．-5Ｂ．0C．５D.1０5.已知等差数列｛an}中，a１+a２＋ａ3=-15，a３+a4=-1６，则a1=(）Ａ．-1B.-3C．-５D.－76.已知等差数列{an｝满足a2+a７=２a3+ａ４，那么这个数列的首项是(）７.已知数列｛an}是等差数列,且a３＋a11＝４0，则a6＋a７+ａ８等于（）A．8４B.72Ｃ．６0Ｄ.438．已知等差数列{ａn}中，a１+a3+a5=3，则a2+a4＝（）Ａ.３Ｂ.２C．1D.-１9.已知数列:，,,，……,则在此数列中应是（）A．第21项Ｂ．第41项C.第48项D.第49项10.已知数列中,前和（1)求证:数列是等差数列（2）求数列的通项公式（３)设数列的前项和为,是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在,试说明理由。等差数列知识点及类型题一、数列由与的关系求由求时，要分ｎ＝１和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表达,若不能,则用分段函数的形式表达为。〖例1〗根据下列条件，拟定数列的通项公式。分析:将无理问题有理化,而后运用与的关系求解。解答:二、等差数列及其前n项和（一)等差数列的鉴定1、等差数列的鉴定通常有两种方法:第一种是运用定义,，第二种是运用等差中项，即。2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前ｎ项和直接判断。（1）通项法:若数列｛}的通项公式为n的一次函数,即＝An＋B,则｛}是等差数列；(2）前n项和法:若数列{｝的前ｎ项和是的形式（A,Ｂ是常数），则{｝是等差数列。注:若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。〖例2〗已知数列{}的前n项和为,且满足(1）求证:｛｝是等差数列；（2）求的表达式。分析：(1）与的关系结论;（2)由的关系式的关系式解答：(1)等式两边同除以得-+２＝０,即－=2（n≥２)．∴｛}是以==2为首项,以2为公差的等差数列。(2）由（１）知=+（n-1）ｄ=2+(n－1)×2＝2n,∴＝，当n≥2时，＝2·=。又∵,不适合上式,故。【变式】已知数列｛ａn}的各项均为正数,a１＝１．其前n项和Sn满足2Sn=2paeq\o＼al(2,n)＋an－p(p∈R),则｛an｝的通项公式为________．∵a1＝１,∴2a1=２paeq\o\al(2,1）+a１－p,即2=2p＋1－p，得ｐ=１.于是2Ｓn=2aｅq＼o\al(2,n）+an-1.当n≥2时，有2Sｎ－1=2aeq\o\al(2，n-1)+an-1－１,两式相减，得2ａn=2aeq＼ｏ＼al(2,ｎ)－2aｅq\o＼al(2,n-1)+an－ａn-1，整理，得２(an＋an－1)·(an-an-1-ｅq\f（1,２)）＝0．又∵ａn>0，∴aｎ-an-1=eｑ\f(1，2）,于是｛aｎ}是等差数列，故an=1＋（ｎ－1)·eq\f（1，2）=ｅq\f(n+1,2).(二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=＋（ｎ－１)d及前ｎ项和公式,共涉及五个量，,d,n,,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前ｎ项和公式在解题中起到变量代换作用，而和ｄ是等差数列的两个基本量，用它们表达已知和未知是常用方法。注：由于,故数列{}是等差数列。〖例3〗已知数列｛}的首项＝3,通项,且，,成等差数列。求:(1）的值;（２)数列{}的前n项和的公式。分析:（1)由＝３与,，成等差数列列出方程组即可求出；(2)通过运用条件提成两个可求和的数列分别求和。解答:（１）由=3得……①又,得…②由①②联立得。(２)由（1)得，（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性:等差数列公差为ｄ，若d>0,则数列递增;若d<0,则数列递减；若d＝0,则数列为常数列。★2、等差数列的简朴性质:已知数列{}是等差数列，是其前n项和。(1）若m+n=p+q,则,特别：若m+n=2ｐ,则。(2）仍是等差数列,公差为kd;(3）数列也是等差数列;(其中均为常数)。典型例题1．等差数列中,若，则=_____2２5___;2．（厦门）在等差数列中，,则其前９项的和S9等于(A)Ａ.18B2７C36D93、(全国卷Ⅰ理)设等差数列的前项和为，若，则=24４、等差数列｛ａn}的前m项和为30，前2ｍ项和为１00，则它的前３ｍ项和为(C)（A)１30（Ｂ)17０(C)2１０(D）1605.(湖北卷)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且,则使得为整数的正整数的个数是(D）A.2B.３C．4Ｄ.56、已知方程(x2－2x+m）(x2-2x＋ｎ)=０的四个根组成一个首项为eｑ＼ｆ(1,4)的等差数列，则|m-n|的值等于___＿＿___.如图所示,易知抛物线ｙ＝x２-２x＋m与ｙ=x2－2x+n有相同的对称轴ｘ=１，它们与x轴的四个交点依次为Ａ、B、C、D.由于xA=eq\f(1,4)，则ｘＤ＝eq\f(7,4).又|AB|＝|ＢＣ｜＝|ＣD|，所以ｘB=eq\f(３,４)，xC=ｅｑ\f（5，4)．故|ｍ－n｜=|ｅq\f(1，４)×ｅｑ＼ｆ(７,４)－eq\f(3,4）×eq＼f(5,４)|＝eｑ\ｆ（１，2).7、在等差数列{ａn}中,a1=－3，１1ａ5=５ａ8-13,则数列｛an}的前n项和Sn的最小值为___＿___＿.设公差为d,则11(-3＋4d)＝５(－3+7d)－1３,∴d=eq\f(５,9).∴数列{an}为递增数列.令aｎ≤0，∴－3+（ｎ-1）·eq\f（5,９）≤0,∴n≤eｑ＼f(32，５)，∵ｎ∈Ｎ*.∴前6项均为负值,∴Sn的最小值为S6＝-eq\f(29,3).8.若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足,则6.★等差数列的最值：若是等差数列，求前n项和的最值时,(１）若a１＞0,ｄ<０,且满足，前n项和最大;（２）若a1<0,d>0，且满足,前n项和最小;(3）除上面方法外,还可将的前n项和的最值问题看作关于ｎ的二次函数最值问题,运用二次函数的图象或配方法求解,注意。〖例4〗在等差数列中，，其前n项和为。（1)求的最小值，并求出取最小值时n的值;(2)求。分析:（１)可由已知条件,求出ａ１,ｄ,运用求解,亦可用运用二次函数求最值；(２)将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答：（1）设等差数列的首项为,公差为,∵，令,∴当ｎ＝2０或21时,最小且最小值为-63０．(2）由（1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。∴〖例5〗已知数列是等差数列。（1)若（２）若解答:设首项为,公差为,（1）由,∴（2）由已知可得解得【变式】已知数列{ａn}的各项均为正数,Ｓｎ为其前n项和,对于任意的n∈N*，满足关系式2Ｓn=3aｎ-３.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bｎ｝的通项公式是ｂn＝eq\f（１,lｏg3an·log3an+1)，前n项和为Ｔn，求证：对于任意的正整数ｎ，总有Tｎ＜1．(１)解①当n＝1时,由2Ｓｎ=3ａn-3得，2a1=3ａ1-3,∴ａ１＝3.②当n≥2时，由2Ｓn＝3ａn－3得,2Sn－1=3ａn－1-３.两式相减得:2(Sn-Sn－1)=3aｎ-3an－1，即2an=3an-3ａn－1,∴an＝3an-1,又∵a1＝3≠0，∴{ａn｝是等比数列,∴an＝３n．验证：当n＝1时,a１=3也适合an＝3n．∴{aｎ}的通项公式为ａn＝3n．(2)证明∵bn=ｅq\ｆ(1,ｌog3an·log3an＋1）=eｑ＼f(1，loｇ３３n·ｌoｇ３3n+1)=eq\ｆ（１,(n＋１）n)=eq＼f(1，n）－eq\f(1,n+1）,∴Tn=b1＋b２＋…+bn=(1-eq＼f(1,２）)+(eｑ\f(1，2）-eq\f(1,3))+…＋(ｅq\f(1，ｎ)－eｑ\ｆ（1,ｎ＋１))＝1-eｑ＼ｆ(1,n+1）＜1.跟踪训练1．已知等差数列首项为２,末