轴对称平移与旋转全章复习与巩固知识讲解提高

《轴对称,平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)《轴对称,平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)15/15《轴对称,平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)《轴对称,平移及旋转》全章复习及巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1.了解轴对称,平移,旋转，探究它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称,平移,旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.利用轴对称,平移,旋转及其组合进行图案设计；相识和观赏轴对称,平移,旋转在现实生活中的应用；4.驾驭全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一,平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动肯定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形态和大小．要点诠释：（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，及原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形态和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．要点诠释：（1）要留意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．要点二,旋转变换1．旋转概念：把一个图形围着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.

２．旋转变换的性质

图形通过旋转，图形中每一点都围着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，随意一对对应点及旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形态,大小都没有发生变化.

３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.

②分析所作图形，找出构成图形的关键点.

③沿肯定的方向，按肯定的角度,旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.

④按原图形连结方式顺次连结各对应点.

４．中心对称及中心对称图形中心对称：

把一个图形围着某一点旋转180°，它能够及另一个图形重合，则就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．

中心对称图形：

把一个图形围着某一点旋转180°，假如旋转后的图形能够及原来的图形重合，则这个图形就叫中心对称图形.

5．中心对称作图步骤①连结确定已知图形的形态,大小的各关键点及对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.要点诠释：图形变换及图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；

②分析设计图案所给定的基本图案；

③利用平移,旋转,轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；

④对图案进行修饰，完成图案.要点三,轴对称变换1．轴对称及轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，假如能够及另一个图形重合，则就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.

轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形.

2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②假如两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，假如它们对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上.

④假如两个图形的对应点连线被同始终线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称.

3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

4.平移,轴对称,旋转三种变换的关系：图形经过平移,旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形态没有改变，即两个图形是全等的．要点四,图形的全等1.全等图形形态,大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.要点诠释：一个图形经过平移,翻折,旋转后，位置变化了，但形态,大小都没有改变，即平移,翻折,旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.2.全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边,角分别对应相等的两个多边形全等.3.全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.（1）全等三角形的性质

全等三角形的对应边,对应角分别相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后探讨其它全等图形的重要工具.（2）全等三角形的判定假如两个全等三角形的边,角分别对应相等，则这两个全等三角形全等.【典型例题】类型一,平移变换1.阅读理解题．

（1）两条直线a，b相交于一点O，如图①，有两对不同的对顶角；

（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同的对顶角；

（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图④，用（2）的方法把直线c平移，可数出对不同的对顶角；

（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角；

（5）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角．

【思路点拨】（3）画出图形，依据图形得出即可；

（4）依据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；

（5）把n=2013代入求出即可．【答案及解析】解：（3）

如图有12对不同的对顶角，

故答案为：12．

（4）有n（n-1）对不同的对顶角，

故答案为：n（n-1）；

（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，

故答案为：4050156．【总结升华】本题考查了平移及对顶角的应用，关键是能依据题意得出规律．2．操作及探究：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′及点E重合，则点E表示的数是__________．【思路点拨】（依据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，依据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，依据题意列出方程计算即可得解；【答案】0；3；.【解析】解：点A′：-3×+1=-1+1=0，设点B表示的数为a，则a+1=2，解得a=3，设点E表示的数为b，则b+1=b，解得b=；故答案为：0；3；.【总结升华】耐性细致的读懂题目信息是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．无法确定【答案】B.四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC．类型二,旋转变换3．正方形ABCD中对角线AC,BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：

（1）在图中1，可以通过平移,旋转,翻折中的哪一种方法，使△OAF变到△OBE的位置．请说出其变化过程．

（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论．

（3）若点E,F分别运动到OB,OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍旧成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由．

【思路点拨】（1）依据图形特点即可得到答案；

（2）延长AF交BE于M，依据正方形性质求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，依据三角形内角和定理证出即可；

（3）延长EB交AF于N，依据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．【答案及解析】解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．

（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AF⊥BE．

证明：延长AF交BE于M，

∵正方形ABCD，

∴AC⊥BD，OA=OB，

∴∠AOB=∠BOC=90°，

在△AOF和△BOE中

∴△AOF≌△BOE（SAS），

∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，

∵∠EBO+∠OEB=90°，

∴∠FAO+∠OEB=90°，

∴∠AME=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．

（3）成立；

证明：延长EB交AF于N，

∵正方形ABCD，

∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，

∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，

∴∠ABF=∠BCE，

∵AB=BC，BF=CE，

∴△ABF≌△BCE，

∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，

∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，

∴∠E+∠FAB=45°，

∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，

∴∠ANE=180°-90°=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和驾驭，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．4.如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=AB．

①你认为可以通过平移,轴对称,旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角．

②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明．【思路点拨】（1）把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；

（2）依据正方形的性质得到AB=AD，∠BAF=∠EAD，又F是AD的中点，AE=AB，则AE=AF，依据旋转的定义得到△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，于是有BF=DE．【答案及解析】解：（1）可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置，即把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；

（2）线段BF和DE的数量关系是相等．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，

∵F是AD的中点，AE=AB，

∴AE=AF，

∴△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，即F点及E点重合，B点及D点重合，

∴BF及DE为对应线段，

∴BF=DE．【总结升华】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点及旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．举一反三：【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是；平移的距离是；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是；旋转角度是度．【答案】解：等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是水平向右；平移的距离是AB或BD；

△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是B；旋转角度是120度．类型三,轴对称变换5．现有如图①的瓷砖若干块．

（l）用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，请在图②的两

个长方形中各画出一种拼法（要求两种拼法不同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）；

（2）用四块如图①的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图③的三个正方形中各画出一种拼法，要求同（1）；

（3）在第（1）题中，请你计算用如图①的瓷砖拼成的全部长方形中，是轴对称图形的胜利率是多少？【思路点拨】（1）依据用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，利用轴对称图形的性质拼凑即可；

（2）利用轴对称图形的性质拼凑即可；

（3）依据全部是轴对称图形的个数，以及拼凑总数即可求出是轴对称图形的胜利率．【答案及解析】解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）∵全部拼凑图形是16种，是轴对称图形的个数是4种，

∴是轴对称图形的胜利率为：．【总结升华】此题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践实力和逻辑思维实力．趣味性强，便于操作，是一道好题．举一反三：【变式】（2015秋•睢宁县期中）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白