现代数值计算方法第一章ppt

计算方法任课教师:蔡静授课班级:20110711、20110712第一章数值计算中的误差分析1.1计算方法的研究对象、任务与特点1.2误差的相关概念与误差估计1.1计算方法的研究对象、任务与特点1.2误差的相关概念与误差估计1.3选用和设计算法时应遵循的原则1.1计算方法的研究对象、任务与特点1.2误差的相关概念与误差估计1.1计算方法课程的研究对象、任务与特点计算机诞生之前，在求解各种数学问题的过程中，人们逐渐积累了一些算法，所能解决的问题也仅局限于一些小型的、简单的计算问题。随着科学技术的突飞猛进，在工程设计、气象预报、水利建设以及武器研制、火箭卫星发射等等，在这些领域都出现了大量复杂大型的计算问题急待解决。（1）产生背景：因此有必要研究如何利用计算机来解决工农业生产和国防尖端技术领域中的计算问题(科学计算），建立适用于计算机的计算方法。由此在大量的计算实践和理论分析基础上，产生了数学学科的一个独立分支，即计算方法。

（2）研究对象：在计算机上求解各种数值计算问题的数值计算方法及理论。

（3）主要任务：为求解各种数学问题构造算法和分析算法。（4）特点:计算方法属于计算数学的范畴,是一门既注重理论性，又注重实践性，与计算机应用紧密结合的数学课程。一、两个基本概念

(数值计算问题）（1）数值计算问题：例如：1、求一元二次方程：离散的初始数据→问题离散的数值型的解的根a、b、c2、求解线性代数方程组改写成矩阵-向量形式：其中,（数值计算问题）

需要注意的是，并非所有的数学问题都是数值计算问题。例如：已知函数满足如下微分方程：求解该微分方程。2，3,（非数值计算问题）

（一阶常微分方程初值问题）（2）数值计算方法：

在计算机上用于求解数值问题的系列计算公式。（3）数值算法是解数值问题的整个过程，不仅包含解题的数值方法，还包括解题的思想、步骤、目的及数据的输入和输出要求。1、在计算机上实际可行：可直接执行的运算+、—、×、÷四则运算及逻辑运算参与运算的数据有限位小数运算的次数有限次运算计算机不能直接进行的运算（指数、对数、开方、三角、求导、积分）→计算机可执行的运算无穷次运算求得精确解→有限次运算求得近似解无理数、大多数有理数→计算机允许的有限位小数二、算法的构造

例1、指数运算：

2、算法的计算复杂性好计算复杂性虽然计算机的运算速度很快，存储信息量大，但并不能因此就降低对算法计算复杂性的要求。尤其在处理大型数值计算问题时，算法计算复杂性的好坏会直接影响计算的效率和结果的可靠性！时间复杂度：算法包含的运算次数的多少空间复杂度：算法占用的存储空间的大小例如，用Cramer法则求解一个20阶的线性代数方程组，总共需要进行次乘除法

由此可见，对于同一问题，采用不同的算法，计算复杂性大不一样，因此在设计算法时，应设法减少运算次数、节约存储空间，以提高计算的效率。30多万年。而用Gauss消去法，只需2660次乘除法。若使用每秒可进行一亿次乘除法运算的计算机，则要连续工作三、算法的分析：误差分析、稳定性、收敛性分析误差的来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差

（1）误差的基本概念：

1、绝对误差与绝对误差限是精确值，是其近似值，则称

绝对误差：设

1.2误差的相关概念与误差估计

是近似值的绝对误差，简称误差。

绝对误差限：若则称为近似值的绝对误差限。相对误差：

设是精确值，是其近似值，则称

是近似值的相对误差。实际计算时，常用相对误差限：若，则称为近似值的相对误差限。

3、有效数字:2、相对误差与相对误差限例：对其进行四舍五入，取3位近似值，得：取5位近似值，得：若近似值的误差绝对值不超过某一位数字的半个单位，则称近似值准确到这一位。有效数字定义：若从近似值所准确到的那一位数字到近似值的第一位非零数字共有n位，则称近似值具有n位有效数字。规格化浮点数：其中m为整数，为介于0到9之间的整数。书本P7，有效数字的等价定义：如果近似值满足：则称近似值具有n位有效数字。问题1：如何确定一个近似值具有几位有效数字？答：若近似值为对准确值四舍五入得到，则只需从近似值最后一位往前数到第一位非零数字，共有几位数字，就具有几位有效数字。若近似值不是对准确值四舍五入得到，则需借助于等价定义进行判断。问题2：给定一准确值,如何通过四舍五入给出其具有

n位有效数字的近似值？练习：已知e=2.71828182…,分别写出其具有3位、4位、5位有效数字的近似值。4、有效数字与相对误差限的关系

（1）若具有n位有效数字，则的相对误差满足：（2）若的相对误差满足：则至少具有n位有效数字。证明：则（1）若具有n位有效数字，则（2）若的相对误差满足：则至少具有n位有效数字。P8，例1误差在运算中的传播规律：P9，(1.2.5)(1.2.6)（1）加减运算:设，分别是精确值，的近似值，

其相对误差分别为，则

（2）乘除运算1.3算法设计的若干原则(1)选择数值稳定的算法。数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。P11，例（2）尽量减少运算次数和节约存储空间。例如:给定x的值,计算多项式的值。算法1：直接计算，乘法次数：次算法2：

乘法次数：次1、为计算，取，依据数值计算的基本准则，如下哪个计算公式最好？练习：例如：

措施：小数加在前

(3)防止大小相近的两个数相减。