新高考数学二轮复习专题18 单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转 (教师版)_第1页
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文档简介

．解析(1)由f(x)＝xlnx，x＞0，得f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,e)．当x∈(0，eq\f(1,e))时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(eq\f(1,e)，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．①当0＜t＜eq\f(1,e)＜t＋2，即0＜t＜eq\f(1,e)时，f(x)min＝f(eq\f(1,e))＝－eq\f(1,e)；②当eq\f(1,e)≤t＜t＋2，即t≥eq\f(1,e)时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt．所以f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0＜t＜\f(1,e)，,tlnt，t≥\f(1,e)．))(2)问题等价于证明xlnx＞eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞))．由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－eq\f(1,e)，当且仅当x＝eq\f(1,e)时取到．设m(x)＝eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝eq\f(1－x,ex)，由m′(x)＜0得x＞1时，m(x)为减函数，由m′(x)＞0得0＜x＜1时，m(x)为增函数，易知m(x)max＝m(1)＝－eq\f(1,e)，当且仅当x＝1时取到．从而对一切x∈(0，＋∞)，xlnx≥－eq\f(1,e)≥eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)，两个等号不同时取到，即证对一切x∈(0，＋

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