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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年广西农业职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.若双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为______.答案:由题意可得,当焦点在x轴上时,ba=34,∴ca=a2+b2a=a2+(3a4)2a=54.当焦点在y轴上时,ab=34,∴ca=a2+b2a=a2+(4a3)2a=53,故为:53
或54.2.己知集合A={sinα,cosα},则α的取值范围是______.答案:由元素的互异性可得sinα≠cosα,∴α≠kπ+π4,k∈z.故α的取值范围是{α|α≠kπ+π4,k∈z},故为{α|α≠kπ+π4,k∈z}.3.已知抛物线C的参数方程为x=8t2y=8t(t为参数),设抛物线C的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=______.答案:把抛物线C的参数方程x=8t2y=8t(t为参数),消去参数化为普通方程为y2=8x.故焦点F(2,0),准线方程为x=-2,再由直线FA的斜率是-3,可得直线FA的倾斜角为120°,设准线和x轴的交点为M,则∠AFM=60°,且MF=p=4,∴∠PAF=180°-120°=60°.∴AM=MF•tan60°=43,故点A(0,43),把y=43代入抛物线求得x=6,∴点P(6,43),故|PF|=(6-2)2+(43-0)2=8,故为8.4.不等式log12(x2-2x-15)>log12(x+13)的解集为______.答案:满足log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13),得x2-2x-15<x+13x2-2x-15>0x+13>0解得:-4<x<-3,或5<x<7,则不等式log12(x2-2x-15)>log12(x+13)的解集为(-4,-3)∪(5,7)故为:(-4,-3)∪(5,7).5.已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于C点,AB一条外公切线,A、B分别为切点,连接AC、BC.设⊙O1的半径为R,⊙O2的半径为r,若tan∠ABC=,则的值为()
A.
B.
C.2
D.3
答案:C6.甲、乙两人共同投掷一枚硬币,规定硬币正面朝上甲得1分,否则乙得1分,先积3分者获胜,并结束游戏.
①求在前3次投掷中甲得2分,乙得1分的概率.
②设ξ表示到游戏结束时乙的得分,求ξ的分布列以及期望.答案:(1)由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是掷一枚硬币3次,出现的所有可能情况共有以下8种.(正正正)、(正正反)、(正反反)、(反反反)、(正反正)、(反正正)、(反反正)、(反正反)、其中甲得(2分),乙得(1分)的情况有以下3种,(正正反)、(正反正)、(反正正)∴所求概率P=38(2)ξ的所有可能值为:0、1、2、3P(ξ=0)=12×12×12=18P(ξ=1)=C13×12×(12)2×12=316,P(ξ=2)=C24(12)2(12)212=316P(ξ=3)=12×12×12+C1312(12)212+C24(12)2(12)212=12∴ξ的分布列为:∴Eξ=1×316+2×316+3×12=33167.已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为______.答案:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2+)(12+22+32)故x2+y2+z2≥114,当且仅当x1=y2=z3,即:x2+y2+z2的最小值为114.故为:1148.把10个相同的小正方体,按如图所示的位置堆放,它的外表含有若干小正方形。如果将图中标有A的一个小正方体搬去,这时外表含有的小正方形个数与搬去前相比(
)答案:A9.在同一平面直角坐标系中,直线变成直线的伸缩变换是()A.B.C.D.答案:A解析:解:设直线上任意一点(x′,y′),变换前的坐标为(x,y),则根据直线变成直线则伸缩变换是,选A10.某公司招聘员工,经过笔试确定面试对象人数,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:y=4x,1≤x≤102x+10,10<x≤1001.5x
,x>100其中x代表拟录用人数,y代表面试对象人数.若应聘的面试对象人数为60人,则该公司拟录用人数为()A.15B.40C.130D.25答案:∵y=4x,1≤x≤102x+10,10<x≤1001.5x
,x>100=60,∴当1≤x≤10时,由4x=60得x=15?[1,10],不满足题意;当10<x≤100时,由2x+10=60得x=25∈(10,100],满足题意;当x>100时,由1.5x=60得x=40?(100,+∞),不满足题意.∴该公司拟录用人数为25.故选D.11.已知a=(1,0),b=(m,m)(m>0),则<a,b>=______.答案:∵b=(m,m)(m>0),∴b与第一象限的角平分线同向,且由原点指向远处,而a=(1,0)同横轴的正方向同向,∴<a,b>=45°,故为:45°12.某公司招聘员工,经过笔试确定面试对象人数,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4x1≤x≤102x+1010<x≤1001.5xx>100其中x代表拟录用人数,y代表面试对象人数.若应聘的面试对象人数为60人,则该公司拟录用人数为()A.15B.40C.25D.130答案:由题意知:当10<x≤100时,y=2x+10∈(30,210],又因为60∈(30,210],∴2x+10=60,∴x=25.故:该公司拟录用人数为25人.故选C.13.
如图,已知PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,PA=6,PB=BC,⊙O的半径OC=5,那么弦BC的弦心距OM=()
A.4
B.3
C.5
D.6
答案:A14.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为()
A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:根据对数函数的定义可知,真数3x+1>0恒成立,解得x∈R.因此,该函数的定义域为R,原函数f(x)=log2(3x+1)是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数.由复合函数的单调性定义(同増异减)知道,原函数在定义域R上是单调递增的.根据指数函数的性质可知,3x>0,所以,3x+1>1,所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0,故选A.解析:试题分析15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点.
(1)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值;
(2)求二面角A1-EC-A的余弦值.答案:以D为原点,DC为y轴,DA为x轴,DD1为Z轴建立空间直角坐标系,…(1分)则A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),E(1,12,0),…(2分)(1)BD1=(-1,-1,1),CE=(1,-12,0)…(1分)cos<BD1,CE>=-1515,…(1分)所以所求角的余弦值为1515…(1分)(2)D1D⊥平面AEC,所以D1D为平面AEC的法向量,D1D=(0,0,1)…(1分)设平面A1EC法向量为n=(x,y,z),又A1E=(0,12,-1),A1C=(-1,1,-1),n•A1E=0n•A1C=0即12y-z=0-x+y-z=0,取n=(1,2,1),…(3分)所以cos<DD1,n>=66…(2分)16.已知曲线C的参数方程是(θ为参数),曲线C不经过第二象限,则实数a的取值范围是()
A.a≥2
B.a>3
C.a≥1
D.a<0答案:A17.如图,曲线C1、C2、C3分别是函数y=ax、y=bx、y=cx的图象,则()
A.a<b<c
B.a<c<B
C.c<b<a
D.b<c<a
答案:C18.观察下列各式:1=0+1,2+3+4=1+8,5+6+7+8+9=8+27,…,猜想第5个等式应为______.答案:由题意,(i)等式左边为一段连续自然数之和,且最后一个和数恰为各等式序号的立方,最前一个和数恰为等式序号减1平方加1;(ii)等式右边均为两数立方和,且也与等式序号具有明显的相关性.故猜想第5个等式应为17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125故为:17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+12519.在极坐标系中,极点到直线ρcosθ=2的距离为______.答案:直线ρcosθ=2即x=2,极点的直角坐标为(0,0),故极点到直线ρcosθ=2的距离为2,故为2.20.某校有学生1
200人,为了调查某种情况打算抽取一个样本容量为50的样本,问此样本若采用简单随便机抽样将如何获得?答案:本题可以采用抽签法来抽取样本,首先把该校学生都编上号0001,0002,0003…用抽签法做1200个形状、大小相同的号签,然后将这些号签放到同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时,每次从中抽一个号签,连续抽取50次,就得到一个容量为50的样本.21.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3,则点P的横坐标等于______.答案:∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|MF|=3=x+p2=3,∴x=2,故为:2.22.圆C1x2+y2-4y-5=0与圆C2x2+y2-2x-2y+1=0位置关系是()
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切答案:A23.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为()A.123B.363C.273D.6答案:此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是4,底面正三角形的高是33,设底面边长为a,则32a=33,∴a=6,故三棱柱体积V=12?62?32?4=363.故选B24.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()
A.若m∥n,m∥α,则n∥α
B.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
C.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β答案:D25.设双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,则双曲线的离心率为______.答案:∵双曲线的渐近线方程是2x±3y=0,∴知焦点是在x轴时,ba=23,设a=3k,b=2k,则c=13k,∴e=133.焦点在y轴时ba=32,设a=2k,b=3k,则c=13k,∴e=132.故为:133或13226.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如下一组数据:
x24568y3040605070若y与x之间的关系符合回归直线方程y=6.5x+a,则a的值是()A.17.5B.27.5C.17D.14答案:由表格得.x=5,.y=50.
∵y关于x的线性回归方程为y=6.5x+a,∴50=6.5×5+a,∴a=17.5.故选A.27.平面内有n条直线,其中无任何两条平行,也无任何三条共点,求证:这n条直线把平面分割成12(n2+n+2)块.答案:证明:(1)当n=1时,1条直线把平面分成2块,又12(12+1+2)=2,命题成立.(2)假设n=k时,k≥1命题成立,即k条满足题设的直线把平面分成12(k2+k+2)块,那么当n=k+1时,第k+1条直线被k条直线分成k+1段,每段把它们所在的平面块又分成了2块,因此,增加了k+1个平面块.所以k+1条直线把平面分成了12(k2+k+2)+k+1=12[(k+1)2+(k+1)+2]块,这说明当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切n∈N*,命题都成立.28.把一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则点(a,b)在直线x+y=5左下方的概率为()A.16B.56C.112D.1112答案:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是6×6=36种结果,满足条件的事件是点(a,b)在直线x+y=5左下方即a+b<5,可以列举出所有满足的情况(1,1)(1,2)(1,3),(2,1),(2,2)(3,1)共有6种结果,∴点在直线的下方的概率是636=16故选A.29.设函数f(x)=ax(a>0,a≠1),如果f(x1+x2+…+x2009)=8,那么f(2x1)×f(2x2)×…×f(2x2009)的值等于()A.32B.64C.16D.8答案:f(x1+x2+…+x2009)=8可得ax1+x2+…+x2009=8f(2x1)×f(2x2)×…×f(2x2009)=a2(x1+x2+…+x2009)=82=64故选B.30.(x3+1xx)10的展开式中的第四项是______.答案:由二项式定理的通项公式可知(x3+1xx)10的展开式中的第四项是:C310(x3)7(1xx)3=120x16?x.故为:120x16?x.31.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线右支C.一条射线D.不存在答案:∵|PM|-|PN|=3,M(-2,0),N(2,0),且3<4=|MN|,根据双曲线的定义,∴点P是以M(-2,0),N(2,0)为两焦点的双曲线的右支.故选B.32.已知正方形ABCD的边长为a,则|AC+AD|等于______.答案:∵正方形ABCD的边长为a,∴AC=2a,AC与AD的夹角为45°|AC+AD|2=|AC
|2+2AC?AD+|AD|2=2a2+2×2a×a×22+a2=5a2∴|AC+AD|=5a故为:5a33.有一个容量为80的样本,数据的最大值是140,最小值是51,组距为10,则可以分为(
)
A.10组
B.9组
C.8组
D.7组答案:B34.α为第一象限角是sinαcosα>0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:若α为第一象限角,则sinα>0,cosα>0,所以sinαcosα>0,成立.若sinαcosα>0,则①sinα>0,cosα>0,此时α为第一象限角.或②sinα<0,cosα<0,此时α为第三象限角.所以α为第一象限角是sinαcosα>0的充分不必要条件.故选A.35.直角△PIB中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点.若弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α弧度,则(
)
A.tanα=α
B.tan=2α
C.sinα=2cosα
D.2sin=cosα答案:B36.选修4-5;不等式选讲.
当n>2时,求证:logn(n-1)logn(n+1)<1.答案:∵n>2,∴log(n-1)n>0,log(n+1)n>0,且log(n-1)n≠log(n+1)n,∴log(n-1)n×log(n+1)n<(log(n-1)n+log(n+1)n2)2=(log(n2-1)n2)2<(logn2n2)2=(22)2=1,∴当n>2时,logn(n-1)logn(n+1)<1.37.在数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证()
A.n=1成立
B.n=2成立
C.n=3成立
D.n=4成立答案:C38.如图为某公司的组织结构图,则后勤部的直接领导是______.
答案:有已知中某公司的组织结构图,可得专家办公室直接领导:财务部,后勤部和编辑部三个部门,故后勤部的直接领导是专家办公室.故为:专家办公室.39.语句|x|≤3或|x|>5的否定是()
A.|x|≥3或|x|<5
B.|x|>3或|x|≤5
C.|x|≥3且|x|<5
D.|x|>3且|x|≤5答案:D40.把38化为二进制数为()A.101010(2)B.100110(2)C.110100(2)D.110010(2)答案:可以验证所给的四个选项,在A中,2+8+32=42,在B中,2+4+32=38经过验证知道,B中的二进制表示的数字换成十进制以后得到38,故选B.41.过点A(a,4)和B(-1,a)的直线的倾斜角等于45°,则a的值是______.答案:∵过点A(a,4)和B(-1,a)的直线的倾斜角等于45°,∴kAB=a-4-1-a=tan45°=1,∴a=32.故为:32.42.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则A与B和椭圆的另一个焦点F1构成的△ABF2的周长为()
A.2
B.2
C.4
D.8答案:C43.如果命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},那么下列结论不正确的是()A.“P或Q”为真B.“P且Q”为假C.“非P”为假D.“非Q”为假答案:命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},可直接看出命题Q,命题P都是正确的.故“P或Q”为真.“P且Q”为真.“非P”为假.“非Q”为假.故选B.44.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与方程θ=(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是(
)
A.(1,1)
B.(1,)
C.(,)
D.(,)答案:C45.(选做题)方程ρ=cosθ与(t为参数)分别表示何种曲线(
)。答案:圆,双曲线46.用反证法证明命题“若a、b∈N,ab能被2整除,则a,b中至少有一个能被2整除”,那么反设的内容是______.答案:根据用反证法证明数学命题的步骤,应先假设要证命题的否定成立,而要证命题的否定为:“a,b都不能被2整除”,故为:a、b都不能被2整除.47.将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是()
A.
B.
C.
D.
答案:B48.直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后,所得直线与圆(x-2)2+y2=3的交点个数是______.答案:∵直线y=33x的斜率为33,∴此直线的倾斜角为30°,∴此直线绕原点逆时针方向旋转30°后倾斜角为60°,∴此直线旋转后的方程为y=3x,由圆(x-2)2+y2=3,得到圆心坐标为(2,0),半径r=3,∵圆心到直线y=3x的距离d=232=3=r,∴该直线与圆相切,则直线与圆(x-2)2+y2=3的交点个数是1.故为:149.设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点,对于下列向量组:①AD与AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB.其中能作为一组基底的是______(只填写序号).答案:解析:由于①AD与AB不共线,③CA与DC不共线,所以都可以作为基底.②DA与BC共线,④OD与OB共线,不能作为基底.故为:①③.50.设集合A={(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N},使用列举法表示集合A.答案:集合A中的元素是点,点的横坐标,纵坐标都是自然数,且满足条件x+y=6.所以用列举法表示为:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.第2卷一.综合题(共50题)1.曲线C:x=t-2y=1t+1(t为参数)的对称中心坐标是______.答案:曲线C:x=t-2y=1t+1(t为参数)即y-1=1x+2,其对称中心为(-2,1).故为:(-2,1).2.下列命题:
①垂直于同一直线的两直线平行;
②垂直于同一直线的两平面平行;
③垂直于同一平面的两直线平行;
④垂直于同一平面的两平面平行;
其中正确的有()
A.③④
B.①②④
C.②③
D.②③④答案:C3.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为()A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°答案:从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角,大小相等.仰角和俯角都是水平线与视线的夹角,故α=β.故选:B.4.已知函数f(x)=2-x,x≤112+log2x,x>1,则满足f(x)≥1的x的取值范围为______.答案:当x≤1时,2-x≥1,解得-x≥0,即x≤0,所以x≤0;当x>1时,12+log2x≥1,解得x≥2,所以x≥2.所以满足f(x)≥1的x的取值范围为(-∞,0]∪[2,+∞).故为:(-∞,0]∪[2,+∞).5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O,分别以射线OB,OC,AA1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.试写出正方体八个顶点的坐标.答案:解设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.因为底面正方形的中心为O,边长为2,所以OB=2.由于点B在x轴的正半轴上,所以OB=2i,即点B的坐标为(2,0,0).同理可得C(0,2,0),D(-2,0,0),A(0,-2,0).又OB1=OB+BB1=2i+2k,所以OB1=(2,0,2).即点B1的坐标为(2,0,2).同理可得C1(0,2,2),D1(-2,0,2),A1(0,-2,2).6.在极坐标系中,极点到直线ρcosθ=2的距离为______.答案:直线ρcosθ=2即x=2,极点的直角坐标为(0,0),故极点到直线ρcosθ=2的距离为2,故为2.7.将程序补充完整
INPUT
x
m=xMOD2
IF______THEN
PRINT“x是偶数”
ELSE
PRINT“x是奇数”
END
IF
END.答案:本程序的作用是判断出输入的数是奇数还是偶数,由其逻辑关系知,若逻辑是“是”则输出“x是偶数”,若逻辑是“否”,则输出“x是奇数”故判断条件应为m=0故为m=08.(几何证明选做题)如图,已知:△ABC内接于圆O,点D在OC的延长线上,AD是圆O的切线,若∠B=30°,AC=2,则OD的长为______.答案:∵AD是圆O的切线,∠B=30°∴∠DAC=30°,∴∠OAC=60°,∴△AOC是一个等边三角形,∴OA=OC=2,在直角三角形AOD中,OD=2AO=4,故为:4.9.已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.6B.8C.10D.12答案:由双曲线的知识可知:C1x216-y29=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|+|PF2|=8而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,∴|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,∴|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|+|PF2|+2=8+2=10,故选C10.如图,从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC,已知PA=22,PC=4,圆心O到BC的距离为3,则圆O的半径为______.答案:∵PA为圆的切线,PBC为圆的割线,由线割线定理得:PA2=PB?PC又∵PA=22,PC=4,∴PB=2,BC=2又∵圆心O到BC的距离为3,∴R=2故为:211.若复数z=(2-i)(a-i),(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为______.答案:z=(2-i)(a-i)=2a-1-(2+a)i∵若复数z=(2-i)(a-i)为纯虚数,∴2a-1=0,a+2≠0,∴a=12故为:1212.已知双曲线的焦点在y轴,实轴长为8,离心率e=2,过双曲线的弦AB被点P(4,2)平分;
(1)求双曲线的标准方程;
(2)求弦AB所在直线方程;
(3)求直线AB与渐近线所围成三角形的面积.答案:(1)∵双曲线的焦点在y轴,∴设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1;∵实轴长为8,离心率e=2,∴a=4,c=42,∴b2=c2-a2=16.或∵实轴长为8,离心率e=2,∴双曲线为等轴双曲线,a=b=4.∴双曲线的标准方程为y216-x216=1.(2)设弦AB所在直线方程为y-2=k(x-4),A,B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2).∴k=y1-y2x1-x2,x1+x22=4,y1+y22=2;∴y1216-x1216=1
y2216-x2216=1⇒y12-y2216-x12-x2216=0⇒(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8,y1+y2=4,得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0,∴y1-y2x1-x2×14-12=0,∴14k-12=0,∴k=2;所以弦AB所在直线方程为y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.(3)等轴双曲线y216-x216=1的渐近线方程为y=±x.∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形.又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为(6,6),(2,-2),∴直角三角形两条直角边的长度分别为62、22;∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积S=12×62×22=12.13.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=λCA+μCB,则λμ的值为______.答案:∵AD=2DB,∴CD=CA+23
AB∵AB=CB-CA∴CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB∵CD=λCA+μCB∴λ=13,μ=23∴λμ=12故为1214.若90°<θ<180°,曲线x2+y2sinθ=1表示()
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆答案:D15.把平面上一切单位向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是
______.答案:把平面上一切单位向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点到起点的距离都等于1,所以,由圆的定义得,这些向量的终点所构成的图形是半径为1的圆.16.如图,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,他们相交于AB的中点P,PD=2a3,∠OAP=30°,则CP=______.答案:因为点P是AB的中点,由垂径定理知,OP⊥AB.在Rt△OPA中,BP=AP=acos30°=32a.由相交弦定理知,BP?AP=CP?DP,即32a?32a=CP?23a,所以CP=98a.故填:98a.17.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为X、Y,则log2XY=1的概率为()A.16B.536C.112D.12答案:∵log2XY=1∴Y=2X,满足条件的X、Y有3对而骰子朝上的点数X、Y共有36对∴概率为336=112故选C.18.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为()
A.5
B.
C.2
D.答案:B19.直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点,O为抛物线的顶点,若OA⊥OB.证明:直线l过定点.答案:证明:设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(I)当直线l有存在斜率时,设直线方程为y=kx+b,显然k≠0且b≠0.(2分)联立方程得:y=kx+by2=2x消去y得k2x2+(2kb-2)x+b2=0由题意:x1x2=b2k2,&
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=2bk(5分)又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,(7分)即b2k2+2bk=0,解得b=0(舍去)或b=-2k(9分)故直线l的方程为:y=kx-2k=k(x-2),故直线过定点(2,0)(11分)(II)当直线l不存在斜率时,设它的方程为x=m,显然m>0联立方程得:x=my2=2x解得y=±2m,即y1y2=-2m又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即m2-2m=0,解得m=0(舍去)或m=2可知直线l方程为:x=2,故直线过定点(2,0)综合(1)(2)可知,满足条件的直线过定点(2,0).20.某工厂生产的产品,用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前,质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是()
A.简单随机抽样
B.系统抽样
C.分层抽样
D.其它抽样方法答案:B21.设
是不共线的向量,(k,m∈R),则A、B、C三点共线的充要条件是()
A.k+m=0
B.k=m
C.km+1=0
D.km-1=0答案:D22.将椭圆x2+6y2-2x-12y-13=0按向量a平移,使中心与原点重合,则a的坐标是()A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,-1)D.(1,1)答案:椭圆方程x2+6y2-2x-12y-13=0变形为:(x-1)2+6(y-1)2=20,则椭圆中心(1,1),即需按a=(-1,-1)平移,中心与原点重合.故选C.23.点A(-,1)关于y轴的对称点A′的坐标为(
)
A.(-,-1)
B.(,-1)
C.(-,1)
D.(,1)答案:D24.直线2x-3y+10=0的法向量的坐标可以是答案:C25.若点M是△ABC的重心,则下列向量中与AB共线的是______.(填写序号)
(1)AB+BC+AC
(2)AM+MB+BC
(3)AM+BM+CM
(4)3AM+AC.答案:对于(1)AB+BC+AC=2AC不与AB共线对于(2)AM+MB+BC=AB+BC=AC不与AB对于(3)AM+BM+CM=13(AB+AC)+13(BA+BC)+13(CA+CB)=0与AB对于(4)3AM+AC=AB+AC+AC不与AB故为:(3)26.设随机变量ξ服从正态分布N(u,9),若p(ξ>3)=p(ξ<1),则u=______.答案:∵随机变量ξ服从正态分布N(u,9),p(ξ>3)=p(ξ<1),∴u=3+12=2故为227.方程y=ax+b和a2x2+y2=b2(a>b>1)在同一坐标系中的图形可能是()A.
B.
C.
D.
答案:∵a>b>1,∴方程y=ax+b的图象与y轴交于y轴的正半轴,且函数是增函数,由此排除选项B和D,∵a>b>1,a2x2+y2=b2?x2(ba)2+y2b2=1,∴椭圆焦点在y轴,由此排除A.故选C.28.“若x、y全为零,则xy=0”的否命题为______.答案:由于“全为零”的否定为“不全为零”,所以“若x、y全为零,则xy=0”的否命题为“若x、y不全为零,则xy≠0”.故为:若x、y不全为零,则xy≠0.29.已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上.求直线l的方程.答案:∵点M在直线x+y-3=0上,∴设点M坐标为(t,3-t),则点M到l1、l2的距离相等,即|2t-2|2=|2t-4|2,解得t=32∴M(32,32)又l过点A(2,4),即5x-y-6=0,故直线l的方程为5x-y-6=0.30.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与方程θ=(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是(
)
A.(1,1)
B.(1,)
C.(,)
D.(,)答案:C31.将函数="2x"+1的图像按向量平移得函数=的图像则
A=(1)B=(1,1)C=()
D(1,1)答案:C解析:分析:本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题.依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象,需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位,向下平移1个单位;故=(-1,-1).解:设=(h,k)则函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x-h+1+k∴∴∴=(-1,-1)故答案为:C.32.直线2x+y-3=0与直线3x+9y+1=0的夹角是()
A.
B.arctan2
C.
D.答案:C33.若双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为______.答案:由题意可得,当焦点在x轴上时,ba=34,∴ca=a2+b2a=a2+(3a4)2a=54.当焦点在y轴上时,ab=34,∴ca=a2+b2a=a2+(4a3)2a=53,故为:53
或54.34.设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数,a,b,c表示其对边,求证:aA+bB+cCa+b+c≥π3.答案:证明:法一、不妨设A>B>C,则有a>b>c由排序原理:顺序和≥乱序和∴aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.法二、不妨设A>B>C,则有a>b>c,由排序不等式aA+bB+cC3≥A+B+C3?a+b+c3,即aA+bB+cC≥π3(a+b+c),∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.35.若不等式logax>sin2x(a>0,a≠1)对任意x∈(0,π4)都成立,则a的取值范围是()A.(0,π4)B.(π4,1)C.(π4,π2)D.(0,1)答案:∵当x∈(0,π4)时,函数y=logax的图象要恒在函数y=sin2x图象的上方∴0<a<1如右图所示当y=logax的图象过点(π4,1)时,a=π4,然后它只能向右旋转,此时a在增大,但是不能大于1故选B.36.把10个相同的小正方体,按如图所示的位置堆放,它的外表含有若干小正方形。如果将图中标有A的一个小正方体搬去,这时外表含有的小正方形个数与搬去前相比(
)答案:A37.从直径AB的延长线上取一点C,过点C作该圆的切线,切点为D,若∠ACD的平分线交AD于点E,则∠CED的度数是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.随点C的变化而变化答案:B38.正方体的全面积为18cm2,则它的体积是()A.4cm3B.8cm3C.11272cm3D.33cm3答案:设正方体边长是acm,根据题意得6a2=18,解得a=3,∴正方体的体积是33cm3.故选D.39.如图所示,设k1,k2,k3分别是直线l1,l2,l3的斜率,则()
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1
D.k1<k3<k2
答案:C40.对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零常数m,使得对任意实数x,都有x*m=x,则m的值是[
]
A.4
B.-4
C.-5
D.6答案:A41.i是虚数单位,a,b∈R,若ia+bi=1+i,则a+b=______.答案:∵ia+bi=1+i,a,b∈R,∴i(a-bi)(a+bi)(a-bi)=1+i,∴b+aia2+b2=1+i,化为b+ai=(a2+b2)+(a2+b2)i,根据复数相等的定义可得b=a2+b2a=a2+b2,a2+b2≠0解得a=b=12.∴a+b=1.故为1.42.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是______.答案:设所求抛物线方程为y2=ax,依题意42=2a∴a=8,故所求为y2=8x.故为:y2=8x43.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的14,且样本容量是160,则中间一组的频数为()A.32B.0.2C.40D.0.25答案:设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S,所以频率分布直方图的总面积为5S所以中间一组的频率为S5S=0.2所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A44.直线y=3x+3的倾斜角的大小为______.答案:∵直线y=3x+3的斜率等于3,设倾斜角等于α,则0°≤α<180°,且tanα=3,∴α=60°,故为60°.45.刻画数据的离散程度的度量,下列说法正确的是()
(1)应充分利用所得的数据,以便提供更确切的信息;
(2)可以用多个数值来刻画数据的离散程度;
(3)对于不同的数据集,其离散程度大时,该数值应越小.
A.(1)和(3)
B.(2)和(3)
C.(1)和(2)
D.都正确答案:C46.设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为______.答案:∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列∴|AF2|+|BF2|=2|AB|,又椭圆E:x2+y2b2=1(0<b<1)中a=1∴|AF2|+|AB|+|BF2|=4,∴3|AB|=4,∴|AB|=43故为:4347.若命题p:2是偶数;命题q:2是5的约数,则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.(¬p)∧(¬q)C.¬pD.p∨q答案:∵2是偶数,∴命题p为真命题∵2不是5的约数,∴命题q为假命题∴p或q为真命题故选D48.设复数z满足条件|z|=1,那么|z+22+i|的最大值是______.答案:∵|z|=1,∴可设z=cosα+sinα,于是|z+22+i|=|cosα+22+(sinα+1)i|=(cosα+22)2+(sinα+1)2=10+6sin(α+θ)≤10+6=4.∴|z+22+i|的最大值是4.故为449.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,若两人各投2次,则两人都投中1次的概率为______.答案:两人都投中1次的概率为C210.6×0.4×C210.7×0.3=0.2016故为:0.201650.若与垂直,则k的值是()
A.2
B.1
C.0
D.答案:D第3卷一.综合题(共50题)1.“△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为()
A.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B都不是锐角
B.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角
C.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B都不一定是锐角
D.以上都不对答案:B2.已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧,F为焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线的AOB一段上求一点P,使S△ABP最大,并求面积最大值.答案:不妨设点A在第一象限,B点在第四象限.如图.抛物线的焦点F(1,0),点A在第一象限,设A(x1,y1),y1>0,由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分);同理B(4,-4),…(4分)由A(1,2),B(4,-4)得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…(6分)直线AB的方程为y-2-4-2=x-14-1,化简得2x+y-4=0.…(8分)再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.则点P到直线AB的距离d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0
24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5
…(9分)所以当y0=-1时,d取最大值9510,…(10分)所以△PAB的面积最大值为S=12×35×9510=274
…(11分)此时P点坐标为(14,-1).…(12分).3.已知⊙C1:x2+y2+2x+8y-8=0,⊙C2:x2+y2-4x-4y-2=0,则的位置关系为()
A.相切
B.相离
C.相交
D.内含答案:C4.复数i2000=______.答案:复数i2009=i4×500=i0=1故为:15.曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点的个数是()
A.4
B.3
C.2
D.1答案:D6.设全集U={1,2,3,4,5},A∩C∪B={1,2},则集合C∪A∩B的所有子集个数最多为()A.3B.4C.7D.8答案:∵全集U={1,2,3,4,5},A∩C∪B={1,2},∴当集合C∪A∩B的所有子集个数最多时,集合B中最多有三个元素:3,4,5,且A∩B=?,作出文氏图∴CUA∩B={3,4,5},∴集合C∪A∩B的所有子集个数为:23=8.故选D.7.如图,D、E分别在AB、AC上,下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的有()
A.∠AED=∠B
B.
C.
D.DE∥BC
答案:C8.抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4,则点M的横坐标x=______.答案:∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|MF|=4=x+p2=4,∴x=3,故为:3.9.两条直线x-y+6=0与x+y+6=0的夹角为()
A.
B.
C.0
D.答案:D10.下面是一个算法的伪代码.如果输出的y的值是10,则输入的x的值是______.答案:由题意的程序,若x≤5,y=10x,否则y=2.5x+5,由于输出的y的值是10,当x≤5时,y=10x=10,得x=1;当x>5时,y=2.5x+5=10,得x=2,不合,舍去.则输入的x的值是1.故为:1.11.如图,从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD,AB是圆O的直径,若PA=4,PC=5,CD=3,则∠CBD=______.答案:由割线长定理得:PA?PB=PC?PD即4×PB=5×(5+3)∴PB=10∴AB=6∴R=3,所以△OCD为正三角形,∠CBD=12∠COD=30°.12.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•2•…•(2n-1)”(n∈N+)时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增添的式子是______.答案:当n=k时,左边等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k),当n=k+1时,左边等于(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是(2k+1)(2k+2)(k+1)=2(2k+1),故为:2(2k+1).13.已知、分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,且=-3+6,=-6+4,=--6,则一定共线的三点是()
A.A,B,C
B.A,B,D
C.A,C,D
D.B,C,D答案:C14.在极坐标中,由三条曲线θ=0,θ=,ρcosθ+ρsinθ=1围成的图形的面积是()
A.
B.
C.
D.答案:A15.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于______.答案:解;∵a,b均为单位向量,∴|a|=1,|b|=1又∵两向量的夹角为60°,∴a?b=|a||b|cos60°=12∴|a+3b|=|a|2+(3b)2+6a?b=1+9+3=13故为1316.A、B、C是我军三个炮兵阵地,A在B的正东方向相距6千米,C在B的北30°西方向,相距4千米,P为敌炮阵地.某时刻,A发现敌炮阵地的某信号,由于B、C比A距P更远,因此,4秒后,B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1千米).若从A炮击敌阵地P,求炮击的方位角.答案:以线段AB的中点为原点,正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系,则A(3,0)
B(-3,0)
C(-5,23)依题意|PB|-|PA|=4∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上.这里a=2,c=3,b2=5.其方程为
x24-y25=1
(x>0)…(3分)又|PB|=|PC|,∴P又在线段BC的垂直平分线上x-3y+7=0…(5分)由方程组x-3y+7=05x2-4y2=20解得
x=8(负值舍去)y=53即
P(8,53)…(8分)由于kAP=3,可知P在A北30°东方向.…(10分)17.已知a,b,c,d都是正数,S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c,则S的取值范围是______.答案:∵a,b,c,d都是正数,∴S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c>aa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1;S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c<aa+b+bb+a+cc+d+dd+c=2∴1<S<2.故为:(1,2)18.命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()
A.不存在x0∈R,2x0>0
B.存在x0∈R,2x0≥0
C.对任意的x∈R,2x≤0
D.对任意的x∈R,2x>0答案:D19.四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名相邻,但三名女生不能连排,则不同的排法数有()A.3600B.3200C.3080D.2880答案:由题意知本题需要利用分步计数原理来解,∵三名女生有且仅有两名相邻,∴把这两名女生看做一个元素,与另外一名女生作为两个元素,有C32A22种结果,把男生排列有A44,把女生在男生所形成的5个空位中排列有A52种结果,共有C32A22A44A52=2880种结果,故选D.20.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:
甲:86、72、92、78、77;
乙:82、91、78、95、88
(1)这种抽样方法是哪一种?
(2)将这两组数据用茎叶图表示;
(3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较稳定.答案:(1)因为间隔时间相同,故是系统抽样.(2)茎叶图如下:.(3)因为.x甲=15(86+72+92+78+77)=81,.x乙=15(82+92+78+95+88)=87,所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4,s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2,而s甲2>s乙2,所以乙车间产品较稳定.21.袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:C22.如图所示,圆的内接△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E,连接BE,已知BD=3,CE=7,BC=5,则线段BE=()
A.
B.
C.
D.4
答案:B23.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()
A.4
B.
C.
D.答案:D24.在⊙O中,弦AB=1.8cm,圆周角∠ACB=30°,则⊙O的直径等于()
A.3.2cm
B.3.4cm
C.3.6cm
D.4.0cm答案:C25.已知如下等式:12=1×2×36,12+22=2×3×56,12+22+32=3×4×76,…当n∈N*时,试猜想12+22+32+…+n2的值,并用数学归纳法给予证明.答案:由已知,猜想12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6,下面用数学归纳法给予证明:(1)当n=1时,由已知得原式成立;(2)假设当n=k时,原式成立,即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6,那么,当n=k+1时,12+22+32+…+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6故n=k+1时,原式也成立.由(1)、(2)知12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6成立.26.在平行四边形ABCD中,AC与DB交于点O,E是线段OD的中点,AE延长线与CD交于F.若AC=a,BD=b,则AF=()A.14a+12bB.23a+13bC.12a+14bD.13a+23b答案:∵由题意可得△DEF∽△BEA,∴DEEB=DFAB=13,再由AB=CD可得DFDC=13,∴DFFC=12.作FG平行BD交AC于点G,∴FGDO=CGCO=23,∴GF=23OD=13BD=13b.∵AG=AO+OG=AO+13OC=12AC+16AC=23AC=23a,∴AF=AG+GF=23a+13b,故选B.27.附加题选做题B.(矩阵与变换)
设矩阵A=m00n,若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为10,属于特征值2的一个特征向量为01,求实数m,n的值.答案:由题意得m00n10=110,m00n01=201,…6分化简得m=10?n=00?m=0n=2所以m=1n=2.…10分28.已知R为实数集,Q为有理数集.设函数f(x)=0,(x∈CRQ)1,(x∈Q),则()A.函数y=f(x)的图象是两条平行直线B.limx→∞f(x)=0或limx→∞f(x)=1C.函数f[f(x)]恒等于0D.函数f[f(x)]的导函数恒等于0答案:函数y=f(x)的图象是两条平行直线上的一些孤立的点,故A不正确;函数f(x)的极限只有唯一的值,左右极限不等,则该函数不存在极限,故B不正确;若x是无理数,则f(x)=0,f[f(x)]=f(0)=1,故C不正确;∵f[f(x)]=1,∴函数f[f(x)]的导函数恒等于0,故D正确;故选D.29.给出下列四个命题,其中正确的一个是()
A.在线性回归模型中,相关指数R2=0.80,说明预报变量对解释变量的贡献率是80%
B.在独立性检验时,两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大,说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大
C.相关指数R2用来刻画回归效果,R2越小,则残差平方和越大,模型的拟合效果越差
D.随机误差e是衡量预报精确度的一个量,它满足E(e)=0答案:D30.是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,且则△OAB的面积等于()
A.15
B.10
C.7.5
D.5答案:D31.设xi,yi
(i=1,2,…,n)是实数,且x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,而z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的一个排列.求证:n
i-1(xi-yi)2≥n
i-1(xi-zi)2.答案:证明:要证ni-1(xi-yi)2≥ni-1(xi-zi)2,只需证
ni=1
yi2-2ni=1
xi•yi≥ni=1
zi2-2ni=1
xi•zi,由于ni=1
yi2=ni=1
zi2,故只需证ni=1
xi•zi≤ni=1
xi•yi
①.而①的左边为乱序和,右边为顺序和,根据排序不等式可得①成立,故要证的不等式成立.32.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()
A.若m∥n,m∥α,则n∥α
B.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
C.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β答案:D33.已知向量=(2,4,x),=(2,y,2),若||=6,
⊥,则x+y的值是()
A.-3或1
B.3或1
C.-3
D.1答案:A34.设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数,a,b,c表示其对边,求证:aA+bB+cCa+b+c≥π3.答案:证明:法一、不妨设A>B>C,则有a>b>c由排序原理:顺序和≥乱序和∴aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.法二、不妨设A>B>C,则有a>b>c,由排序不等式aA+bB+cC3≥A+B+C3?a+b+c3,即aA+bB+cC≥π3(a+b+c),∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.35.已知曲线C的参数方程为x=4t2y=t(t为参数),若点P(m,2)在曲线C上,则m=______.答案:因为曲线C的参数方程为x=4t2y=t(t为参数),消去参数t得:x=4y2;∵点P(m,2)在曲线C上,所以m=4×4=16.故为:16.36.已知曲线x=3cosθy=4sinθ(θ为参数,0≤θ≤π)上一点P,原点为0,直线P0的倾斜角为π4,则P点的坐标是______.答案:根据题意,曲线x=3cosθy=4sinθ(θ为参数,0≤θ≤π)消去参数化成普通方程,得x29+y216=1(y≥0)∵直线P0的倾斜角为π4,∴P点在直线y=x上,将其代入椭圆方程得x29+x21
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