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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为虚数单位,复数满足,则复数在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知直线y=k(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,直线y=2k(x﹣2)与抛物线D:y2=8x交于M,N两点,设λ=|AB|﹣2|MN|,则()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣123.已知集合A,则集合()A. B. C. D.4.要排出高三某班一天中,语文、数学、英语各节,自习课节的功课表,其中上午节,下午节,若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻(注意:上午第五节和下午第一节不算相邻),则不同的排法种数是()A. B. C. D.5.已知函数,其中,记函数满足条件:为事件,则事件发生的概率为A. B.C. D.6.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若,则λ+μ的值为()A. B. C. D.7.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边长,,求三角形面积,即.若的面积,,,则等于()A. B. C.或 D.或8.设集合,,若集合中有且仅有2个元素,则实数的取值范围为A. B.C. D.9.若集合,,则=()A. B. C. D.10.已知棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面中,最大面积为()A. B. C. D.11.一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里12.设函数在定义城内可导,的图象如图所示,则导函数的图象可能为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在△ABC中,∠BAC=,AD为∠BAC的角平分线,且,若AB=2,则BC=_______.14.在的展开式中,的系数为______用数字作答15.已知函数,则函数的极大值为___________.16.函数在区间上的值域为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标.18.(12分)已知数列的前项和和通项满足.(1)求数列的通项公式;(2)已知数列中,,,求数列的前项和.19.(12分)某企业生产一种产品,从流水线上随机抽取件产品,统计其质量指标值并绘制频率分布直方图(如图1):规定产品的质量指标值在的为劣质品,在的为优等品,在的为特优品,销售时劣质品每件亏损元,优等品每件盈利元,特优品每件盈利元,以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率.(1)求每件产品的平均销售利润;(2)该企业主管部门为了解企业年营销费用(单位:万元)对年销售量(单位:万件)的影响,对该企业近年的年营销费用和年销售量,数据做了初步处理,得到的散点图(如图2)及一些统计量的值.表中,,,.根据散点图判断,可以作为年销售量(万件)关于年营销费用(万元)的回归方程.①求关于的回归方程;②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费,才能使得该企业的年收益的预报值达到最大?(收益销售利润营销费用,取)附:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.20.(12分)已知函数.(1)当(为自然对数的底数)时,求函数的极值;(2)为的导函数,当,时,求证:.21.(12分)如图,已知椭圆经过点,且离心率,过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设椭圆的右顶点为,线段的中点为,记直线的斜率分别为,求证:为定值.22.(10分)已知.(1)求不等式的解集;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
求出复数,得出其对应点的坐标,确定所在象限.【详解】由题意,对应点坐标为,在第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的除法运算,属于基础题.2.D【解析】
分别联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理,可得,,然后计算,可得结果.【详解】设,联立则,因为直线经过C的焦点,所以.同理可得,所以故选:D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题,运用抛物线的焦点弦求参数,属基础题。3.A【解析】
化简集合,,按交集定义,即可求解.【详解】集合,,则.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.4.C【解析】
根据题意,分两种情况进行讨论:①语文和数学都安排在上午;②语文和数学一个安排在上午,一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目,由分类加法计数原理可得答案.【详解】根据题意,分两种情况进行讨论:①语文和数学都安排在上午,要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻,将节语文课和节数学课分别捆绑,然后在剩余节课中选节到上午,由于节英语课不加以区分,此时,排法种数为种;②语文和数学都一个安排在上午,一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午,一个安排在下午,但节语文课不加以区分,节数学课不加以区分,节英语课也不加以区分,此时,排法种数为种.综上所述,共有种不同的排法.故选:C.【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数原理的应用,属于中等题.5.D【解析】
由得,分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系,由图可知,.6.B【解析】
建立平面直角坐标系,用坐标表示,利用,列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得则.故选:B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数,属于中档题.7.C【解析】
将,,,代入,解得,再分类讨论,利用余弦弦定理求,再用平方关系求解.【详解】已知,,,代入,得,即,解得,当时,由余弦弦定理得:,.当时,由余弦弦定理得:,.故选:C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系,还考查了对数学史的理解能力,属于基础题.8.B【解析】
由题意知且,结合数轴即可求得的取值范围.【详解】由题意知,,则,故,又,则,所以,所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算,以及借助数轴解决有关问题,其中确定中的元素是解题的关键,属于基础题.9.C【解析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.10.B【解析】
由三视图可知,该三棱锥如图,其中底面是等腰直角三角形,平面,结合三视图求出每个面的面积即可.【详解】由三视图可知,该三棱锥如图所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三视图知,因为,,所以,所以,因为为等边三角形,所以,所以该三棱锥的四个面中,最大面积为.故选:B【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其面积;考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.11.A【解析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角,再结合AB可求,应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故选:A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用,关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系,利用正余弦定理求解.属于中档题.12.D【解析】
根据的图象可得的单调性,从而得到在相应范围上的符号和极值点,据此可判断的图象.【详解】由的图象可知,在上为增函数,且在上存在正数,使得在上为增函数,在为减函数,故在有两个不同的零点,且在这两个零点的附近,有变化,故排除A,B.由在上为增函数可得在上恒成立,故排除C.故选:D.【点睛】本题考查导函数图象的识别,此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况,本题属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由,求出长度关系,利用角平分线以及面积关系,求出边,再由余弦定理,即可求解.【详解】,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.14.1【解析】
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令,求出展开式中的系数.【详解】二项展开式的通项为令得的系数为故答案为1.【点睛】利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.15.【解析】
对函数求导,通过赋值,求得,再对函数单调性进行分析,求得极大值.【详解】,故解得,,令,解得函数在单调递增,在单调递减,故的极大值为故答案为:.【点睛】本题考查函数极值的求解,难点是要通过赋值,求出未知量.16.【解析】
由二倍角公式降幂,再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,结合正弦函数性质可求得值域.【详解】,,则,.故答案为:.【点睛】本题考查三角恒等变换(二倍角公式、两角和的正弦公式),考查正弦函数的的单调性和最值.求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式,然后结合正弦函数的性质得出结论.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【解析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为.由,得,所以曲线的普通方程为.由,得,所以(舍),所以,所以曲线的交点坐标为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.18.(1);(2)【解析】
(1)当时,利用可得,故可利用等比数列的通项公式求出的通项.(2)利用分组求和法可求数列的前项和.【详解】(1)当时,,所以,当时,,①,②所以,即,又因为,故,所以,所以是首项,公比为的等比数列,故.(2)由得:数列为等差数列,公差,,,.【点睛】本题考查数列的通项与求和,注意数列求和关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法;如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法;如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法;如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.19.(1)元.(2)①②万元【解析】
(1)每件产品的销售利润为,由已知可得的取值,由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率,从而可得的概率分布列,依期望公式计算出期望即为平均销售利润;(2)①对取自然对数,得,令,,,则,这就是线性回归方程,由所给公式数据计算出系数,得线性回归方程,从而可求得;②求出收益,可设换元后用导数求出最大值.【详解】解:(1)设每件产品的销售利润为,则的可能取值为,,.由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为、、.所以;;.所以的分布列为所以(元).即每件产品的平均销售利润为元.(2)①由,得,令,,,则,由表中数据可得,则,所以,即,因为取,所以,故所求的回归方程为.②设年收益为万元,则令,则,,当时,,当时,,所以当,即时,有最大值.即该企业每年应该投入万元营销费,能使得该企业的年收益的预报值达到最大,最大收益为万元.【点睛】本题考查频率分布直方图,考查随机变量概率分布列与期望,考查求线性回归直线方程,及回归方程的应用.在求指数型回归方程时,可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程,然后再求出指数型回归方程.20.(1)极大值,极小值;(2)详见解析.【解析】
首先确定函数的定义域和;(1)当时,根据的正负可确定单调性,进而确定极值点,代入可求得极值;(2)通过分析法可将问题转化为证明,设,令,利用导数可证得,进而得到结论.【详解】由题意得:定义域为,,(1)当时,,当和时,;当时,,在,上单调递增,在上单调递减,极大值为,极小值为.(2)要证:,即证:,即证:,化简可得:.,,即证:,设,令,则,在上单调递增,,则由,从而有:.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题;本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个
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