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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年黎明职业大学高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,且,则下列命题中正确命题的个数为(
)
①;
②
③;
④
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:C2.向量a=(2,-1,4)与b=(-1,1,1)的夹角的余弦值为______.答案:∵a•b=-2-1+4=1,|a|=22+1+42=21,|b|=3.∴cos<a,b>=a•b|a|
|b|=121•3=721.故为721.3.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=______;答案:由题意知ξ的取值有0,1,2,当ξ=0时,即A邮箱的信件数为0,由分步计数原理知两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,共有3×3种结果,而满足条件的A邮箱的信件数为0的结果数是2×2,由古典概型公式得到ξ=0时的概率,同理可得ξ=1时,ξ=2时,ξ=3时的概率p(ξ=0)=2×29=49,p(ξ=1)=C12C129=49,p(ξ=2)=19,∴Eξ=0×49+1×49+2×19=23故为:23.4.如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸边的某处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路l,以便建立水陆交通网.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线C的方程;
(2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形,在图中标出此时码头Q的位置),并求公路总长的最小值(精确到0.001千米)答案:(1)过点O作准线的垂线,垂足为A,以OA所在直线为x轴,OA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系…(2分)由题意得,p2=0.4…(4分)所以,抛物线C:y2=1.6x…(6分)(2)设抛物线C的焦点为F由题意得,P(5,53)…(8分)根据抛物线的定义知,公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)当Q为线段PF与抛物线C的交点时,公路总长最小,最小值为9.806千米…(16分)5.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)•(a+2b)=______.答案:∵2a-3b=(-10,13,-14),a+2b=(16,-4,0)∴(2a-3b)•(a+2b)=-10×16+13×(-4)=-212故为-2126.将命题“正数a的平方大于零”改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.答案:原命题可以写成:若a是正数,则a的平方大于零;逆命题:若a的平方大于零,则a是正数;否命题:若a不是正数,则a的平方不大于零;逆否命题:若a的平方不大于零,则a不是正数.7.运用三段论推理:
复数不可以比较大小,(大前提)
2010和2011都是复数,(小前提)
2010和2011不可以比较大小.(结
论)
该推理是错误的,产生错误的原因是______错误.(填“大前提”或“小前提”)答案:根据三段论推理,是由两个前提和一个结论组成,大前提:复数不可以比较大小,是错误的,该推理是错误的,产生错误的原因是大前提错误.故为:大前提8.已知向量=(1,2),=(2,x),且=-1,则x的值等于()
A.
B.
C.
D.答案:D9.点P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点,则x+2y的最大值为______.答案:把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程,得x26+y24=1,∴这个椭圆的参数方程为:x=6cosθy=2sinθ,(θ为参数)∴x+2y=6cosθ+4sinθ,∴(x+2y)max=6+16=22.故为:22.10.函数y=2x的值域为______.答案:因为:x≥0,所以:y=2x≥20=1.∴函数y=2x的值域为:[1,+∞).故为:[1,+∞).11.如图,正六边形ABCDEF中,=()
A.
B.
C.
D.
答案:D12.(理)某单位有8名员工,其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训,另外3名员工没有参加过任何技能培训,现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训;
(I)求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率;
(Ⅱ)这次培训结束后,仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量,求X的分布列和数学期望.答案:(I)由题意知本题是一个等可能事件的概率,∵试验发生包含的事件是从8人中选3个,共有C83=56种结果,满足条件的事件是恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工,共有C51C32=15∴恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率P=1556(II)随机变量X可能取的值是:0,1,2,3.P(X=0)=156P(X=1)=1556P(X=2)=1528P(X=3)=C35C38=528∴随机变量X的分布列是X0123P15615561528528∴X的数学期望是1×1556+2×
1528+3×528=15813.三棱锥P-ABC中,M为BC的中点,以为基底,则可表示为()
A.
B.
C.
D.答案:D14.函数y=5x,x∈N+的值域是()A.RB.N+C.ND.{5,52,53,54,…}答案:解析:因为函数y=5x,x∈N+的定义域为正整数集N+,所以当自变量x取1,2,3,4,…时,其相应的函数值y依次是5,52,53,54,….因此,函数y=5x,x∈N+的值域是{5,52,53,54,…}.故选D.15.直线L1:x-y=0与直线L2:x+y-10=0的交点坐标是()
A.(5,5)
B.(5,-5)
C.(-1,1)
D.(1,1)答案:A16.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是()A.π3B.π4C.π2D.π答案:设:正方体边长设为:a则:球的半径为3a2所以球的表面积S1=4?π?R2=4π34a2=3πa2而正方体表面积为:S2=6a2所以比值为:S1S2=π2故选C17.8的值为()
A.2
B.4
C.6
D.8答案:B18.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是(
)
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.a<-1或a>1
D.a=±1答案:A19.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=______吨.答案:某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买400x次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为400x?4+4x万元,400x?4+4x≥2(400x×4)×4x=160,当且仅当1600x=4x即x=20吨时,等号成立即每次购买20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.故为:20.20.在⊙O中,弦AB=1.8cm,圆周角∠ACB=30°,则⊙O的直径等于()
A.3.2cm
B.3.4cm
C.3.6cm
D.4.0cm答案:C21.若矩阵M=1111,则直线x+y+2=0在M对应的变换作用下所得到的直线方程为______.答案:设直线x+y+2=0上任意一点(x0,y0),(x',y')是所得的直线上一点,[1
1][x']=[x0][1
1][y']=[y0]∴x′+y′=x0x′+y′=y0,∴代入直线x+y+2=0方程:(x'+y')+x′+y'+2=0得到I的方程x+y+1=0故为:x+y+1=0.22.如图,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为3的正三角形,则b2的值是______.答案:∵△POF2是面积为3的正三角形,∴S=34|PF2|2=3,|PF2|=2.∴c=2,∵△PF1F2为直角三角形,∴a=3+1,故为23.23.在复平面内,记复数3+i对应的向量为OZ,若向量OZ饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量OZ所对应的复数为______.答案:向量OZ饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为(3+i)(cos60°+isin60°)=(3+i)(12+32i)=2i,故为2i.24.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正投影,则|OB|等于()
A.
B.
C.
D.答案:B25.如果随机变量ξ~N(0,σ2),且P(-2<ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)等于()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4答案:A26.(几何证明选讲选做题)如图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,BD=4,则CD=______.答案:∵A、B、C、D共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵CD=CD,∴∠DAC=∠DBC.而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=BD=4.故为4.27.某班有40名学生,其中有15人是共青团员.现将全班分成4个小组,第一组有学生10人,共青团员4人,从该班任选一个学生代表.在选到的学生代表是共青团员的条件下,他又是第一组学生的概率为()A.415B.514C.14D.34答案:由于所有的共青团员共有15人,而第一小组有4人是共青团员,故在选到的学生代表是共青团员的条件下,他又是第一组学生的概率为415,故选A.28.如果命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},那么下列结论不正确的是()A.“P或Q”为真B.“P且Q”为假C.“非P”为假D.“非Q”为假答案:命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},可直接看出命题Q,命题P都是正确的.故“P或Q”为真.“P且Q”为真.“非P”为假.“非Q”为假.故选B.29.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为20N,合力与F1的夹角为30°,那么F1的大小为()A.103NB.10
NC.20
ND.102N答案:设向F1,F2的对应向量分别为OA、OB以OA、OB为邻边作平行四边形OACB如图,则OC=OA+OB,对应力F1,F2的合力∵F1,F2的夹角为90°,∴四边形OACB是矩形在Rt△OAC中,∠COA=30°,|OC|=20∴|OA|=|OC|cos30°=103故选:A30.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD、CE分别为斜边AB上的高和中线,且∠BCD与∠ACD之比为3:1,求证CD=DE.
答案:证明:∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°,∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB,∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD,∠ECD=2∠ACD=12∠ACB=12×90°=45°,△EDC为等腰直角三角形∴CE=DE.31.O是正六边形ABCDE的中心,且OA=a,OB=b,AB=c,在以A,B,C,D,E,O为端点的向量中:
(1)与a相等的向量有
______;
(2)与b相等的向量有
______;
(3)与c相等的向量有
______.答案:如图,在O是正六边形ABCDE的中心,以A,B,C,D,E,O为端点的向量中(1)与a相等的向量有EF,DO,CB;(2)与b相等的向量有DC,EO,FA;(3)与c相等的向量有FO,OC,ED.故三个空依次应填EF,DO,CB;DC,EO,FA;FO,OC,ED.32.用数学归纳法证明不等式:1n+1n+1+1n+2+…+1n2>1(n∈N*且n.1).答案:证明:(1)当n=2时,左边=12+13+14=1312>1,∴n=2时成立(2分)(2)假设当n=k(k≥2)时成立,即1k+1k+1+1k+2+…+1k2>1那么当n=k+1时,左边=1k+1+1k+2+1k+3+…+1(k+1)2=1k+1k+1+1k+2+1k+3+…+1k2+2k+1(k+1)2-1k>1+1k2+1+1k2+2+…+1(k+1)2-1k>1+(2k+1)•1(k+1)2-1k>1+k2-k-1k2+2k+1>1∴n=k+1时也成立(7分)根据(1)(2)可得不等式对所有的n>1都成立(8分)33.已知f(x)=,求不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集。答案:解:原不等式等价于或解得或即故不等式的解集为。34.附加题选做题B.(矩阵与变换)
设矩阵A=m00n,若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为10,属于特征值2的一个特征向量为01,求实数m,n的值.答案:由题意得m00n10=110,m00n01=201,…6分化简得m=10?n=00?m=0n=2所以m=1n=2.…10分35.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:
(1)与AO相等的向量有
______;
(2)写出与AO共线的向量有
______;
(3)写出与AO的模相等的向量有
______;
(4)向量AO与CO是否相等?答
______.答案:(1)与AO相等的向量有BF(2)与AO共线的向量有DE,CO,BF(3)与AO的模相等的向量有DE,
DO,AE,CO,CF,BF,BO(4)模相等,方向相反故AO与CO不相等36.在空间坐标中,点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于()
A.
B.
C.2
D.答案:B37.离心率e=23,短轴长为85的椭圆标准方程为______.答案:离心率e=23,短轴长为85,所以ca=23;b=45又a2=b2+c2解得a2=144,b2=80所以椭圆标准方程为x2144+y280=1或y2144+x280=1故为x2144+y280=1或y2144+x280=138.已知直线过点A(2,0),且平行于y轴,方程:|x|=2,则(
)
A.l是方程|x|=2的曲线
B.|x|=2是l的方程
C.l上每一点的坐标都是方程|x|=2的解
D.以方程|x|=2的解(x,y)为坐标的点都在l上答案:C39.要证明,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D.归纳法答案:B40.已知定点A(2,0),圆O的方程为x2+y2=8,动点M在圆O上,那么∠OMA的最大值是()
A.
B.
C.arccos
D.arccos答案:B41.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为()
A.a,b,c中至少有两个偶数
B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
C.a,b,c都是奇数
D.a,b,c都是偶数答案:B42.若回归直线方程中的回归系数b=0时,则相关系数r=______.答案:由于在回归系数b的计算公式中,与相关指数的计算公式中,它们的分子相同,故为:0.43.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…,用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图与故事情节相吻合的是()
A.
B.
C.
D.
答案:B44.(几何证明选讲选选做题)如图,圆的两条弦AC、BD相交于P,弧AB、BC、CD、DA的度数分别为60°、105°、90°、105°,则PAPC=______.答案:连接AB,CD∵弧AB、CD、的度数分别为60°、90°,∴弦AB的长度等于半径,弦CD的长度等于半径的2倍,即ABCD=12,∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ABP∽△CDP∴ABCD=PAPC∴PAPC=12=22,故为:2245.下列赋值语句中正确的是()
A.m+n=3
B.3=i
C.i=i2+1
D.i=j=3答案:C46.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情形都有可能答案:A47.根据给出的程序语言,画出程序框图,并计算程序运行后的结果.
答案:程序框图:模拟程序运行:当j=1时,n=1,当j=2时,n=1,当j=3时,n=1,当j=4时,n=2,…当j=8时,n=2,…当j=11时,n=2,当j=12时,此时不满足循环条件,退出循环程序运行后的结果是:2.48.已知直线l1:3x-y+2=0,l2:3x+3y-5=0,则直线l1与l2的夹角是______.答案:因为直线l1的斜率为3,故倾斜角为60°,直线l2的斜率为-3,倾斜角为120°,故两直线的夹角为60°,即两直线的夹角为π3,故为
π3.49.右图程序运行后输出的结果为()
A.3456
B.4567
C.5678
D.6789
答案:A50.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有无穷多条
D.不存在答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.某市为研究市区居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图(如图).
(Ⅰ)求月收入在[3000,3500)内的被调查人数;
(Ⅱ)估计被调查者月收入的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
答案:(I)10000×0.0003×500=1500(人)∴月收入在[3000,3500)内的被调查人数1500人(II).x=1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400∴估计被调查者月收入的平均数为24002.直线l1:a1x+b1y+1=0直线l2:a2x+b2y+1=0交于一点(2,3),则经过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程为______.答案:∵直线l1:a1x+b1y+1=0直线l2:a2x+b2y+1=0交于一点(2,3),∴2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+2=0.∴A(a1,b1),B(a2,b2)两点都在直线2x+3y+1=0上,由于两点确定一条直线,因此经过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程即为2x+3y+1=0.故为:2x+3y+1=0.3.对于函数f(x),在使f(x)≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值称为函数f(x)的“上确界”则函数f(x)=(x+1)2x2+1的上确界为()A.14B.12C.2D.4答案:因为f(x)=(x+1)2x2+1=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1又因为x2+1=|x|2+1≥2|x|≥2x∴2xx2+1≤1.∴f(x)≤2.即在使f(x)≤M成立的所有常数M中,M的最小值为2.故选C.4.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a、b、c按从小到大的顺序排列为
______.答案:由指数函数y=0.8x知,∵0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<1,即b<a,又c=1.20.8>1,∴b<a<c.b<a<c5.如图,△ABC中,AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,若AF=xAB+yAC,则()A.x=13,y=12B.x=14,y=13C.x=37,y=37D.x=25,y=920答案:过点F作FM∥AC、FN∥AB,分别交AB、AC于点M、N∵FM∥AC,∴FMAC=DMAD且FMAE=BMAB∵AD=2DB,AE=3EC,∴AD=23AB,AE=34AC.由此可得AM=13AB同理可得AN=12AC∵四边形AMFN是平行四边形∴由向量加法法则,得AF=13AB+12AC∵AF=xAB+yAC,∴根据平面向量基本定理,可得x=13,y=12故选:A6.已知{x1,x2,x3,…,xn}的平均数是2,则3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数=_______.答案:∵x1,x2,x3,…,xn的平均数是2即(x1+x2+x3+…+xn)÷n=2∴3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数为(3x1+2+3x2+2+…+3xn+2)÷n=[3(x1+x2+x3+…+xn)+2n]÷n=3×2+2=8故为:87.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则xy的范围是______.答案:由OC=xOA+yOB?OC2=x2OA2+y2OB2+2xyOA?OB,又|OC|=|OA|=|OB|=1,OA?OB=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤12,而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,得x,y∈[0,1],于是,0≤xy≤12,故为[0,12].8.已知复数z满足(1-i)•z=1,则z=______.答案:∵复数z满足(1-i)•z=1,∴z=11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,故为12+i2.9.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为()
A.
B.1
C.1+
D.答案:D10.已知矩形ABCD,R、P分别在边CD、BC上,E、F分别为AP、PR的中点,当P在BC上由B向C运动时,点R在CD上固定不变,设BP=x,EF=y,那么下列结论中正确的是()A.y是x的增函数B.y是x的减函数C.y随x先增大后减小D.无论x怎样变化,y是常数答案:连接AR,如图所示:由于点R在CD上固定不变,故AR的长为定值又∵E、F分别为AP、PR的中点,∴EF为△APR的中位线,则EF=12AR为定值故无论x怎样变化,y是常数故选D11.底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为______cm2.答案:∵圆柱的底面直径和高都是4cm,∴圆柱的底面圆的周长是2π×2=4π∴圆柱的侧面积是4π×4=16π,故为:16π.12.已知:a={2,-3,1},b={2,0,-2},c={-1,-2,0},r=2a-3b+c,
则r的坐标为______.答案:∵a=(2,-3,1),b=(2,0,-2),c=(-1,-2,0)∴r=2a-
3b+c=2(2,-3,1)-3(2,0,-2)+(-1,-2,0)=(4,-6,2)-(6,0,-6)+(-1,-2,0)=(-3,-8,8)故为:(-3,-8,8)13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若向量OB=a100OA+a101OC,且A、B、C三点共线(该直线不过点O),则S200等于______.答案:由题意可知:向量OB=a100OA+a101OC,又∵A、B、C三点共线,则a100+a101=1,等差数列前n项的和为Sn=(a1+an)?n
2,∴S200=(a1+a200)×200
2=(a100+
a101)×2002=100,故为100.14.参数方程中当t为参数时,化为普通方程为(
)。答案:x2-y2=115.给出以下变量①吸烟,②性别,③宗教信仰,④国籍,其中属于分类变量的有______.答案:①因为吸烟不是分类变量,是否吸烟才是分类变量,其他②③④属于分类变量.故为:②③④.16.向量b与a=(2,-1,2)共线,且a•b=-18,则b的坐标为______.答案:因为向量b与a=(2,-1,2)共线,所以设b=ma,因为且a•b=-18,所以ma2=-18,因为|a|=22+1+22=3,所以m=-2.所以b=ma=-2(2,-1,2)=(-4,2,-4).故为:(-4,2,-4).17.已知:如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于点B,DC的延长线交AB于点A,∠A=20°,则
∠DBE=______.答案:连接BC,∵CD是⊙O的直径,∴∠CBD=90°,∵AE是⊙O的切线,∴∠DBE=∠1,∠2=∠D;又∵∠1+∠D=90°,即∠1+∠2=90°---(1),∠A+∠2=∠1----(2),(1)-(2)得∠1=55°即∠DBE=55°.故为:∠DBE=55°.18.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0),过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D,交y轴于点Q,交直线l:y=p2于点M,当|FD|=2时,∠AFD=60°.
(1)求证:△AFQ为等腰三角形,并求抛物线C的方程;
(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上,过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P,交直线l于点N,求△PMN面积的最小值,并求取到最小值时的x1值.答案:(1)设A(x1,x122p),则A处的切线方程为l1:y=x1px-x122p,可得:D(x12,0),Q(0,-x212p)∴|FQ|=p2+x212p=|AF|;∴△AFQ为等腰三角形.由点A,Q,D的坐标可知:D为线段AQ的中点,∴|AF|=4,得:p2+x212p=4x21+p2=16∴p=2,C:x2=4y.(2)设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为y=x22x-x224联立y=x22x-x224y=x12x-x214得到点P(x1+x22,x1x24),联立y=x12x-x214y=1得到点M(x12+2x1,1).同理N(x22+2x2,1),设h为点P到MN的距离,则S△=12|MN|•h=12×(x12+2x1-x22-2x2)(1-x1x24)=(x2-x1)(4-x1x2)216x1x2
①设AB的方程为y=kx+b,则b>0,由y=kx+bx2=4y得到x2-4kx-4b=0,得x1+x2=4kx1x2=-4b代入①得:S△=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb,要使面积最小,则应k=0,得到S△=(1+b)2bb②令b=t,得S△(t)=(1+t2)2t=t3+2t+1t,则S′△(t)=(3t2-1)(t2+1)t2,所以当t∈(0,33)时,S(t)单调递减;当t∈(33,+∞)时,S(t)单调递增,所以当t=33时,S取到最小值为1639,此时b=t2=13,k=0,所以y1=13,解得x1=233.故△PMN面积取得最小值时的x1值为233.19.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团):
声乐社排球社武术社高一4530a高二151020学校要对这三个社团的活动效果里等抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人,结果声乐社被抽出12人,则a=______.答案:根据分层抽样的定义和方法可得,1245+15=30120+a,解得a=30,故为3020.参数方程(t是参数)表示的图象是()
A.射线
B.直线
C.圆
D.双曲线答案:A21.
如图,平面内向量,的夹角为90°,,的夹角为30°,且||=2,||=1,||=2,若=λ+2
,则λ等()
A.
B.1
C.
D.2
答案:D22.设集合A={x|},则A∩B等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:B23.命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为()A.p或qB.p且qC.非pD.简单命题答案:记命题p:梯形的两对角线互相平分,
而原命题是“梯形的两对角线互相不平分”,是命题p的否定形式
故选C24.选修4-4参数方程与极坐标
在平面直角坐标系xOy中,动圆x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0(θ∈R)的圆心为P(x0,y0),求2x0-y0的取值范围.答案:将圆的方程整理得:(x-4cosθ)2+(y-3sinθ)2=1由题设得x0=4cosθy0=3sinθ(θ为参数,θ∈R).所以2x0-y0=8cosθ-3sinθ=73cos(θ+φ),所以
-73≤2x0-y0≤73.25.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件答案:C26.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,则下列向量相等的是()
A.AD与CB
B.OA与OC
C.AC与DB
D.DO与OB
答案:D27.已知向量表示“向东航行1km”,向量表示“向南航行1km”,则向量表示()
A向东南航行km
B.向东南航行2km
C.向东北航行km
D.向东北航行2km答案:A28.直角坐标xOy平面上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有()
A.25个
B.36个
C.100个
D.225个答案:D29.已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么x2+y2的最小值为()A.5B.10C.25D.210答案:求x2+y2的最小值,就是求2x+y+5=0上的点到原点的距离的最小值,转化为坐标原点到直线2x+y+5=0的距离,d=522+1=5.故选A.30.若数列{an}是等差数列,对于bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类比上述性质,若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,对于dn>0,则dn=______时,数列{dn}也是等比数列.答案:在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以由数列{cn}是等差数列,则对于bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类比推断:若数列{cn}是各项均为正数的等比数列,则当dn=nC1C2C3Cn时,数列{dn}也是等比数列.故为:nC1C2C3Cn31.已知G是△ABC的重心,O是平面ABC外的一点,若λOG=OA+OB+OC,则λ=______.答案:如图,正方体中,OA+OB+OC=OD=3OG,∴λ=3.故为3.32.已知函数f(x),如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”.在函数①f1(x)=x,②f2(x)=x,③f3(x)=x2中,其中______是“保三角形函数”.(填上正确的函数序号)答案:f1(x),f2(x)是“保三角形函数”,f3(x)不是“保三角形函数”.任给三角形,设它的三边长分别为a,b,c,则a+b>c,不妨假设a≤c,b≤c,由于a+b>a+b>c>0,所以f1(x),f2(x)是“保三角形函数”.对于f3(x),3,3,5可作为一个三角形的三边长,但32+32<52,所以不存在三角形以32,32,52为三边长,故f3(x)不是“保三角形函数”.故为:①②.33.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C34.已知f(x+1)=x2+2x+3,则f(2)的值为______.答案:由f(x+1)=x2+2x+3,得f(1+1)=12+2×1+3=6,故为:6.35.以下关于排序的说法中,正确的是(
)A.排序就是将数按从小到大的顺序排序B.排序只有两种方法,即直接插入排序和冒泡排序C.用冒泡排序把一列数从小到大排序时,最小的数逐趟向上漂浮D.用冒泡排序把一列数从小到大排序时,最大的数逐趟向上漂浮答案:C解析:由冒泡排序的特点知C正确.36.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.
求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时两条直线的方程.答案:(1)方法一:①当两条直线的斜率不存在时,即两直线分别为x=6和x=-3,则它们之间的距离为9.…(2分)②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0,…(4分)∴d=|3k-1+6k-2|k2+1=3|3k-1|k2+1.即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.∵k∈R,且d≠9,d>0,∴△=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤310且d≠9.…(9分)综合①②可知,所求d的变化范围为(0,310].方法二:如图所示,显然有0<d≤|AB|.而|AB|=[6-(-3)]2+[2-(-1)]2=310.故所求的d的变化范围为(0,310].(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于AB.而kAB=2-(-1)6-(-3)=13,∴所求直线的斜率为-3.故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…(13分)37.在某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测,检测结果表示为如图所示的频率分布直方图,则车速不小于90km/h的汽车有辆.()A.60B.90C.120D.150答案:频率=频率组距×组距=(0.02+0.01)×10=0.3,频数=频率×样本总数=200×0.3=60(辆).故选A.38.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为______;
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为______.答案:(1)由题意知圆x2+y2=12的圆心是(0,0),圆心到直线的距离是d=2532+42=5,(2)由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,满足条件的事件是到直线l的距离小于2,过圆心做一条直线交直线l与一点,根据上一问可知圆心到直线的距离是5,在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线,根据弦心距,半径,弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P=60°360°=16故为:5;1639.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有1个白球;都是白球
B.至少有1个白球;至少有1个红球
C.恰有1个白球;恰有2个白球
D.至少有一个白球;都是红球答案:C40.已知集合{2x,x+y}={7,4},则整数x=______,y=______.答案:∵{2x,x+y}={7,4},∴2x=4x+y=7或2x=7x+y=4解得x=2y=5或x=3.5y=0.5不是整数,舍去故为:2,541.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为()A.8B.8πC.4πD.2π答案:∵用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,且圆柱高为h=2∴底面圆周由长为4的线段围成,可得底面圆直径2r=4π∴此圆柱的轴截面矩形的面积为S=2r×h=8π故选:B42.设A=xn+x-n,B=xn-1+x1-n,当x∈R+,n∈N+时,求证:A≥B.答案:证明:A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)=x-n(x2n+1-x2n-1-x)=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]=x-n(x-1)(x2n-1-1).由x∈R+,x-n>0,得当x≥1时,x-1≥0,x2n-1-1≥0;当x<1时,x-1<0,x2n-1<0,即x-1与x2n-1-1同号.∴A-B≥0.∴A≥B.43.若直线x-y-1=0与直线x-ay=0的夹角为,则实数a等于()
A.
B.0
C.
D.0或答案:D44.已知向量a=(x,1,0),b=(1,2,3),若a⊥b,则x=______.答案:∵向量a=(x,1,0),b=(1,2,3),a⊥b,∴a•b=x+2+0=0,x=-2.故为:-2.45.已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A、B.
(ⅰ)求证:直线AB恒过一定点,并求出该定点的坐标;
(ⅱ)在直线l上是否存在一点E,使得△ABM为等边三角形(M点也在直线l上)?若存在,求出点E坐标,若不存在,请说明理由.答案:(Ⅰ)曲线C的方程x2=4y(5分)(Ⅱ)(ⅰ)设E(a,-2),A(x1,x214),B(x2,x224),∵y=x24∴y′=12x过点A的抛物线切线方程为y-x214=12x1(x-x1),∵切线过E点,∴-2-x214=12x1(a-x1),整理得:x12-2ax1-8=0同理可得:x22-2ax2-8=0,∴x1,x2是方程x2-2ax-8=0的两根,∴x1+x2=2a,x1•x2=-8可得AB中点为(a,a2+42)又kAB=y1-y2x1-x2=x214-x224x1-x2=x1+x24=a2,∴直线AB的方程为y-(a22+2)=a2(x-a)即y=a2x+2,∴AB过定点(0,2)(10分)(ⅱ)由(ⅰ)知AB中点N(a,a2+42),直线AB的方程为y=a2x+2当a≠0时,则AB的中垂线方程为y-a2+42=-2a(x-a),∴AB的中垂线与直线y=-2的交点M(a3+12a4,-2)∴|MN|2=(a3+12a4-a)2+(-2-a2+42)2=116(a2+8)2(a2+4)∵|AB|=1+a24(x1+x2)2-4x1x2=(a2+4)(a2+8)若△ABM为等边三角形,则|MN|=32|AB|,∴116(a2+8)2(a2+4)=34(a2+4)(a2+8),解得a2=4,∴a=±2,此时E(±2,-2),当a=0时,经检验不存在满足条件的点E综上可得:满足条件的点E存在,坐标为E(±2,-2).(15分)46.三直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是(
)
A.-2
B.-1
C.0
D.1答案:B47.若A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B=()
A.{2,1}
B.{(2,1)}
C.{1,2}
D.{(1,2)}答案:D48.已知顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15,求此抛物线方程.答案:由题意可设抛物线的方程y2=2px(p≠0),直线与抛物线交与A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程y2=2pxy=2x+1可得,4x2+(4-2p)x+1=0则x1+x2=12p-1,x1x2=14,y1-y2=2(x1-x2)AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=5[(x1+x2)2-4x1x2
]=5(12p-1)2-5=15解得p=6或p=-2∴抛物线的方程为y2=12x或y2=-4x49.平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量其中,若且0≤μ≤λ≤1,那么C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()
A.
B.
C.
D.
答案:A50.两弦相交,一弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,求另一弦长______.答案:设另一弦长xcm;由于另一弦被分为3:8的两段,故两段的长分别为311xcm,811xcm,有相交弦定理可得:311x?811x=12?18解得x=33故为:33cm第3卷一.综合题(共50题)1.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间,若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是(
)g。答案:161.8或138.22.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则()A.以上四个图形都是正确的B.只有(2)(4)是正确的C.只有(4)是错误的D.只有(1)(2)是正确的答案:(1)当平行于三棱锥一底面,过球心的截面如(1)图所示;(2)过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如(2)图所示;(3)过三棱锥的一个顶点(不过棱)和球心所得截面如(3)图所示;(4)棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上,所以(4)是错误的.故选C.3.已知随机变量X的分布列为:P(X=k)=,k=1,2,…,则P(2<X≤4)等于()
A.
B.
C.
D.答案:A4.从直径AB的延长线上取一点C,过点C作该圆的切线,切点为D,若∠ACD的平分线交AD于点E,则∠CED的度数是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.随点C的变化而变化答案:B5.下面四个结论:
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②奇函数的图象一定通过原点;
③偶函数的图象关于y轴对称;
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R),
其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交,因此①错误,③正确;奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,只有在原点处有定义才通过原点,因此②错误;若y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但不一定x∈R,只要定义域关于原点对称即可,因此④错误.故选A.6.如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,
(Ⅰ)求证:DM⊥EB;
(Ⅱ)设二面角M-BD-A的平面角为β,求cosβ.答案:分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设CB=a,则A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)所以M(a,a,a2).(Ⅰ):DM=(a,a,-3a2)
,EB=(-2a,2a,0)DM•EB=a•(-2a)+a•2a+0=0.∴DM⊥EB,即DM⊥EB.(Ⅱ)设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),DB=(0,2a,-2a),由n⊥DB,n⊥DM,得n•DB=2ay-2az=0n•DM=ax+ay-3a2z=0⇒y=zx+y-3z2=0取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1,2,2),又平面BDA的一个法向量n1=(1,0,0).∴cos<n,n1>
=1+0+012+22+22•12+02+
02=13,即cosβ=137.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立.
现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得()
A.当n=6时该命题不成立
B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立
D.当n=8时该命题成立答案:A8.在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg).
(1)画出散点图;
(2)求y关于x的线性回归方程;
(3)若施化肥量为38kg,其他情况不变,请预测水稻的产量.答案:(1)根据题表中数据可得散点图如下:(2)∵.x=15+20+25+30+35+40+457=30,.y=330+345+365+405+445+450+4557=399.3∴利用最小二乘法得到b=4.75,a=257∴根据回归直线方程系数的公式计算可得回归直线方程是?y=4.75x+257.(3)把x=38代入回归直线方程得y=438,可以预测,施化肥量为38kg,其他情况不变时,水稻的产量是438kg.9.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是______.答案:因为双曲线的渐近线方程为y=±3x,则设双曲线的方程是x2-y29=λ,又它的一个焦点是(10,0)故λ+9λ=10∴λ=1,x2-y29=1故为:x2-y29=110.随机变量ξ服从二项分布ξ~B(n,p),且Eξ=300,Dξ=200,则p等于()
A.
B.0
C.1
D.答案:D11.Rt△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,将三角形绕直角边AB旋转一周形成一个新的几何体,想象几何体的结构,画出它的三视图,求出它的表面积和体积.答案:以绕AB边旋转为例,其直观图、正(侧)视图、俯视图依次分别为:其表面是扇形的表面,所以其表面积为S=πRL=36π,V=13×π×BC2×AB=16π.12.平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为为v2=(-2,-4,10),则平面α与平面β()A.平行B.垂直C.相交D.不确定答案:∵平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为v2=(-2,-4,10),∵v1•v2=1×(-2)+2×(-4)+1×10=0∴v1⊥v2,∴平面α⊥平面β故选B13.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则CU(S∪T)等于()A.φB.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8}答案:∵S∪T={1,3,5,6},∴CU(S∪T)={2,4,7,8}.故选B.14.若x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,则xy的最大值为______.答案:∵x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,∴1=x+2y≥2x?2y,∴22×xy≤1,∴xy≤
122=24,所以xy≤18.当且仅当x=2yx+2y=1时,即x=12,y=14时,取等号.故为:18.15.给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴的一个端点到点F的距离为3.
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,求l1,l2的方程;
(3)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求AB•AD的取值范围.答案:(1)由题意可得:a=3,c=2,b=1,∴r=(3)2+12=2.∴椭圆C的方程为x23+y2=1,其“准圆”的方程为x2+y2=4;(2)由“准圆”的方程为x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取P(2,0),设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为my=x-2,联立my=x-2x23+y2=1,消去x得到关于y的一元二次方程(3+m2)x2+4m+1=0,∴△=16m2-4(3+m2)=0,解得m=±1,故直线l1、l2的方程分别为:y=x-2,y=-x+2.(3)由“准圆”的方程为x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取点A(2,0).设点B(x0,y0),则D(x0,-y0).∴AB•AD=(x0-2,y0)•(x0-2,-y0)=(x0-2)2-y02,∵点B在椭圆x23+y2=1上,∴x023+y02=1,∴y02=1-x023,∴AD•AB=(x0-2)2-1+x023=43(x0-32)2,∵-3<x0<3,∴0≤43(x0-32)2<7+43,∴0≤AD•AB<7+43,即AD•AB的取值范围为[0,7+43)16.在数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证()
A.n=1成立
B.n=2成立
C.n=3成立
D.n=4成立答案:C17.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是(
)
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.a<-1或a>1
D.a=±1答案:A18.如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,点O在AB上,BD⊥AB,点B是垂足,OD∥AC,连接CD.
求证:CD是⊙O的切线.答案:证明:连接CO,(1分)∵OD∥AC,∴∠COD=∠ACO,∠CAO=∠DOB.(3分)∵∠ACO=∠CAO,∴∠COD=∠DOB.(6分)∵OD=OD,OC=OB,∴△COD≌△BOD.(8分)∴∠OCD=∠OBD=90°.∴OC⊥CD,即CD是⊙O的切线.(10分)19.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1和l2,已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t,那么下列说法正确的是()
A.l1和l2必定平行
B.l1与l2必定重合
C.l1和l2有交点(s,t)
D.l1与l2相交,但交点不一定是(s,t)答案:C20.已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为______.答案:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2+)(12+22+32)故x2+y2+z2≥114,当且仅当x1=y2=z3,即:x2+y2+z2的最小值为114.故为:11421.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数.则函数g(x)=ax+b的大致图象是(
)
答案:D解析:试题分析:解:由函数f(x)=loga(x+b)的图象为减函数可知0<a<1,f(x)=loga(x+b)的图象由f(x)=logax向左平移可知0<b<1,故函数g(x)=ax+b的大致图象是D故选D.22.如图,直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则必有()A.k1<k3<k2B.k3<k1<k2C.k1<k2<k3D.k3<k2<k1答案:设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1,α2,α3.由已知为α1为钝角,α2>α3,且均为锐角.由于正切函数y=tanx在(0,π2)上单调递增,且函数值为正,所以tanα2>tanα3>0,即k2>k3>0.当α为钝角时,tanα为负,所以k1=tanα1<0.综上k1<k3<k2,故选A.23.圆C1x2+y2-4y-5=0与圆C2x2+y2-2x-2y+1=0位置关系是()
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切答案:A24.不等式的解集是
(
)A.B.C.D.答案:B解析:当时,不等式成立;当时,不等式可化为,解得综上,原不等式解集为故选B25.在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:
①对所求出的回归直线方程作出解释;
②收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;
③求线性回归方程;
④求相关系数;
⑤根据所搜集的数据绘制散点图.
如果根据可形性要求能够作出变量x,y具有线性相关结论,则在下列操作顺序中正确的是()
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①答案:D26.袋子A和袋子B均装有红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是13,从B中摸出一个红球的概率是P.
(1)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次,求恰好有3次摸到红球的概率;
(2)若A、B两个袋子中的总球数之比为1:2,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率为25,求P的值.答案:(1)每次从A中摸一个红球的概率是13,摸不到红球的概率为23,根据独立重复试验的概率公式,故共摸5次,恰好有3次摸到红球的概率为:P=C35(13)3(23)2=10×127×49=40243.(2)设A中有m个球,A、B两个袋子中的球数之比为1:2,则B中有2m个球,∵将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是25,∴13m+2mp3m=25,解得p=1330.27.用反证法证明“a>b”时,反设正确的是()
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.以上都不对答案:D28.电子手表厂生产某批电子手表正品率为,次品率为,现对该批电子手表进行测试,设第X次首次测到正品,则P(1≤X≤2013)等于()
A.1-()2012
B.1-()2013
C.1-()2012
D.1-()2013答案:B29.(坐标系与参数方程选做题)点P(-3,0)到曲线x=t2y=2t(其中参数t∈R)上的点的最短距离为______.答案:设点Q(t2,2t)为曲线上的任意一点,则|PQ|=(t2+3)2+(2t)2=(t2+5)2-16≥52-16=3,当且仅当t=0取等号,此时Q(0,0).故点P(-3,0)到曲线x=t2y=2t(其中参数t∈R)上的点的最短距离为3.故为3.30.如图把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=______.答案:如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a,同理其余两对的和也是2a,又|P4F1|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35,故为35.31.k取何值时,一元二次方程kx2+3kx+k=0的两根为负。答案:解:∴k≤或k>332.如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=6.
(1)求证:PA⊥B1D1;
(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值.答案:以D1为原点,D1A1所在直线为x轴,D1C1所在直线为y轴,D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则D1(0
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