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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年青岛航空科技职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22
(℃)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):
①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;
②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;
③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8;
则肯定进入夏季的地区有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案:①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22,根据数据得出:甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为:22,22,24,25,26.其连续5天的日平均温度均不低于22.
②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24.根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22.③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22.则肯定进入夏季的地区有甲、乙、丙三地.故选D.2.如图所示,O点在△ABC内部,D、E分别是AC,BC边的中点,且有OA+2OB+3OC=O,则△AEC的面积与△AOC的面积的比为()
A.2
B.
C.3
D.
答案:B3.已知x∈R,a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.答案:证明:假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3而a+b+c=2x2-2x+12+3=2(x-12)2+3≥3,两者矛盾;故a,b,c至少有一个不小于1.4.若P(2,-1)为曲线x=1+5cosθy=5sinθ(0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线的普通方程为______.答案:∵曲线x=1+5cosθy=5sinθ(0≤θ<2π),∴(x-1)2+y2=25,∵P(2,-1)为曲线x=1+5cosθy=5sinθ(0≤θ<2π)的弦的中点,设过点P(2,-1)的弦与(x-1)2+y2=25交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4y1+y2=-2,把A(x1,y1),B(x2,y2)代入(x-1)2+y2=25,得(x1-1)2+y
12=25(x2-1)2+y22=25,∴x12-2x1+1+y12=25,①x22-2x2+1+y22=25,②,①-②,得4(x1-x2)-2(x1-x2)-2(y1-y2)=0,∴k=y1-y2x1-x2=1,∴该弦所在直线的普通方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.故为:x-y-3=0.5.已知圆C:x2+y2-4x-5=0.
(1)过点(5,1)作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C的弦AB的中点P(3,1),求AB所在直线方程.答案:由C:x2+y2-4x-5=0得圆的标准方程为(x-2)2+y2=9-----------(2分)(1)显然x=5为圆的切线.------------------------(4分)另一方面,设过(5,1)的圆的切线方程为y-1=k(x-5),即kx-y+1-5k=0;所以d=|2k-5k+1|k2+1=3,解得k=-43于是切线方程为4x+3y-23=0和x=5.------------------------(7分)(2)设所求直线与圆交于A,B两点,其坐标分别为(x1,y1)B(x2,y2)则有(x1-2)2+y21=9(x2-2)2+y22=9两式作差得(x1+x2-4)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0--------------(10分)因为圆C的弦AB的中点P(3,1),所以(x2+x1)=6,(y2+y1)=2
所以y2-y1x2-x1=-1,故所求直线方程为
x+y-4=0-----------------(14分)6.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项,则判断框内的条件是()
A.n≤8?
B.n≤9?
C.n≤10?
D.n≤11?
答案:B7.如图,I表示南北方向的公路,A地在公路的正东2km处,B地在A地北偏东60°方向2km处,河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地距离相等,现要在河岸PQ上选一处M建一座码头,向A,B两地转运货物,经测算从M到A,B修建公路的费用均为a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是(单位万元)()
A.(2+)a
B.5a
C.2(+1)a
D.6a
答案:B8.已知:空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD.答案:取BC的中点为E,∵AB=AC,∴AE⊥BC.∵DB=DC,∴DE⊥BC.这样,BC就和平面ADE内的两条相交直线AE、DE垂直,∴BC⊥面ADE,∴BC⊥AD.9.当a>0时,设命题P:函数f(x)=x+ax在区间(1,2)上单调递增;命题Q:不等式x2+ax+1>0对任意x∈R都成立.若“P且Q”是真命题,则实数a的取值范围是()A.0<a≤1B.1≤a<2C.0≤a≤2D.0<a<1或a≥2答案:∵函数f(x)=x+ax在区间(1,2)上单调递增;∴f′(x)≥0在区间(1,2)上恒成立,∴1-ax2≥0在区间(1,2)上恒成立,即a≤x2在区间(1,2)上恒成立,∴a≤1.且a>0…①又不等式x2+ax+1>0对任意x∈R都成立,∴△=a2-4<0,∴-2<a<2…②若“P且Q”是真命题,则P且Q都是真命题,故由①②的交集得:0<a≤1,则实数a的取值范围是0<a≤1.故选A.10.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数.则函数g(x)=ax+b的大致图象是(
)
答案:D解析:试题分析:解:由函数f(x)=loga(x+b)的图象为减函数可知0<a<1,f(x)=loga(x+b)的图象由f(x)=logax向左平移可知0<b<1,故函数g(x)=ax+b的大致图象是D故选D.11.已知矩阵A=12-14,向量a=74.
(1)求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2;
(2)求A5α的值.答案:(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)=.λ-1-21λ-4.=λ2-5λ+6,令f(λ)=0,得λ1=2,λ2=3,当λ1=2时,得α1=21,当λ2=3时,得α2=11.(7分)(2)由α=mα1+nα2得2m+n=7m+n=4,得m=3,n=1.∴A5α=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λ51α1)+λ52α2=3×2521+3511=435339.(15分)12.如图是一个实物图形,则它的左视图大致为()A.
B.
C.
D.
答案:∵左视图是指由物体左边向右做正投影得到的视图,并且在左视图中看到的线用实线,看不到的线用虚线,∴该几何体的左视图应当是包含一条从左上到右下的对角线的矩形,并且对角线在左视图中为实线,故选D.13.已知f(x)=2x2+1,则函数f(cosx)的单调减区间为______.答案:解;∵f(x)=2x2+1,∴f(cosx)=2cos2x+1=1+cos2x+1=cos2x+2,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z.解得kπ≤x≤kπ+π2,k∈Z.∴函数f(cosx)的单调减区间为[kπ,π2+kπ],k∈Z.故为:[kπ,π2+kπ],k∈Z.14.过点(0,2)且与圆x2+y2=4只有一个交点的直线方程是______.答案:∵圆x2+y2=4的圆心是O(0,0),半径r=2,点(0,2)到圆心O(0,0)的距离是d=0+4=2=r,∴点(0,2)在圆x2+y2=4上,∴过点(0,2)且与圆x2+y2=4只有一个交点的直线方程是0x+2y=4,即y=2.故为:y=2.15.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是()A.95B.45C.14-65D.14+65答案:由方程x2+y2+4x-2y-4=0得到圆心为(-2,1),半径为3,设圆上一点为(x,y)圆心到原点的距离是(-2)2+1
2=5圆上的点到原点的最大距离是5+3故x2+y2的最大值是为(5+3)2=14+65故选D16.已知边长为1的正方形ABCD,则|AB+BC+CD|=______.答案:利用向量加法的几何性质,得AB+BC=AC∴AB+BC+CD=AD因为正方形的边长等于1所以|AB+BC+CD|=|AD|
=1故为:117.某校有老师300人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为80,则n=()
A.171
B.184
C.200
D.392答案:C18.已知点A(1,2),直线l1:x=1+3ty=2-4t(t为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B,则A、B两点之间的距离|AB|=______.答案:将x=1+3t,y=2-4t代入2x-4y=5,得t=12,所以两直线的交点坐标为(52,0)所以|AB|=(1-52)2+(2-0)2
=52.故为:5219.在同一个坐标系中画出函数y=ax,y=sinax的部分图象,其中a>0且a≠1,则下列所给图象中可能正确的是()
A.
B.
C.
D.
答案:D20.已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),则向量2a-3b+4c的坐标为______.答案:∵a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),∴向量2a-3b+4c=2(3,5,1)-3(2,2,3)+4(4,-1,-3)=(16,0,-19)故为:(16,0,-19).21.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是()
A.(3,-1)
B.(-1,3)
C.(-3,-1)
D.(3,1)答案:A22.如图,在平行四边形OABC中,点C(1,3).
(1)求OC所在直线的斜率;
(2)过点C做CD⊥AB于点D,求CD所在直线的方程.答案:(1)∵点O(0,0),点C(1,3),∴OC所在直线的斜率为kOC=3-01-0=3.(2)在平行四边形OABC中,AB∥OC,∵CD⊥AB,∴CD⊥OC.∴CD所在直线的斜率为kCD=-13.∴CD所在直线方程为y-3=-13(x-1),即x+3y-10=0.23.设随机变量ξ服从正态分布N(u,9),若p(ξ>3)=p(ξ<1),则u=______.答案:∵随机变量ξ服从正态分布N(u,9),p(ξ>3)=p(ξ<1),∴u=3+12=2故为224.在△ABC中,AB=2,AC=1,D为BC的中点,则AD•BC=______.答案:AD•BC=AB+AC2•(AC-AB)=AC2-AB22=1-42=-32,故为:-32.25.不等式﹣2x+1>0的解集是(
).答案:{x|x<}26.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N*)答案:证明:①n=1时,左边=2,右边=2,等式成立;②假设n=k时,结论成立,即:(k+1)+(k+2)+…+(k+k)=k(3k+1)2则n=k+1时,等式左边=(k+2)+(k+3)+…+(k+k+1)+(k+1+k+1)=k(3k+1)2+3k+2=(k+1)(3k+4)2故n=k+1时,等式成立由①②可知:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N*)成立27.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是______.答案:直线3x+4y-3=0即6x+8y-6=0,它直线6x+my+14=0平行,∴m=8,则它们之间的距离是d=|c1-c2|a2+b2=|-6-14|62+82=2,故为:2.28.据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.写出下列解释中正确的序号______.
①上海地区面积的70%至80%将降雨;
②上海地区下雨的时间在16.8小时至19.2%小时之间;
③上海地区在相似的气候条件下有70%至80%的日子是下雨的;
④上海地区在相似的气候条件下有20%至30%的日子是晴,或多云,或阴.答案:据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.表示上海地区在相似的气候条件下下雨的可能性很大,是有70%至80%的日子是下雨的.是但不一定下,也不是的70%至80%的时间与地区.故解释中正确的序号③故为:③29.若下列算法的程序运行的结果为S=132,那么判断框中应填入的关于k的判断条件是
______.答案:本题考查根据程序框图的运算,写出控制条件按照程序框图执行如下:s=1
k=12s=12
k=11s=12×11=132
k=10因为输出132故此时判断条件应为:K≤10或K<11故为:K≤10或K<1130.如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么()A.F=0,G≠0,E≠0B.E=0,F=0,G≠0C.G=0,F=0,E≠0D.G=0,E=0,F≠0答案:圆与x轴相切于原点,则圆心在y轴上,G=0,圆心的纵坐标的绝对值等于半径,F=0,E≠0.故选C.31.α为第一象限角是sinαcosα>0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:若α为第一象限角,则sinα>0,cosα>0,所以sinαcosα>0,成立.若sinαcosα>0,则①sinα>0,cosα>0,此时α为第一象限角.或②sinα<0,cosα<0,此时α为第三象限角.所以α为第一象限角是sinαcosα>0的充分不必要条件.故选A.32.求证:不论λ取什么实数时,直线(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.答案:证明:直线(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0即λ(2x+y-1)+(-x+3y+11)=0,根据λ的任意性可得2x+y-1=0-x+3y+11=0,解得x=2y=-3,∴不论λ取什么实数时,直线(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0都经过一个定点(2,-3).33.已知f(x)=x2+4x+8,则f(3)=______.答案:f(3)=32+4×3+8=29,故为:29.34.输入3个数,输出其中最大的公约数,编程序完成上述功能.答案:INPUT
m,n,kr=m
MOD
nWHILE
r<>0m=nn=rr=m
MOD
nWENDr=k
MOD
nWHILE
r<>0k=nn=rr=k
MOD
nWENDPRINT
nEND35.极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为()
A.极点
B.极轴
C.一条直线
D.两条相交直线答案:D36.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,若PA⊥AB,PO过AC的中点M,求证:PC是⊙O的切线.答案:证明:连接OC,∵PA⊥AB,∴∠PA0=90°.(1分)∵PO过AC的中点M,OA=OC,∴PO平分∠AOC.∴∠AOP=∠COP.(3分)∴在△PAO与△PCO中有OA=OC,∠AOP=∠COP,PO=PO.∴△PAO≌△PCO.(6分)∴∠PCO=∠PA0=90°.即PC是⊙O的切线.(7分)37.已知集合A到B的映射f:x→y=2x+1,那么集合A中元素2在B中的象是()A.2B.5C.6D.8答案:∵x=2,∴y=2x+1则y=2×2+1=5,那么集合A中元素2在B中的象是5故选B.38.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1,(n=1,2,…).试证:数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1,或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.答案:证:首先,xn+1-xn=xn(x2n+3)3x2n+1-xn=2xn(1-x2n)3x2n+1,由于x1>0,由数列{xn}的定义可知xn>0,(n=1,2,…)所以,xn+1-xn与1-xn2的符号相同.①假定x1<1,我们用数学归纳法证明1-xn2>0(n∈N)显然,n=1时,1-x12>0设n=k时1-xk2>0,那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2>0,因此,对一切自然数n都有1-xn2>0,从而对一切自然数n都有xn<xn+1②若x1>1,当n=1时,1-x12<0;设n=k时1-xk2<0,那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2<0,因此,对一切自然数n都有1-xn2<0,从而对一切自然数n都有xn>xn+139.设U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},则M∩N=______.答案:∵M={直角三角形},N={等腰三角形},∴M∩N={直角三角形且等腰三角形}={等腰直角三角形}故为{等腰直角三角形}40.命题“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定是______.答案:根据特称命题的否定为全称命题可知,“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定为“任意三角形的三个内角不成等差数列”,故为:任意三角形的三个内角不成等差数列41.(本小题满分12分)
如图,已知椭圆C1的中心在圆点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C1的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C1交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.
(I)设e=,求|BC|与|AD|的比值;
(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO//AN,并说明理由.答案:(II)t=0时的l不符合题意,t≠0时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即,解得。因为,又,所以,解得。所以当时,不存在直线l,使得BO//AN;当时,存在直线l使得BO//AN。解析:略42.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=()
A.
B.
C.
D.4答案:C43.直线(t为参数)的倾斜角是()
A.20°
B.70°
C.45°
D.135°答案:D44.函数y=a|x|(a>1)的图象是()
A.
B.
C.
D.
答案:B45.执行下列程序后,输出的i的值是()
A.5
B.6
C.10
D.11答案:D46.四名志愿者和两名运动员排成一排照相,要求两名运动员必须站在一起,则不同的排列方法为()A.A44A22B.A55A22C.A55D.A66A22答案:根据题意,要求两名运动员站在一起,所以使用捆绑法,两名运动员站在一起,有A22种情况,将其当做一个元素,与其他四名志愿者全排列,有A55种情况,结合分步计数原理,其不同的排列方法为A55A22种,故选B.47.已知O是正方形ABCD对角线的交点,在以O,A,B,C,D这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,
(1)与BC相等的向量有
______;
(2)与OB长度相等的向量有
______;
(3)与DA共线的向量有
______.答案:如图:(1)与BC相等的向量有AD.(2)与OB长度相等的向量有OA、OC、OD、AO、CO、DO.(3)与DA共线的向量有
CB、BC.48.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为______米.答案:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,-2)代入x2=my,得m=-2∴x2=-2y,代入B(x0,-3)得x0=6,故水面宽为26m.故为:26.49.关于生活中的圆锥曲线,有下面几个结论:
(1)标准田径运动场的内道是一个椭圆;
(2)接受卫星转播的电视信号的天线设备,其轴截面与天线设备的交线是抛物线;
(3)大型热电厂的冷却通风塔,其轴截面与通风塔的交线是双曲线;
(4)地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆.
其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都填上).答案:(1)标准田径运动场的内道是有直道和弯道部分是半圆组成,不是椭圆.故错误(2)接受卫星转播的电视信号的天线设备,其轴截面与天线设备的交线是抛物线.故正确.(3)大型热电厂的冷却通风塔,其轴截面与通风塔的交线是双曲线.故正确.(4)地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆.故正确.故为:(2)(3)(4)50.已知OA=a,OB=b,,且|a|=|b|=2,∠AOB=60°,则|a+b|=______;a+b与b的夹角为______.答案:∵|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a?b
由|a|=|b|=2,∠AOB=60°,得:a2=b2=
4,a?b
=2∴|a+b|2=12,∴|a+b|=23令a+b与b的夹角为θ则0≤θ≤π,且cosθ=a?(a+b)|a|?|a+b|=32∴θ=π6故为:23,π6第2卷一.综合题(共50题)1.有五条线段长度分别为1、3、5、7、9,从这5条线段中任取3条,则所取3条线段能构成一个三角形的概率为()A.110B.310C.12D.710答案:由题意知本题是一个古典概型,∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果,而满足条件的事件是3、5、7;3、7、9;5、7、9,三种结果,∴由古典概型公式得到P=3C35=310,故选B.2.直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量,则a=______.答案:∵直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量∴两条直线互相平行,可得a2=2a≠3-1,解之得a=±2故为:±23.对任意实数x,y,定义运算x*y为:x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c为常数,等式右端运算为通常的实数加法和乘法,现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意的实数都有x*m=x,则d的值为(
)
A.4
B.1
C.0
D.不确定答案:A4.(文)对于任意的平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义新运算⊕:a⊕b=(x1+x2,y1y2).若a,b,c为平面向量,k∈R,则下列运算性质一定成立的所有序号是______.
①a⊕b=b⊕a;
②(ka)⊕b=a⊕(kb);
③a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c;
④a⊕(b+c)=a⊕b+a⊕c.答案:①a⊕b=(x1+x2,y1y2)=(x2+x1,y2y1)=b⊕a,故正确;②∵(ka)⊕b=(kx1+x2,ky1y2),a⊕(kb)=(x1+kx2,y1ky2),∴(ka)⊕b≠a⊕(kb),故不正确;③设c=(x3,y3),∵a⊕(b⊕c)=a⊕(x2+x3,y2y3)=(x1+x2+x3,y1y2y3),(a⊕b)⊕c=(x1+x2,y1y2)⊕c=(x1+x2+x3,y1y2y3),∴a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c,故正确;④设c=(x3,y3),∵a⊕(b⊕c)=a⊕(x2+x3,y2y3)=(x1+x2+x3,y1y2y3),a⊕b+a⊕c=(x1+x2,y1y2)+(x1+x3,y1y3)=(2x1+x2+x3,y1(y2+y3)),∴a⊕(b⊕c)≠a⊕b+a⊕c,故不正确.综上可知:只有①③正确.故为①③.5.下列哪组中的两个函数是同一函数()A.y=(x)2与y=xB.y=(3x)3与y=xC.y=x2与y=(x)2D.y=3x3与y=x2x答案:A、y=x与y=x2的定义域不同,故不是同一函数.B、y=(3x)3=x与y=x的对应关系相同,定义域为R,故是同一函数.C、fy=x2与y=(x)2的定义域不同,故不是同一函数.D、y=3x3与y=x2x
具的定义域不同,故不是同一函数.故选B.6.抛物线y=-12x2上一点N到其焦点F的距离是3,则点N到直线y=1的距离等于______.答案:∵抛物线y=-12x2化成标准方程为x2=-2y∴抛物线的焦点为F(0,-12),准线方程为y=12∵点N在抛物线上,到焦点F的距离是3,∴点N到准线y=12的距离也是3因此,点N到直线y=1的距离等于3+(1-12)=72故为:727.在极坐标中,由三条曲线θ=0,θ=,ρcosθ+ρsinθ=1围成的图形的面积是()
A.
B.
C.
D.答案:A8.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上,半圆与BC、AB相切于点C、M,与AC交于N,见图中非阴影部分),则该半圆的半径长为______.答案:连接OM,则OM⊥AB.设⊙O的半径OM=OC=r.在Rt△OAM中,OA=OMsin30°=2r.在Rt△ABC中,AC=BCtan30°=3,∴3=AC=OA+OC=3r,∴r=33.故为33.9.选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l:x=m+tcosαy=tsinα(t为参数)经过椭圆C:x=2cosφy=3sinφ(φ为参数)的左焦点F.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,求|FA|•|FB|的最大值和最小值.答案:(Ⅰ)将椭圆C的参数方程化为普通方程,得x24+y23=1.a=2,b=3,c=1,则点F坐标为(-1,0).l是经过点(m,0)的直线,故m=-1.…(4分)(Ⅱ)将l的参数方程代入椭圆C的普通方程,并整理,得(3cos2α+4sin2α)t2-6tcosα-9=0.设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则|FA|•|FB|=|t1t2|=93cos2α+4sin2α=93+sin2α.当sinα=0时,|FA|•|FB|取最大值3;当sinα=±1时,|FA|•|FB|取最小值94.…(10分)10.如图是《集合》一章的知识结构图,如果要加入“交集”,则应该放在()
A.“集合”的下位
B.“概念”的下位
C.“表示”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:D11.如图为一个求50个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为()
A.i>50
B.i<50
C.i>=50
D.i<=50
答案:A12.例3.设a>0,b>0,解关于x的不等式:|ax-2|≥bx.答案:原不等式|ax-2|≥bx可化为ax-2≥bx或ax-2≤-bx,(1)对于不等式ax-2≤-bx,即(a+b)x≤2
因为a>0,b>0即:x≤2a+b.(2)对于不等式ax-2≥bx,即(a-b)x≥2①当a>b>0时,由①得x≥2a-b,∴此时,原不等式解为:x≥2a-b或x≤2a+b;当a=b>0时,由①得x∈ϕ,∴此时,原不等式解为:x≤2a+b;当0<a<b时,由①得x≤2a-b,∴此时,原不等式解为:x≤2a+b.综上可得,当a>b>0时,原不等式解集为(-∞,2a+b]∪[2a-b,+∞),当0<a≤b时,原不等式解集为(-∞,2a+b].13.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为(
)
A.-1<k<1
B.k>1
C.k<-1
D.k>1或k<-1答案:A14.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:C15.已知复数z的模为1,且复数z的实部为13,则复数z的虚部为______.答案:设复数的虚部是b,∵复数z的模为1,且复数z的实部为13,∴(13)2+b2=1,∴b2=89,∴b=±223故为:±22316.已知集合A={x|x>1},则(CRA)∩N的子集有()A.1个B.2个C.4个D.8个答案:∵集合A={x|x>1},∴CRA={x|x≤1},∴(CRA)∩N={0,1},∴(CRA)∩N的子集有22=4个,故选C.17.若a=(1,2,-2),b=(1,0,2),则(a-b)•(a+2b)=______.答案:∵a=(1,2,-2),b=(1,0,2),∴a-b=(0,2,-4),a+2b=(3,2,2).∴(a-b)•(a+2b)=0×3+2×2-4×2=-4.故为-4.18.已知向量=(1,1,-2),=(2,1,),若≥0,则实数x的取值范围为()
A.(0,)
B.(0,]
C.(-∞,0)∪[,+∞)
D.(-∞,0]∪[,+∞)答案:C19.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为A.0.0081B.0.0729C.0.0525D.0.0092答案:A解析:本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果:打开或未打开,相应的概率为0.1或1-0.1="0.9."根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=(0.1)3(0.9)2=0.0081.20.在输入语句中,若同时输入多个变量,则变量之间的分隔符号是()
A.逗号
B.空格
C.分号
D.顿号答案:A21.=(2,1),=(3,4),则向量在向量方向上的投影为()
A.
B.
C.2
D.10答案:C22.命题“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定是______.答案:根据特称命题的否定为全称命题可知,“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定为“任意三角形的三个内角不成等差数列”,故为:任意三角形的三个内角不成等差数列23.命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是()A.若a+b不是偶数,则a,b都不是奇数B.若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数C.若a+b是偶数,则a,b都是奇数D.若a+b是偶数,则a,b不都是奇数答案:“a,b都是奇数”的否定是“a,b不都是奇数”,“a+b是偶数”的否定是“a+b不是偶数”,故命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”.故选B.24.从装有5只红球和5只白球的袋中任意取出3只球,有如下几对事件:
①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”;
②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”;
③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”;
④“取出3只红球”与“取出3只白球”.
其中是对立事件的有______(只填序号).答案:对于①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”,由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.对于②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”,由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.对于③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”,它们不可能同时发生,而且它们的并事件是必然事件,故它们是对立事件.④“取出3只红球”与“取出3只白球”.由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.故为③.25.曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),则a=______.答案:由题意,∵曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),∴22-a-2+2=0∴a=4故为426.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是______.答案:当a>0时,方程对应的函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一解,必有f(0)•f(1)<0,即-1×(2a-2)<0,解得a>1当a≤0时函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰无解.故为:a>127.(几何证明选讲选做题)
如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,直线PO交圆O于B,C两点,AC=2,∠PAB=120°,则切线PA的长度等于______.答案:∵∠PAB=120°,∴优弧ACB=240°,∴劣弧AB=120°,∴∠ACB=60°,又∵OA=OC故∠AOP=60°,OA=AC=2,∠又∵PA是圆O的切线,切点为A,∴∠OAP=90°∴PA=3OA=23故为:2328.已知图所示的矩形,其长为12,宽为5.在矩形内随同地措施1000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为550颗.则可以估计出阴影部分的面积约为______.答案:∵矩形的长为12,宽为5,则S矩形=60∴S阴S矩=S阴60=5501000,∴S阴=33,故:33.29.如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸边的某处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路l,以便建立水陆交通网.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线C的方程;
(2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形,在图中标出此时码头Q的位置),并求公路总长的最小值(精确到0.001千米)答案:(1)过点O作准线的垂线,垂足为A,以OA所在直线为x轴,OA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系…(2分)由题意得,p2=0.4…(4分)所以,抛物线C:y2=1.6x…(6分)(2)设抛物线C的焦点为F由题意得,P(5,53)…(8分)根据抛物线的定义知,公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)当Q为线段PF与抛物线C的交点时,公路总长最小,最小值为9.806千米…(16分)30.设S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,则()A.S(2)=12+13B.S(2)=12+14C.S(2)=1+12+13+14D.S(2)=12+13+14答案:∵S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,当n=2时,n2=4故S(2)=12+13+14故选D31.已知一个几何体是由上下两部分构成的一个组合体,其三视图如图所示,则这个组合体的上下两部分分别是(
)答案:A32.求证:答案:证明见解析解析:证:∴33.若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tanaπ6=______.答案:将(a,9)代入到y=3x中,得3a=9,解得a=2.∴tanaπ6=tanπ3=3故为:334.已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A,B两点,过点A,点B分别作AM,BN垂直于抛物线的准线,分别交准线于M,N两点,那么∠MFN必是()
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.以上皆有可能答案:B35.若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是______.答案:椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y联立可得2y=4-4(y-a)2,∴2y2-(4a-1)y+2a2-2=0.∵椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,∴方程2y2-(4a-1)y+2a2-2=0至少有一个非负根.∴△=(4a-1)2-16(a2-1)=-8a+17≥0,∴a≤178.又∵两根皆负时,由韦达定理可得2a2>2,4a-1<0,∴-1<a<1且a<14,即a<-1.∴方程2y2-(4a-1)y+2a2-2=0至少有一个非负根时,-1≤a≤178故为:-1≤a≤17836.已知:正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点.
(1)求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离.答案:(1)证明略(2)解析:(1)
建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,,0),F(,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4).=(-,,0),=(2,2,0),=(0,0,4),∴·=0,·=0.∴EF⊥DB,EF⊥DD1,DD1∩BD=D,∴EF⊥平面BDD1B1.又EF平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)
由(1)知=(2,2,0),=(-,,0),=(0,-,-4).设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)则n⊥,n⊥即n·=(x,y,z)·(-,,0)=-x+y=0,n·=(x,y,z)·(0,-,-4)=-y-4z=0,令x=1,则y=1,z=-,∴n="(1,1,-")∴D1到平面B1EF的距离d===.37.点P(1,2,2)到原点的距离是()
A.9
B.3
C.1
D.5答案:B38.已知,求证:答案:证明略解析:∵
∴①
又∵②
③由①②③得
∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.39.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:
甲:86、72、92、78、77;
乙:82、91、78、95、88
(1)这种抽样方法是哪一种?
(2)将这两组数据用茎叶图表示;
(3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较稳定.答案:(1)因为间隔时间相同,故是系统抽样.(2)茎叶图如下:.(3)因为.x甲=15(86+72+92+78+77)=81,.x乙=15(82+92+78+95+88)=87,所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4,s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2,而s甲2>s乙2,所以乙车间产品较稳定.40.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下:0001,0002,0003,…,1000,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的办法分成50个部分.如果第一部分编号为0001,0002,…,0020,从中随机抽取一个号码为0015,则第40个号码为______.答案:∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=Nn段,再间隔k取一个.又∵现在总体的个体数为1000,样本容量为50,∴k=20∴若第一个号码为0015,则第40个号码为0015+20×39=0795故为079541.如图,一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则截面的可能图形为(
)
A.①③
B.②④
C.①②③
D.②③④答案:C42.将两粒均匀的骰子各抛掷一次,观察向上的点数,计算:
(1)共有多少种不同的结果?并试着列举出来.
(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率;
(3)两粒骰子点数之和为4或5的概率.答案:(1)每一粒均匀的骰子抛掷一次,都有6种结果,根据分步计数原理,所有可能结果共有6×6=36种.
…(4分)(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的有以下12种:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(6,6),共有12个结果,因此,两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率是1236=13.
…(8分)(3)两粒骰子点数之和为4或5的有以下7种:(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),因此,两粒骰子点数之和为4或5的概率为736.
…(12分)43.已知在一场比赛中,甲运动员赢乙、丙的概率分别为0.8,0.7,比赛没有平局.若甲分别与乙、丙各进行一场比赛,则甲取得一胜一负的概率是______.答案:根据题意,甲取得一胜一负包含两种情况,甲胜乙负丙,概率为:0.8×0.3=0.24;甲胜丙负乙,概率为:0.2×0.7=0.14;∴甲取得一胜一负的概率为0.24+0.14=0.38故为0.3844.设a1,a2,…,an为正数,求证:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an.答案:证明:不妨设a1>a2>…>an>0,则a12>a22>…>an2,1a1<1a2<…1an由排序原理:乱序和≥反序和,可得:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a12a1+a22a2+…+an2an=a1+a2+…+an.45.已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧,F为焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线的AOB一段上求一点P,使S△ABP最大,并求面积最大值.答案:不妨设点A在第一象限,B点在第四象限.如图.抛物线的焦点F(1,0),点A在第一象限,设A(x1,y1),y1>0,由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分);同理B(4,-4),…(4分)由A(1,2),B(4,-4)得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…(6分)直线AB的方程为y-2-4-2=x-14-1,化简得2x+y-4=0.…(8分)再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.则点P到直线AB的距离d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0
24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5
…(9分)所以当y0=-1时,d取最大值9510,…(10分)所以△PAB的面积最大值为S=12×35×9510=274
…(11分)此时P点坐标为(14,-1).…(12分).46.若集合A={1,2,3},则集合A的真子集共有()A.3个B.5个C.7个D.8个答案:由集合A={1,2,3},所以集合A的真子集有?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个.故选C.47.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根,则a的取值范围为______.答案:令f(x)=x2+ax+a2-1,∴二次函数开口向上,若方程有一正一负根,则只需f(0)<0,即a2-1<0,∴-1<a<1.故为:-1<a<1.48.平面向量与的夹角为60°,=(2,0),||=1,则|+2|()
A.
B.2
C.4
D.12答案:B49.下列说法中正确的是()
A.若∥,则与向相同
B.若||<||,则<
C.起点不同,但方向相同且模相等的两个向量相等
D.所有的单位向量都相等答案:C50.参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)的普通方程为______.答案:把参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)利用同角三角函数的基本关系消去参数化为普通方程为y2=1+x,故为y2=1+x.第3卷一.综合题(共50题)1.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为()
A.0.9
B.0.5
C.0.6
D.0.8答案:D2.如图,在⊙O中,AB是弦,AC是⊙O的切线,A是切点,过
B作BD⊥AC于D,BD交⊙O于E点,若AE平分∠BAD,则∠BAD=()
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
答案:D3.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为34c,则双曲线的离心率为______.答案:∵直线l过(a,0),(0,b)两点,∴直线l的方程为:xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,∵原点到直线l的距离为34c,∴|ab|a2+b2=3c4,又c2=a2+b2,∴3e4-16e2+16=0,∴e2=4,或e2=43.∵a>b>0,∴离心率为e=2或e=233;故为2或233.4.若2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程是______.答案:∵2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,∴点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线2x+3y=4上,又因为过两点确定一条直线,故所求直线方程为2x+3y=4故为:2x+3y=45.已知圆C的极坐标方程是ρ=2sinθ,那么该圆的直角坐标方程为
______,半径长是
______.答案:把极坐标方程是ρ=2sinθ的两边同时乘以ρ得:ρ2=2ρsinθ,∴x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,表示以(0,1)为圆心,半径等于1的圆,故为:x2+(y-1)2=1;1.6.用随机数表法从100名学生(男生35人)中选20人作样本,男生甲被抽到的可能性为()A.15B.2035C.35100D.713答案:由题意知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是用随机数表法从100名学生选一个,共有100种结果,满足条件的事件是抽取20个,∴根据等可能事件的概率公式得到P=20100=15,故选A.7.△ABC中,A(1,2),B(3,1),重心G(3,2),则C点坐标为______.答案:设点C(x,y)由重心坐标公式知3×3=1+3+x,6=2+1+y解得x=5,y=3故点C的坐标为(5,3)故为(5,3)8.已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧,F为焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线的AOB一段上求一点P,使S△ABP最大,并求面积最大值.答案:不妨设点A在第一象限,B点在第四象限.如图.抛物线的焦点F(1,0),点A在第一象限,设A(x1,y1),y1>0,由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分);同理B(4,-4),…(4分)由A(1,2),B(4,-4)得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…(6分)直线AB的方程为y-2-4-2=x-14-1,化简得2x+y-4=0.…(8分)再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.则点P到直线AB的距离d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0
24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5
…(9分)所以当y0=-1时,d取最大值9510,…(10分)所以△PAB的面积最大值为S=12×35×9510=274
…(11分)此时P点坐标为(14,-1).…(12分).9.一只袋中装有2个白球、3个红球,这些球除颜色外都相同.
(Ⅰ)从袋中任意摸出1个球,求摸到的球是白球的概率;
(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,求摸出的两个球都是白球的概率;
(Ⅲ)从袋中任意摸出2个球,求摸出的两个球颜色不同的概率.答案:(Ⅰ)从5个球中摸出1个球,共有5种结果,其中是白球的有2种,所以从袋中任意摸出1个球,摸到白球的概率为25.
…(4分)(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,共有C25=10种情况,其中全是白球的有1种,故从袋中任意摸出2个球,摸出的两个球都是白球的概率为110.…(9分)(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,摸出的两个球颜色不同的情况共有2×3=6种,故从袋中任意摸出2个球,摸出的2个球颜色不同的概率为610=35.
…(14分)10.已知三角形ABC的一个顶点A(2,3),AB边上的高所在的直线方程为x-2y+3=0,角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0,求此三角形三边所在的直线方程.答案:由题意可得AB边的斜率为-2,由点斜式求得AB边所在的直线方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.由2x+y-7=0x+y-4=0
求得x=3y=1,故点B的坐标为(3,1).设点A关于角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0的对称点为M(a,b),则M在BC边所在的直线上.则由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0
求得a=1b=2,故点M(1,2),由两点式求得BC的方程为y-12-1=x-31-3,即x+2y-5=0.再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得点C的坐标为(2,52),由此可得得AC的方程为x=2.11.如果执行程序框图,那么输出的S=()A.2450B.2500C.2550D.2652答案:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出:S=2×1+2×2+…+2×50的值.∵S=2×1+2×2+…+2×50=2×1+502×50=2550故选C12.若4名学生和3名教师站在一排照相,则其中恰好有2名教师相邻的站法有______种.(用数字作答)答案:4名学生和3名教师站在一排照相,则其中恰好有2名教师相邻,所以第一步应先取两个老师且绑定有C23×A22=6种方法,第二步将四名学生全排列,共有4!=24种方法,第三步将绑定的两位老师与剩下的一位老师看作两个元素,插入四个学生隔开的五个空中,共有A25=20种方法故总的站法有6×24×20=2880种故为288013.一位运动员投掷铅球的成绩是14m,当铅球运行的水平距离是6m时,达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线,则铅球出手时距地面的高度是()
A.2.25m
B.2.15m
C.1.85m
D.1.75m
答案:D14.已知A=(2,-4,-1),B=(-1,5,1),C=(3,-4,1),若=,=,则对应的点为()
A.(5,-9,2)
B.(-5,9,-2)
C.(5,9,-2)
D.(5,-9,-2)答案:B15.平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为为v2=(-2,-4,10),则平面α与平面β()A.平行B.垂直C.相交D.不确定答案:∵平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为v2=(-2,-4,10),∵v1•v2=1×(-2)+2×(-4)+1×10=0∴v1⊥v2,∴平面α⊥平面β故选B16.已知一次函数y=(2k-4)x-1在R上是减函数,则k的取值范围是()A.k>2B.k≥2C.k<2D.k≤2答案:因为函数y=(2k-4)x-1为R上是减函数⇔该一次函数的一次项的系数为负⇔2k-4<0⇒k<2.故为:C17.直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内,则k的取值范围是
______.答案:联立两直线方程得kx-y=k-1①ky=x+2k②,由②得y=x+2kk③,把③代入①得:kx-x+2kk=k-1,当k+1≠0即k≠-1时,解得x=kk-1,把x=kk-1代入③得到y=2k-1k-1,所以交点坐标为(kk-1,2k-1k-1)因为直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内,得kk-1<02k-1k-1>
0解得0<k<1,k>1或k<12,所以不等式组的解集为0<k<12则k的取值范围是0<k<12故为:0<k<1218.如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于D,CD=4,AB=3BC,则AC的长是______.答案:∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得:CD2=CB×CA,∵AB=3BC,设BC=x,由CA=4x,又CD=4∴16=x×4x,x=2∴则AC的长是8.故填:8.19.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是4和3及x,那么x的值的个数为()
A.1个
B.2个
C.2个以上但有限
D.无数个答案:B20.已知直线的参数方程为x=1+ty=3+2t.(t为参数),圆的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ.
(I)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(II)求直线被圆截得的弦长.答案:(I)直线的普通方程为:2x-y+1=0;圆的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-2)2=5(4分)(II)圆心到直线的距离d=55,直线被圆截得的弦长L=2r2-d2=4305(10分)21.若事件与相互独立,且,则的值等于A.B.C.D.答案:B解析:事件“”表示的意义是事件与同时发生,因为二者相互独立,根据相互独立事件同时发生的概率公式得:.22.已知某一随机变量ξ的分布列如下,且Eξ=6.3,则a的值为()
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C23.2005年10月,我国载人航天飞船“神六”飞行获得圆满成功.已知“神六”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆,飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200公里、250公里.设地球半径为R公里,则此时飞船轨道的离心率为______.(结果用R的式子表示)答案:(I)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1由题设条件得:a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=R+200,a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=R+250,解得a=225+R,c=25则此时飞船轨道的离心率为25225+R故为:25225+R.24.点P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点,则x+2y的最大值为______.答案:把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程,得x26+y24=1,∴这个椭圆的参数方程为:x=6cosθy=2sinθ,(θ为参数)∴x+2y=6cosθ+4sinθ,∴(x+2y)max=6+16=22.故为:22.25.命题“所以奇数的立方是奇数”的否定是()
A.所有奇数的立方不是奇数
B.不存在一个奇数,它的立方不是奇数
C.存在一个奇数,它的立方不是奇数
D.不存在一个奇数,它的立方是奇数答案:C26.参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为
______.答案:∵x=cosαy=1+sinα(α为参数)∴x2+(y-1)2=cos2α+sin2α=1.即:参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为:x2+(y-1)2=1.故为:x2+(y-1)2=1.27.如图,圆与圆内切于点,其半径分别为与,圆的弦交圆于点(不在上),求证:为定值。
答案:见解析解析:考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质,容易题。证明:由弦切角定理可得28.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为______.答案:由题意可得点OA=OB=2,AC=5设双曲线的标准方程是x2a2-y2b2=1.则2a=AC-BC=5-3=2,所以a=1.所以b2=c2-a2=4-1=3.所以双曲线的标准方程是x2-y23=1.故为:x2-y23=129.从甲乙丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为()A.12B.13C.23D.1答案:从3个人中选出2个人当代表,则所有的选法共有3种,即:甲乙、甲丙、乙丙,其中含有甲的选法有两种,故甲被选中的概率是23,故选C.30.右图程序运行后输出的结果为()
A.3456
B.4567
C.5678
D.6789
答案:A31.以下命题:
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量;
②共线的两个向量互相平行;
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量;
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是______.答案:解①根据共面与共线向量的定义可知①错误.②根据共线向量的定义可知②正确.③根据共面向量的定义可知③错误.④根据共面向量的定义可知④正确.故为:②④.32.已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.答案:证明:一方面,∵ax=b,且a≠0,方程两边同除以a得:x=ba,∴方程ax=b有一个根x=ba,另一方面,假设方程ax=b还有一个根x0且x0≠ba,则由此不等式两边同乘以a得ax0≠b,这与假设矛盾,故方程ax=b只有一个根.综上所述,方程ax=b有且只有一个根.33.方程|x|-1=2y-y2表示的曲线为()A.两个半圆B.一个圆C.半个圆D.两个圆答案:两边平方整理得:(|x|-1)2=2y-y2,化简得(|x|-1)2+(y-1)2=1,由|x|-1≥0得x≥1或x≤-1,当x≥1时,方程为(x-1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆;当x≤1时,方程为(x+1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(-1,1)且半径为1的圆的右半圆综上所述,得方程|x|-1=2y-y2表示的曲线为为两个半圆故选:A34.已知2a=3b=6c则有()
A.∈(2,3)
B.∈(3,4)
C.∈(4,5)
D.∈(5,6)答案:C35.(参数方程与极坐标)已知F是曲线x=2cosθy=1+cos2θ(θ∈R)的焦点,M(12,0),则|MF|的值是
______.答案:y=1+cos2θ=2cos2θ=2•(x2)2化简得x2=2y∴F(0,12)而M(12,0),∴|MF|=22故为:2236.已知=(2,-1,3),=(-1,4,-2),=(7,5,λ),若、、三向量共面,则实数λ等于()
A.
B.
C.
D
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