版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年青岛航空科技职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22
(℃)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):
①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;
②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;
③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8;
则肯定进入夏季的地区有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案:①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22,根据数据得出:甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为:22,22,24,25,26.其连续5天的日平均温度均不低于22.
②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24.根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22.③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22.则肯定进入夏季的地区有甲、乙、丙三地.故选D.2.如图所示,O点在△ABC内部,D、E分别是AC,BC边的中点,且有OA+2OB+3OC=O,则△AEC的面积与△AOC的面积的比为()
A.2
B.
C.3
D.
答案:B3.已知x∈R,a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.答案:证明:假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3而a+b+c=2x2-2x+12+3=2(x-12)2+3≥3,两者矛盾;故a,b,c至少有一个不小于1.4.若P(2,-1)为曲线x=1+5cosθy=5sinθ(0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线的普通方程为______.答案:∵曲线x=1+5cosθy=5sinθ(0≤θ<2π),∴(x-1)2+y2=25,∵P(2,-1)为曲线x=1+5cosθy=5sinθ(0≤θ<2π)的弦的中点,设过点P(2,-1)的弦与(x-1)2+y2=25交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4y1+y2=-2,把A(x1,y1),B(x2,y2)代入(x-1)2+y2=25,得(x1-1)2+y
12=25(x2-1)2+y22=25,∴x12-2x1+1+y12=25,①x22-2x2+1+y22=25,②,①-②,得4(x1-x2)-2(x1-x2)-2(y1-y2)=0,∴k=y1-y2x1-x2=1,∴该弦所在直线的普通方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.故为:x-y-3=0.5.已知圆C:x2+y2-4x-5=0.
(1)过点(5,1)作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C的弦AB的中点P(3,1),求AB所在直线方程.答案:由C:x2+y2-4x-5=0得圆的标准方程为(x-2)2+y2=9-----------(2分)(1)显然x=5为圆的切线.------------------------(4分)另一方面,设过(5,1)的圆的切线方程为y-1=k(x-5),即kx-y+1-5k=0;所以d=|2k-5k+1|k2+1=3,解得k=-43于是切线方程为4x+3y-23=0和x=5.------------------------(7分)(2)设所求直线与圆交于A,B两点,其坐标分别为(x1,y1)B(x2,y2)则有(x1-2)2+y21=9(x2-2)2+y22=9两式作差得(x1+x2-4)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0--------------(10分)因为圆C的弦AB的中点P(3,1),所以(x2+x1)=6,(y2+y1)=2
所以y2-y1x2-x1=-1,故所求直线方程为
x+y-4=0-----------------(14分)6.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项,则判断框内的条件是()
A.n≤8?
B.n≤9?
C.n≤10?
D.n≤11?
答案:B7.如图,I表示南北方向的公路,A地在公路的正东2km处,B地在A地北偏东60°方向2km处,河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地距离相等,现要在河岸PQ上选一处M建一座码头,向A,B两地转运货物,经测算从M到A,B修建公路的费用均为a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是(单位万元)()
A.(2+)a
B.5a
C.2(+1)a
D.6a
答案:B8.已知:空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD.答案:取BC的中点为E,∵AB=AC,∴AE⊥BC.∵DB=DC,∴DE⊥BC.这样,BC就和平面ADE内的两条相交直线AE、DE垂直,∴BC⊥面ADE,∴BC⊥AD.9.当a>0时,设命题P:函数f(x)=x+ax在区间(1,2)上单调递增;命题Q:不等式x2+ax+1>0对任意x∈R都成立.若“P且Q”是真命题,则实数a的取值范围是()A.0<a≤1B.1≤a<2C.0≤a≤2D.0<a<1或a≥2答案:∵函数f(x)=x+ax在区间(1,2)上单调递增;∴f′(x)≥0在区间(1,2)上恒成立,∴1-ax2≥0在区间(1,2)上恒成立,即a≤x2在区间(1,2)上恒成立,∴a≤1.且a>0…①又不等式x2+ax+1>0对任意x∈R都成立,∴△=a2-4<0,∴-2<a<2…②若“P且Q”是真命题,则P且Q都是真命题,故由①②的交集得:0<a≤1,则实数a的取值范围是0<a≤1.故选A.10.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数.则函数g(x)=ax+b的大致图象是(
)
答案:D解析:试题分析:解:由函数f(x)=loga(x+b)的图象为减函数可知0<a<1,f(x)=loga(x+b)的图象由f(x)=logax向左平移可知0<b<1,故函数g(x)=ax+b的大致图象是D故选D.11.已知矩阵A=12-14,向量a=74.
(1)求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2;
(2)求A5α的值.答案:(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)=.λ-1-21λ-4.=λ2-5λ+6,令f(λ)=0,得λ1=2,λ2=3,当λ1=2时,得α1=21,当λ2=3时,得α2=11.(7分)(2)由α=mα1+nα2得2m+n=7m+n=4,得m=3,n=1.∴A5α=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λ51α1)+λ52α2=3×2521+3511=435339.(15分)12.如图是一个实物图形,则它的左视图大致为()A.
B.
C.
D.
答案:∵左视图是指由物体左边向右做正投影得到的视图,并且在左视图中看到的线用实线,看不到的线用虚线,∴该几何体的左视图应当是包含一条从左上到右下的对角线的矩形,并且对角线在左视图中为实线,故选D.13.已知f(x)=2x2+1,则函数f(cosx)的单调减区间为______.答案:解;∵f(x)=2x2+1,∴f(cosx)=2cos2x+1=1+cos2x+1=cos2x+2,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z.解得kπ≤x≤kπ+π2,k∈Z.∴函数f(cosx)的单调减区间为[kπ,π2+kπ],k∈Z.故为:[kπ,π2+kπ],k∈Z.14.过点(0,2)且与圆x2+y2=4只有一个交点的直线方程是______.答案:∵圆x2+y2=4的圆心是O(0,0),半径r=2,点(0,2)到圆心O(0,0)的距离是d=0+4=2=r,∴点(0,2)在圆x2+y2=4上,∴过点(0,2)且与圆x2+y2=4只有一个交点的直线方程是0x+2y=4,即y=2.故为:y=2.15.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是()A.95B.45C.14-65D.14+65答案:由方程x2+y2+4x-2y-4=0得到圆心为(-2,1),半径为3,设圆上一点为(x,y)圆心到原点的距离是(-2)2+1
2=5圆上的点到原点的最大距离是5+3故x2+y2的最大值是为(5+3)2=14+65故选D16.已知边长为1的正方形ABCD,则|AB+BC+CD|=______.答案:利用向量加法的几何性质,得AB+BC=AC∴AB+BC+CD=AD因为正方形的边长等于1所以|AB+BC+CD|=|AD|
=1故为:117.某校有老师300人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为80,则n=()
A.171
B.184
C.200
D.392答案:C18.已知点A(1,2),直线l1:x=1+3ty=2-4t(t为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B,则A、B两点之间的距离|AB|=______.答案:将x=1+3t,y=2-4t代入2x-4y=5,得t=12,所以两直线的交点坐标为(52,0)所以|AB|=(1-52)2+(2-0)2
=52.故为:5219.在同一个坐标系中画出函数y=ax,y=sinax的部分图象,其中a>0且a≠1,则下列所给图象中可能正确的是()
A.
B.
C.
D.
答案:D20.已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),则向量2a-3b+4c的坐标为______.答案:∵a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),∴向量2a-3b+4c=2(3,5,1)-3(2,2,3)+4(4,-1,-3)=(16,0,-19)故为:(16,0,-19).21.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是()
A.(3,-1)
B.(-1,3)
C.(-3,-1)
D.(3,1)答案:A22.如图,在平行四边形OABC中,点C(1,3).
(1)求OC所在直线的斜率;
(2)过点C做CD⊥AB于点D,求CD所在直线的方程.答案:(1)∵点O(0,0),点C(1,3),∴OC所在直线的斜率为kOC=3-01-0=3.(2)在平行四边形OABC中,AB∥OC,∵CD⊥AB,∴CD⊥OC.∴CD所在直线的斜率为kCD=-13.∴CD所在直线方程为y-3=-13(x-1),即x+3y-10=0.23.设随机变量ξ服从正态分布N(u,9),若p(ξ>3)=p(ξ<1),则u=______.答案:∵随机变量ξ服从正态分布N(u,9),p(ξ>3)=p(ξ<1),∴u=3+12=2故为224.在△ABC中,AB=2,AC=1,D为BC的中点,则AD•BC=______.答案:AD•BC=AB+AC2•(AC-AB)=AC2-AB22=1-42=-32,故为:-32.25.不等式﹣2x+1>0的解集是(
).答案:{x|x<}26.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N*)答案:证明:①n=1时,左边=2,右边=2,等式成立;②假设n=k时,结论成立,即:(k+1)+(k+2)+…+(k+k)=k(3k+1)2则n=k+1时,等式左边=(k+2)+(k+3)+…+(k+k+1)+(k+1+k+1)=k(3k+1)2+3k+2=(k+1)(3k+4)2故n=k+1时,等式成立由①②可知:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N*)成立27.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是______.答案:直线3x+4y-3=0即6x+8y-6=0,它直线6x+my+14=0平行,∴m=8,则它们之间的距离是d=|c1-c2|a2+b2=|-6-14|62+82=2,故为:2.28.据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.写出下列解释中正确的序号______.
①上海地区面积的70%至80%将降雨;
②上海地区下雨的时间在16.8小时至19.2%小时之间;
③上海地区在相似的气候条件下有70%至80%的日子是下雨的;
④上海地区在相似的气候条件下有20%至30%的日子是晴,或多云,或阴.答案:据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.表示上海地区在相似的气候条件下下雨的可能性很大,是有70%至80%的日子是下雨的.是但不一定下,也不是的70%至80%的时间与地区.故解释中正确的序号③故为:③29.若下列算法的程序运行的结果为S=132,那么判断框中应填入的关于k的判断条件是
______.答案:本题考查根据程序框图的运算,写出控制条件按照程序框图执行如下:s=1
k=12s=12
k=11s=12×11=132
k=10因为输出132故此时判断条件应为:K≤10或K<11故为:K≤10或K<1130.如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么()A.F=0,G≠0,E≠0B.E=0,F=0,G≠0C.G=0,F=0,E≠0D.G=0,E=0,F≠0答案:圆与x轴相切于原点,则圆心在y轴上,G=0,圆心的纵坐标的绝对值等于半径,F=0,E≠0.故选C.31.α为第一象限角是sinαcosα>0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:若α为第一象限角,则sinα>0,cosα>0,所以sinαcosα>0,成立.若sinαcosα>0,则①sinα>0,cosα>0,此时α为第一象限角.或②sinα<0,cosα<0,此时α为第三象限角.所以α为第一象限角是sinαcosα>0的充分不必要条件.故选A.32.求证:不论λ取什么实数时,直线(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.答案:证明:直线(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0即λ(2x+y-1)+(-x+3y+11)=0,根据λ的任意性可得2x+y-1=0-x+3y+11=0,解得x=2y=-3,∴不论λ取什么实数时,直线(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0都经过一个定点(2,-3).33.已知f(x)=x2+4x+8,则f(3)=______.答案:f(3)=32+4×3+8=29,故为:29.34.输入3个数,输出其中最大的公约数,编程序完成上述功能.答案:INPUT
m,n,kr=m
MOD
nWHILE
r<>0m=nn=rr=m
MOD
nWENDr=k
MOD
nWHILE
r<>0k=nn=rr=k
MOD
nWENDPRINT
nEND35.极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为()
A.极点
B.极轴
C.一条直线
D.两条相交直线答案:D36.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,若PA⊥AB,PO过AC的中点M,求证:PC是⊙O的切线.答案:证明:连接OC,∵PA⊥AB,∴∠PA0=90°.(1分)∵PO过AC的中点M,OA=OC,∴PO平分∠AOC.∴∠AOP=∠COP.(3分)∴在△PAO与△PCO中有OA=OC,∠AOP=∠COP,PO=PO.∴△PAO≌△PCO.(6分)∴∠PCO=∠PA0=90°.即PC是⊙O的切线.(7分)37.已知集合A到B的映射f:x→y=2x+1,那么集合A中元素2在B中的象是()A.2B.5C.6D.8答案:∵x=2,∴y=2x+1则y=2×2+1=5,那么集合A中元素2在B中的象是5故选B.38.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1,(n=1,2,…).试证:数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1,或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.答案:证:首先,xn+1-xn=xn(x2n+3)3x2n+1-xn=2xn(1-x2n)3x2n+1,由于x1>0,由数列{xn}的定义可知xn>0,(n=1,2,…)所以,xn+1-xn与1-xn2的符号相同.①假定x1<1,我们用数学归纳法证明1-xn2>0(n∈N)显然,n=1时,1-x12>0设n=k时1-xk2>0,那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2>0,因此,对一切自然数n都有1-xn2>0,从而对一切自然数n都有xn<xn+1②若x1>1,当n=1时,1-x12<0;设n=k时1-xk2<0,那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2<0,因此,对一切自然数n都有1-xn2<0,从而对一切自然数n都有xn>xn+139.设U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},则M∩N=______.答案:∵M={直角三角形},N={等腰三角形},∴M∩N={直角三角形且等腰三角形}={等腰直角三角形}故为{等腰直角三角形}40.命题“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定是______.答案:根据特称命题的否定为全称命题可知,“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定为“任意三角形的三个内角不成等差数列”,故为:任意三角形的三个内角不成等差数列41.(本小题满分12分)
如图,已知椭圆C1的中心在圆点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C1的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C1交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.
(I)设e=,求|BC|与|AD|的比值;
(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO//AN,并说明理由.答案:(II)t=0时的l不符合题意,t≠0时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即,解得。因为,又,所以,解得。所以当时,不存在直线l,使得BO//AN;当时,存在直线l使得BO//AN。解析:略42.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=()
A.
B.
C.
D.4答案:C43.直线(t为参数)的倾斜角是()
A.20°
B.70°
C.45°
D.135°答案:D44.函数y=a|x|(a>1)的图象是()
A.
B.
C.
D.
答案:B45.执行下列程序后,输出的i的值是()
A.5
B.6
C.10
D.11答案:D46.四名志愿者和两名运动员排成一排照相,要求两名运动员必须站在一起,则不同的排列方法为()A.A44A22B.A55A22C.A55D.A66A22答案:根据题意,要求两名运动员站在一起,所以使用捆绑法,两名运动员站在一起,有A22种情况,将其当做一个元素,与其他四名志愿者全排列,有A55种情况,结合分步计数原理,其不同的排列方法为A55A22种,故选B.47.已知O是正方形ABCD对角线的交点,在以O,A,B,C,D这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,
(1)与BC相等的向量有
______;
(2)与OB长度相等的向量有
______;
(3)与DA共线的向量有
______.答案:如图:(1)与BC相等的向量有AD.(2)与OB长度相等的向量有OA、OC、OD、AO、CO、DO.(3)与DA共线的向量有
CB、BC.48.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为______米.答案:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,-2)代入x2=my,得m=-2∴x2=-2y,代入B(x0,-3)得x0=6,故水面宽为26m.故为:26.49.关于生活中的圆锥曲线,有下面几个结论:
(1)标准田径运动场的内道是一个椭圆;
(2)接受卫星转播的电视信号的天线设备,其轴截面与天线设备的交线是抛物线;
(3)大型热电厂的冷却通风塔,其轴截面与通风塔的交线是双曲线;
(4)地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆.
其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都填上).答案:(1)标准田径运动场的内道是有直道和弯道部分是半圆组成,不是椭圆.故错误(2)接受卫星转播的电视信号的天线设备,其轴截面与天线设备的交线是抛物线.故正确.(3)大型热电厂的冷却通风塔,其轴截面与通风塔的交线是双曲线.故正确.(4)地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆.故正确.故为:(2)(3)(4)50.已知OA=a,OB=b,,且|a|=|b|=2,∠AOB=60°,则|a+b|=______;a+b与b的夹角为______.答案:∵|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a?b
由|a|=|b|=2,∠AOB=60°,得:a2=b2=
4,a?b
=2∴|a+b|2=12,∴|a+b|=23令a+b与b的夹角为θ则0≤θ≤π,且cosθ=a?(a+b)|a|?|a+b|=32∴θ=π6故为:23,π6第2卷一.综合题(共50题)1.有五条线段长度分别为1、3、5、7、9,从这5条线段中任取3条,则所取3条线段能构成一个三角形的概率为()A.110B.310C.12D.710答案:由题意知本题是一个古典概型,∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果,而满足条件的事件是3、5、7;3、7、9;5、7、9,三种结果,∴由古典概型公式得到P=3C35=310,故选B.2.直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量,则a=______.答案:∵直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量∴两条直线互相平行,可得a2=2a≠3-1,解之得a=±2故为:±23.对任意实数x,y,定义运算x*y为:x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c为常数,等式右端运算为通常的实数加法和乘法,现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意的实数都有x*m=x,则d的值为(
)
A.4
B.1
C.0
D.不确定答案:A4.(文)对于任意的平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义新运算⊕:a⊕b=(x1+x2,y1y2).若a,b,c为平面向量,k∈R,则下列运算性质一定成立的所有序号是______.
①a⊕b=b⊕a;
②(ka)⊕b=a⊕(kb);
③a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c;
④a⊕(b+c)=a⊕b+a⊕c.答案:①a⊕b=(x1+x2,y1y2)=(x2+x1,y2y1)=b⊕a,故正确;②∵(ka)⊕b=(kx1+x2,ky1y2),a⊕(kb)=(x1+kx2,y1ky2),∴(ka)⊕b≠a⊕(kb),故不正确;③设c=(x3,y3),∵a⊕(b⊕c)=a⊕(x2+x3,y2y3)=(x1+x2+x3,y1y2y3),(a⊕b)⊕c=(x1+x2,y1y2)⊕c=(x1+x2+x3,y1y2y3),∴a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c,故正确;④设c=(x3,y3),∵a⊕(b⊕c)=a⊕(x2+x3,y2y3)=(x1+x2+x3,y1y2y3),a⊕b+a⊕c=(x1+x2,y1y2)+(x1+x3,y1y3)=(2x1+x2+x3,y1(y2+y3)),∴a⊕(b⊕c)≠a⊕b+a⊕c,故不正确.综上可知:只有①③正确.故为①③.5.下列哪组中的两个函数是同一函数()A.y=(x)2与y=xB.y=(3x)3与y=xC.y=x2与y=(x)2D.y=3x3与y=x2x答案:A、y=x与y=x2的定义域不同,故不是同一函数.B、y=(3x)3=x与y=x的对应关系相同,定义域为R,故是同一函数.C、fy=x2与y=(x)2的定义域不同,故不是同一函数.D、y=3x3与y=x2x
具的定义域不同,故不是同一函数.故选B.6.抛物线y=-12x2上一点N到其焦点F的距离是3,则点N到直线y=1的距离等于______.答案:∵抛物线y=-12x2化成标准方程为x2=-2y∴抛物线的焦点为F(0,-12),准线方程为y=12∵点N在抛物线上,到焦点F的距离是3,∴点N到准线y=12的距离也是3因此,点N到直线y=1的距离等于3+(1-12)=72故为:727.在极坐标中,由三条曲线θ=0,θ=,ρcosθ+ρsinθ=1围成的图形的面积是()
A.
B.
C.
D.答案:A8.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上,半圆与BC、AB相切于点C、M,与AC交于N,见图中非阴影部分),则该半圆的半径长为______.答案:连接OM,则OM⊥AB.设⊙O的半径OM=OC=r.在Rt△OAM中,OA=OMsin30°=2r.在Rt△ABC中,AC=BCtan30°=3,∴3=AC=OA+OC=3r,∴r=33.故为33.9.选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l:x=m+tcosαy=tsinα(t为参数)经过椭圆C:x=2cosφy=3sinφ(φ为参数)的左焦点F.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,求|FA|•|FB|的最大值和最小值.答案:(Ⅰ)将椭圆C的参数方程化为普通方程,得x24+y23=1.a=2,b=3,c=1,则点F坐标为(-1,0).l是经过点(m,0)的直线,故m=-1.…(4分)(Ⅱ)将l的参数方程代入椭圆C的普通方程,并整理,得(3cos2α+4sin2α)t2-6tcosα-9=0.设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则|FA|•|FB|=|t1t2|=93cos2α+4sin2α=93+sin2α.当sinα=0时,|FA|•|FB|取最大值3;当sinα=±1时,|FA|•|FB|取最小值94.…(10分)10.如图是《集合》一章的知识结构图,如果要加入“交集”,则应该放在()
A.“集合”的下位
B.“概念”的下位
C.“表示”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:D11.如图为一个求50个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为()
A.i>50
B.i<50
C.i>=50
D.i<=50
答案:A12.例3.设a>0,b>0,解关于x的不等式:|ax-2|≥bx.答案:原不等式|ax-2|≥bx可化为ax-2≥bx或ax-2≤-bx,(1)对于不等式ax-2≤-bx,即(a+b)x≤2
因为a>0,b>0即:x≤2a+b.(2)对于不等式ax-2≥bx,即(a-b)x≥2①当a>b>0时,由①得x≥2a-b,∴此时,原不等式解为:x≥2a-b或x≤2a+b;当a=b>0时,由①得x∈ϕ,∴此时,原不等式解为:x≤2a+b;当0<a<b时,由①得x≤2a-b,∴此时,原不等式解为:x≤2a+b.综上可得,当a>b>0时,原不等式解集为(-∞,2a+b]∪[2a-b,+∞),当0<a≤b时,原不等式解集为(-∞,2a+b].13.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为(
)
A.-1<k<1
B.k>1
C.k<-1
D.k>1或k<-1答案:A14.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:C15.已知复数z的模为1,且复数z的实部为13,则复数z的虚部为______.答案:设复数的虚部是b,∵复数z的模为1,且复数z的实部为13,∴(13)2+b2=1,∴b2=89,∴b=±223故为:±22316.已知集合A={x|x>1},则(CRA)∩N的子集有()A.1个B.2个C.4个D.8个答案:∵集合A={x|x>1},∴CRA={x|x≤1},∴(CRA)∩N={0,1},∴(CRA)∩N的子集有22=4个,故选C.17.若a=(1,2,-2),b=(1,0,2),则(a-b)•(a+2b)=______.答案:∵a=(1,2,-2),b=(1,0,2),∴a-b=(0,2,-4),a+2b=(3,2,2).∴(a-b)•(a+2b)=0×3+2×2-4×2=-4.故为-4.18.已知向量=(1,1,-2),=(2,1,),若≥0,则实数x的取值范围为()
A.(0,)
B.(0,]
C.(-∞,0)∪[,+∞)
D.(-∞,0]∪[,+∞)答案:C19.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为A.0.0081B.0.0729C.0.0525D.0.0092答案:A解析:本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果:打开或未打开,相应的概率为0.1或1-0.1="0.9."根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=(0.1)3(0.9)2=0.0081.20.在输入语句中,若同时输入多个变量,则变量之间的分隔符号是()
A.逗号
B.空格
C.分号
D.顿号答案:A21.=(2,1),=(3,4),则向量在向量方向上的投影为()
A.
B.
C.2
D.10答案:C22.命题“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定是______.答案:根据特称命题的否定为全称命题可知,“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定为“任意三角形的三个内角不成等差数列”,故为:任意三角形的三个内角不成等差数列23.命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是()A.若a+b不是偶数,则a,b都不是奇数B.若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数C.若a+b是偶数,则a,b都是奇数D.若a+b是偶数,则a,b不都是奇数答案:“a,b都是奇数”的否定是“a,b不都是奇数”,“a+b是偶数”的否定是“a+b不是偶数”,故命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”.故选B.24.从装有5只红球和5只白球的袋中任意取出3只球,有如下几对事件:
①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”;
②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”;
③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”;
④“取出3只红球”与“取出3只白球”.
其中是对立事件的有______(只填序号).答案:对于①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”,由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.对于②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”,由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.对于③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”,它们不可能同时发生,而且它们的并事件是必然事件,故它们是对立事件.④“取出3只红球”与“取出3只白球”.由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.故为③.25.曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),则a=______.答案:由题意,∵曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),∴22-a-2+2=0∴a=4故为426.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是______.答案:当a>0时,方程对应的函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一解,必有f(0)•f(1)<0,即-1×(2a-2)<0,解得a>1当a≤0时函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰无解.故为:a>127.(几何证明选讲选做题)
如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,直线PO交圆O于B,C两点,AC=2,∠PAB=120°,则切线PA的长度等于______.答案:∵∠PAB=120°,∴优弧ACB=240°,∴劣弧AB=120°,∴∠ACB=60°,又∵OA=OC故∠AOP=60°,OA=AC=2,∠又∵PA是圆O的切线,切点为A,∴∠OAP=90°∴PA=3OA=23故为:2328.已知图所示的矩形,其长为12,宽为5.在矩形内随同地措施1000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为550颗.则可以估计出阴影部分的面积约为______.答案:∵矩形的长为12,宽为5,则S矩形=60∴S阴S矩=S阴60=5501000,∴S阴=33,故:33.29.如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸边的某处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路l,以便建立水陆交通网.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线C的方程;
(2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形,在图中标出此时码头Q的位置),并求公路总长的最小值(精确到0.001千米)答案:(1)过点O作准线的垂线,垂足为A,以OA所在直线为x轴,OA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系…(2分)由题意得,p2=0.4…(4分)所以,抛物线C:y2=1.6x…(6分)(2)设抛物线C的焦点为F由题意得,P(5,53)…(8分)根据抛物线的定义知,公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)当Q为线段PF与抛物线C的交点时,公路总长最小,最小值为9.806千米…(16分)30.设S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,则()A.S(2)=12+13B.S(2)=12+14C.S(2)=1+12+13+14D.S(2)=12+13+14答案:∵S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,当n=2时,n2=4故S(2)=12+13+14故选D31.已知一个几何体是由上下两部分构成的一个组合体,其三视图如图所示,则这个组合体的上下两部分分别是(
)答案:A32.求证:答案:证明见解析解析:证:∴33.若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tanaπ6=______.答案:将(a,9)代入到y=3x中,得3a=9,解得a=2.∴tanaπ6=tanπ3=3故为:334.已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A,B两点,过点A,点B分别作AM,BN垂直于抛物线的准线,分别交准线于M,N两点,那么∠MFN必是()
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.以上皆有可能答案:B35.若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是______.答案:椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y联立可得2y=4-4(y-a)2,∴2y2-(4a-1)y+2a2-2=0.∵椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,∴方程2y2-(4a-1)y+2a2-2=0至少有一个非负根.∴△=(4a-1)2-16(a2-1)=-8a+17≥0,∴a≤178.又∵两根皆负时,由韦达定理可得2a2>2,4a-1<0,∴-1<a<1且a<14,即a<-1.∴方程2y2-(4a-1)y+2a2-2=0至少有一个非负根时,-1≤a≤178故为:-1≤a≤17836.已知:正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点.
(1)求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离.答案:(1)证明略(2)解析:(1)
建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,,0),F(,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4).=(-,,0),=(2,2,0),=(0,0,4),∴·=0,·=0.∴EF⊥DB,EF⊥DD1,DD1∩BD=D,∴EF⊥平面BDD1B1.又EF平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)
由(1)知=(2,2,0),=(-,,0),=(0,-,-4).设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)则n⊥,n⊥即n·=(x,y,z)·(-,,0)=-x+y=0,n·=(x,y,z)·(0,-,-4)=-y-4z=0,令x=1,则y=1,z=-,∴n="(1,1,-")∴D1到平面B1EF的距离d===.37.点P(1,2,2)到原点的距离是()
A.9
B.3
C.1
D.5答案:B38.已知,求证:答案:证明略解析:∵
∴①
又∵②
③由①②③得
∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.39.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:
甲:86、72、92、78、77;
乙:82、91、78、95、88
(1)这种抽样方法是哪一种?
(2)将这两组数据用茎叶图表示;
(3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较稳定.答案:(1)因为间隔时间相同,故是系统抽样.(2)茎叶图如下:.(3)因为.x甲=15(86+72+92+78+77)=81,.x乙=15(82+92+78+95+88)=87,所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4,s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2,而s甲2>s乙2,所以乙车间产品较稳定.40.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下:0001,0002,0003,…,1000,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的办法分成50个部分.如果第一部分编号为0001,0002,…,0020,从中随机抽取一个号码为0015,则第40个号码为______.答案:∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=Nn段,再间隔k取一个.又∵现在总体的个体数为1000,样本容量为50,∴k=20∴若第一个号码为0015,则第40个号码为0015+20×39=0795故为079541.如图,一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则截面的可能图形为(
)
A.①③
B.②④
C.①②③
D.②③④答案:C42.将两粒均匀的骰子各抛掷一次,观察向上的点数,计算:
(1)共有多少种不同的结果?并试着列举出来.
(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率;
(3)两粒骰子点数之和为4或5的概率.答案:(1)每一粒均匀的骰子抛掷一次,都有6种结果,根据分步计数原理,所有可能结果共有6×6=36种.
…(4分)(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的有以下12种:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(6,6),共有12个结果,因此,两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率是1236=13.
…(8分)(3)两粒骰子点数之和为4或5的有以下7种:(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),因此,两粒骰子点数之和为4或5的概率为736.
…(12分)43.已知在一场比赛中,甲运动员赢乙、丙的概率分别为0.8,0.7,比赛没有平局.若甲分别与乙、丙各进行一场比赛,则甲取得一胜一负的概率是______.答案:根据题意,甲取得一胜一负包含两种情况,甲胜乙负丙,概率为:0.8×0.3=0.24;甲胜丙负乙,概率为:0.2×0.7=0.14;∴甲取得一胜一负的概率为0.24+0.14=0.38故为0.3844.设a1,a2,…,an为正数,求证:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an.答案:证明:不妨设a1>a2>…>an>0,则a12>a22>…>an2,1a1<1a2<…1an由排序原理:乱序和≥反序和,可得:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a12a1+a22a2+…+an2an=a1+a2+…+an.45.已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧,F为焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线的AOB一段上求一点P,使S△ABP最大,并求面积最大值.答案:不妨设点A在第一象限,B点在第四象限.如图.抛物线的焦点F(1,0),点A在第一象限,设A(x1,y1),y1>0,由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分);同理B(4,-4),…(4分)由A(1,2),B(4,-4)得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…(6分)直线AB的方程为y-2-4-2=x-14-1,化简得2x+y-4=0.…(8分)再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.则点P到直线AB的距离d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0
24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5
…(9分)所以当y0=-1时,d取最大值9510,…(10分)所以△PAB的面积最大值为S=12×35×9510=274
…(11分)此时P点坐标为(14,-1).…(12分).46.若集合A={1,2,3},则集合A的真子集共有()A.3个B.5个C.7个D.8个答案:由集合A={1,2,3},所以集合A的真子集有?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个.故选C.47.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根,则a的取值范围为______.答案:令f(x)=x2+ax+a2-1,∴二次函数开口向上,若方程有一正一负根,则只需f(0)<0,即a2-1<0,∴-1<a<1.故为:-1<a<1.48.平面向量与的夹角为60°,=(2,0),||=1,则|+2|()
A.
B.2
C.4
D.12答案:B49.下列说法中正确的是()
A.若∥,则与向相同
B.若||<||,则<
C.起点不同,但方向相同且模相等的两个向量相等
D.所有的单位向量都相等答案:C50.参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)的普通方程为______.答案:把参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)利用同角三角函数的基本关系消去参数化为普通方程为y2=1+x,故为y2=1+x.第3卷一.综合题(共50题)1.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为()
A.0.9
B.0.5
C.0.6
D.0.8答案:D2.如图,在⊙O中,AB是弦,AC是⊙O的切线,A是切点,过
B作BD⊥AC于D,BD交⊙O于E点,若AE平分∠BAD,则∠BAD=()
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
答案:D3.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为34c,则双曲线的离心率为______.答案:∵直线l过(a,0),(0,b)两点,∴直线l的方程为:xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,∵原点到直线l的距离为34c,∴|ab|a2+b2=3c4,又c2=a2+b2,∴3e4-16e2+16=0,∴e2=4,或e2=43.∵a>b>0,∴离心率为e=2或e=233;故为2或233.4.若2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程是______.答案:∵2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,∴点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线2x+3y=4上,又因为过两点确定一条直线,故所求直线方程为2x+3y=4故为:2x+3y=45.已知圆C的极坐标方程是ρ=2sinθ,那么该圆的直角坐标方程为
______,半径长是
______.答案:把极坐标方程是ρ=2sinθ的两边同时乘以ρ得:ρ2=2ρsinθ,∴x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,表示以(0,1)为圆心,半径等于1的圆,故为:x2+(y-1)2=1;1.6.用随机数表法从100名学生(男生35人)中选20人作样本,男生甲被抽到的可能性为()A.15B.2035C.35100D.713答案:由题意知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是用随机数表法从100名学生选一个,共有100种结果,满足条件的事件是抽取20个,∴根据等可能事件的概率公式得到P=20100=15,故选A.7.△ABC中,A(1,2),B(3,1),重心G(3,2),则C点坐标为______.答案:设点C(x,y)由重心坐标公式知3×3=1+3+x,6=2+1+y解得x=5,y=3故点C的坐标为(5,3)故为(5,3)8.已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧,F为焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线的AOB一段上求一点P,使S△ABP最大,并求面积最大值.答案:不妨设点A在第一象限,B点在第四象限.如图.抛物线的焦点F(1,0),点A在第一象限,设A(x1,y1),y1>0,由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分);同理B(4,-4),…(4分)由A(1,2),B(4,-4)得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…(6分)直线AB的方程为y-2-4-2=x-14-1,化简得2x+y-4=0.…(8分)再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.则点P到直线AB的距离d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0
24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5
…(9分)所以当y0=-1时,d取最大值9510,…(10分)所以△PAB的面积最大值为S=12×35×9510=274
…(11分)此时P点坐标为(14,-1).…(12分).9.一只袋中装有2个白球、3个红球,这些球除颜色外都相同.
(Ⅰ)从袋中任意摸出1个球,求摸到的球是白球的概率;
(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,求摸出的两个球都是白球的概率;
(Ⅲ)从袋中任意摸出2个球,求摸出的两个球颜色不同的概率.答案:(Ⅰ)从5个球中摸出1个球,共有5种结果,其中是白球的有2种,所以从袋中任意摸出1个球,摸到白球的概率为25.
…(4分)(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,共有C25=10种情况,其中全是白球的有1种,故从袋中任意摸出2个球,摸出的两个球都是白球的概率为110.…(9分)(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,摸出的两个球颜色不同的情况共有2×3=6种,故从袋中任意摸出2个球,摸出的2个球颜色不同的概率为610=35.
…(14分)10.已知三角形ABC的一个顶点A(2,3),AB边上的高所在的直线方程为x-2y+3=0,角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0,求此三角形三边所在的直线方程.答案:由题意可得AB边的斜率为-2,由点斜式求得AB边所在的直线方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.由2x+y-7=0x+y-4=0
求得x=3y=1,故点B的坐标为(3,1).设点A关于角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0的对称点为M(a,b),则M在BC边所在的直线上.则由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0
求得a=1b=2,故点M(1,2),由两点式求得BC的方程为y-12-1=x-31-3,即x+2y-5=0.再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得点C的坐标为(2,52),由此可得得AC的方程为x=2.11.如果执行程序框图,那么输出的S=()A.2450B.2500C.2550D.2652答案:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出:S=2×1+2×2+…+2×50的值.∵S=2×1+2×2+…+2×50=2×1+502×50=2550故选C12.若4名学生和3名教师站在一排照相,则其中恰好有2名教师相邻的站法有______种.(用数字作答)答案:4名学生和3名教师站在一排照相,则其中恰好有2名教师相邻,所以第一步应先取两个老师且绑定有C23×A22=6种方法,第二步将四名学生全排列,共有4!=24种方法,第三步将绑定的两位老师与剩下的一位老师看作两个元素,插入四个学生隔开的五个空中,共有A25=20种方法故总的站法有6×24×20=2880种故为288013.一位运动员投掷铅球的成绩是14m,当铅球运行的水平距离是6m时,达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线,则铅球出手时距地面的高度是()
A.2.25m
B.2.15m
C.1.85m
D.1.75m
答案:D14.已知A=(2,-4,-1),B=(-1,5,1),C=(3,-4,1),若=,=,则对应的点为()
A.(5,-9,2)
B.(-5,9,-2)
C.(5,9,-2)
D.(5,-9,-2)答案:B15.平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为为v2=(-2,-4,10),则平面α与平面β()A.平行B.垂直C.相交D.不确定答案:∵平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为v2=(-2,-4,10),∵v1•v2=1×(-2)+2×(-4)+1×10=0∴v1⊥v2,∴平面α⊥平面β故选B16.已知一次函数y=(2k-4)x-1在R上是减函数,则k的取值范围是()A.k>2B.k≥2C.k<2D.k≤2答案:因为函数y=(2k-4)x-1为R上是减函数⇔该一次函数的一次项的系数为负⇔2k-4<0⇒k<2.故为:C17.直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内,则k的取值范围是
______.答案:联立两直线方程得kx-y=k-1①ky=x+2k②,由②得y=x+2kk③,把③代入①得:kx-x+2kk=k-1,当k+1≠0即k≠-1时,解得x=kk-1,把x=kk-1代入③得到y=2k-1k-1,所以交点坐标为(kk-1,2k-1k-1)因为直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内,得kk-1<02k-1k-1>
0解得0<k<1,k>1或k<12,所以不等式组的解集为0<k<12则k的取值范围是0<k<12故为:0<k<1218.如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于D,CD=4,AB=3BC,则AC的长是______.答案:∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得:CD2=CB×CA,∵AB=3BC,设BC=x,由CA=4x,又CD=4∴16=x×4x,x=2∴则AC的长是8.故填:8.19.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是4和3及x,那么x的值的个数为()
A.1个
B.2个
C.2个以上但有限
D.无数个答案:B20.已知直线的参数方程为x=1+ty=3+2t.(t为参数),圆的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ.
(I)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(II)求直线被圆截得的弦长.答案:(I)直线的普通方程为:2x-y+1=0;圆的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-2)2=5(4分)(II)圆心到直线的距离d=55,直线被圆截得的弦长L=2r2-d2=4305(10分)21.若事件与相互独立,且,则的值等于A.B.C.D.答案:B解析:事件“”表示的意义是事件与同时发生,因为二者相互独立,根据相互独立事件同时发生的概率公式得:.22.已知某一随机变量ξ的分布列如下,且Eξ=6.3,则a的值为()
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C23.2005年10月,我国载人航天飞船“神六”飞行获得圆满成功.已知“神六”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆,飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200公里、250公里.设地球半径为R公里,则此时飞船轨道的离心率为______.(结果用R的式子表示)答案:(I)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1由题设条件得:a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=R+200,a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=R+250,解得a=225+R,c=25则此时飞船轨道的离心率为25225+R故为:25225+R.24.点P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点,则x+2y的最大值为______.答案:把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程,得x26+y24=1,∴这个椭圆的参数方程为:x=6cosθy=2sinθ,(θ为参数)∴x+2y=6cosθ+4sinθ,∴(x+2y)max=6+16=22.故为:22.25.命题“所以奇数的立方是奇数”的否定是()
A.所有奇数的立方不是奇数
B.不存在一个奇数,它的立方不是奇数
C.存在一个奇数,它的立方不是奇数
D.不存在一个奇数,它的立方是奇数答案:C26.参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为
______.答案:∵x=cosαy=1+sinα(α为参数)∴x2+(y-1)2=cos2α+sin2α=1.即:参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为:x2+(y-1)2=1.故为:x2+(y-1)2=1.27.如图,圆与圆内切于点,其半径分别为与,圆的弦交圆于点(不在上),求证:为定值。
答案:见解析解析:考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质,容易题。证明:由弦切角定理可得28.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为______.答案:由题意可得点OA=OB=2,AC=5设双曲线的标准方程是x2a2-y2b2=1.则2a=AC-BC=5-3=2,所以a=1.所以b2=c2-a2=4-1=3.所以双曲线的标准方程是x2-y23=1.故为:x2-y23=129.从甲乙丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为()A.12B.13C.23D.1答案:从3个人中选出2个人当代表,则所有的选法共有3种,即:甲乙、甲丙、乙丙,其中含有甲的选法有两种,故甲被选中的概率是23,故选C.30.右图程序运行后输出的结果为()
A.3456
B.4567
C.5678
D.6789
答案:A31.以下命题:
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量;
②共线的两个向量互相平行;
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量;
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是______.答案:解①根据共面与共线向量的定义可知①错误.②根据共线向量的定义可知②正确.③根据共面向量的定义可知③错误.④根据共面向量的定义可知④正确.故为:②④.32.已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.答案:证明:一方面,∵ax=b,且a≠0,方程两边同除以a得:x=ba,∴方程ax=b有一个根x=ba,另一方面,假设方程ax=b还有一个根x0且x0≠ba,则由此不等式两边同乘以a得ax0≠b,这与假设矛盾,故方程ax=b只有一个根.综上所述,方程ax=b有且只有一个根.33.方程|x|-1=2y-y2表示的曲线为()A.两个半圆B.一个圆C.半个圆D.两个圆答案:两边平方整理得:(|x|-1)2=2y-y2,化简得(|x|-1)2+(y-1)2=1,由|x|-1≥0得x≥1或x≤-1,当x≥1时,方程为(x-1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆;当x≤1时,方程为(x+1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(-1,1)且半径为1的圆的右半圆综上所述,得方程|x|-1=2y-y2表示的曲线为为两个半圆故选:A34.已知2a=3b=6c则有()
A.∈(2,3)
B.∈(3,4)
C.∈(4,5)
D.∈(5,6)答案:C35.(参数方程与极坐标)已知F是曲线x=2cosθy=1+cos2θ(θ∈R)的焦点,M(12,0),则|MF|的值是
______.答案:y=1+cos2θ=2cos2θ=2•(x2)2化简得x2=2y∴F(0,12)而M(12,0),∴|MF|=22故为:2236.已知=(2,-1,3),=(-1,4,-2),=(7,5,λ),若、、三向量共面,则实数λ等于()
A.
B.
C.
D
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 运载工具用顶部行李箱市场发展现状调查及供需格局分析预测报告
- 2024年度外墙保温工程质量保修合同
- 纸制杯垫市场需求与消费特点分析
- 2024年度特色食材供应合同
- 探测器用接口市场发展现状调查及供需格局分析预测报告
- 2024年度建筑质量保证合同
- 2024年度技术合同:便利店智能化系统开发与实施
- 蛋白质补充剂市场发展现状调查及供需格局分析预测报告
- 2024年度化妆品销售代理合同
- 2024年度建筑行业材料采购合同
- 20S515 钢筋混凝土及砖砌排水检查井
- 2024年应急管理部所属事业单位第二次招聘考试笔试高频500题难、易错点模拟试题附带答案详解
- 医院重点监控药品管理制度
- 2024年陕西省中考英语试题及解析版
- 英汉汉英口译智慧树知到答案2024年山东科技大学
- 18 《浏览数字博物馆》(教学设计) 五年级信息技术武汉版
- 《药品管理法》知识考试题库300题(含答案)
- 巾帼家政职业技能竞赛(家政服务)理论考试题库(含答案)
- 《雷雨》《窦娥冤》联读教学设计 2023-2024学年统编版高中语文必修下册
- 广东省2023年1月普通高中学业水平合格性考试数学试题及答案
- 中华财险笔试行测
评论
0/150
提交评论