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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年运城师范高等专科学校高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.若k∈R,则“k>3”是“方程表示双曲线”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件答案:A2.设全集U={1,2,3,4,5},A∩C∪B={1,2},则集合C∪A∩B的所有子集个数最多为()A.3B.4C.7D.8答案:∵全集U={1,2,3,4,5},A∩C∪B={1,2},∴当集合C∪A∩B的所有子集个数最多时,集合B中最多有三个元素:3,4,5,且A∩B=?,作出文氏图∴CUA∩B={3,4,5},∴集合C∪A∩B的所有子集个数为:23=8.故选D.3.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则y=f(x)()A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定答案:解析:由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.故选D.4.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B.2C.3D.2答案:∵M,N是双曲线的两顶点,M,O,N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点,∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选B.5.某科目考试有30道题每小题有三个选项,每题2分,另有20道题,每题有四个选项每题3分,每题只有一个答案,某人随机去选答案,则平均能得______分.答案:由题意,30道题每小题有三个选项,每题2分,每题只有一个,某人随机去选,则可得2×30×13=20分;20道题,每题有四个选项每题3分,每题只有一个,某人随机去选,则可得3×20×14=15分故平均能得35分故为:35分.6.(选做题)(几何证明选讲选做题)如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC为直径的圆交AC边于点D,AD=2,则∠C的大小为______.答案:∵∠B=90°,AB=4,BC为圆的直径∴AB与圆相切,由切割线定理得,AB2=AD?AC∴AC=8故∠C=30°故为:30°7.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,则此样本的容量为()
A.40
B.80
C.160
D.320答案:B8.如图,△ABC中,D,E,F分别是边BC,AB,CA的中点,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中,
(1)与向量FE共线的有
______.
(2)与向量DF的模相等的有
______.
(3)与向量ED相等的有
______.答案:(1)∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC且EF=12BC,则与向量FE共线的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD;(2))∵DF是△ABC的中位线,∴DF∥AC且DF=12AC,则与向量DF的模相等的有CE,EA,EC,AF;(3)∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB且DE=12AB,则与向量ED相等的有AF,FB.9.若随机变量X的概率分布如下表,则表中a的值为()
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
a
A.1
B.0.8
C.0.3
D.0.2答案:D10.如图,在空间直角坐标系中,已知直三棱柱的顶点A在x轴上,AB平行于y轴,侧棱AA1平行于z轴.当顶点C在y轴正半轴上运动时,以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是()
A.该三棱柱主视图的投影不发生变化
B.该三棱柱左视图的投影不发生变化
C.该三棱柱俯视图的投影不发生变化
D.该三棱柱三个视图的投影都不发生变化
答案:B11.如图,PT是⊙O的切线,切点为T,直线PA与⊙O交于A、B两点,∠TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点,已知PT=2,PB=3,则PA=______,TEAD=______.答案:由题意,如图可得PT2=PB×PA又由已知PT=2,PB=3,故可得PA=433又TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点,可得∠TPE=∠APD又由弦切角定理知∠PTE=∠PAD故有△PET≈△PDA故有TE:AD=PT:PA=3:2故为433,3212.若直线3x+4y+m=0与曲线x=1+cosθy=-2+sinθ(θ为参数)没有公共点,则实数m的取值范围是
______.答案:∵曲线x=1+cosθy=-2+sinθ(θ为参数)的普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1则圆心(1,-2)到直线3x+4y+m=0的距离d=|3•1+4(-2)+m|32+42=|m-5|5,令|m-5|5>1,得m>10或m<0.故为:m>10或m<0.13.设双曲线的渐近线为:y=±32x,则双曲线的离心率为______.答案:由题意ba=32或ab=32,∴e=ca=132或133,故为132,133.14.抛物线x=14ay2的焦点坐标为()A.(116a,0)B.(a,0)C.(0,116a)D.(0,a)答案:抛物线x=14ay2可化为:y2=4ax,它的焦点坐标是(a,0)故选B.15.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关,应该检验()
A.H0:男性喜欢参加体育活动
B.H0:女性不喜欢参加体育活动
C.H0:喜欢参加体育活动与性别有关
D.H0:喜欢参加体育活动与性别无关答案:D16.(理)已知函数f(x)=sinπxx∈[0,1]log2011xx∈(1,+∞)若满足f(a)=f(b)=f(c),(a、b、c互不相等),则a+b+c的取值范围是______.答案:作出函数的图象如图,直线y=y0交函数图象于如图,由正弦曲线的对称性,可得A(a,y0)与B(b,y0)关于直线x=12对称,因此a+b=1当直线线y=y0向上平移时,经过点(2011,1)时图象两个图象恰有两个公共点(A、B重合)所以0<y0<1时,两个图象有三个公共点,此时满足f(a)=f(b)=f(c),(a、b、c互不相等),说明1<c<2011,因此可得a+b+c∈(2,2012)故为(2,2012)17.已知圆C:x2+y2-4y-6y+12=0,求:
(1)过点A(3,5)的圆的切线方程;
(2)在两条坐标轴上截距相等的圆的切线方程.答案:(l)设过点A(3,5)的直线ɭ的方程为y-5=k(x-3).因为直线ɭ与⊙C相切,而圆心为C(2,3),则|2k-3-3k+5|k2+1=1,解得k=34所以切线方程为y-5=34(x-3),即3x-4y+11=0.由于过圆外一点A与圆相切的直线有两条,因此另一条切线方程为x=3.(2)因为原点在圆外,所以设在两坐标轴上截距相等的直线方程x+y=a或y=kx.由直线与圆相切得,|2+3-a|2=1或|2k-3|k2+1=1,解得a=5士2,k=6±223故所求的切线方程为x+y=5士2或y=6±223x.18.将一枚均匀硬币
随机掷20次,则恰好出现10次正面向上的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:D19.已知圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm,高为3cm,求圆台的体积.答案:∵圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm,高为3cm,∴圆台的体积V=13×3×(4π+4π?25π+25π)=39πcm3.20.已知镭经过100年,质量便比原来减少4.24%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则y=f(x)的函数解析式为(x≥0)()A.0.0424x100B.0.9576x100C.0.0424100xD.0.9576100x答案:由题意可得,对于函数,当x=100时,y=95.76%=0.9576,结合选项检验选项A:x=100,y=0.0424,故排除A选项B:x=100,y=0.9576,故B正确故选:B解析:已知镭经过100年,质量便比原来减少4.24%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则y=f(x)的函数解析式为(x≥0)()A.0.0424x100B.0.9576x100C.0.0424100x21.若把A、B、C、D、E、F、G七人排成一排,则A、B必须相邻,且C、D不能相邻的概率是______(结果用数值表示).答案:把AB看成一个整体,CD不能相邻,就用插空法,则有A22A44A25种方法把A、B、C、D、E、F、G七人排成一排,随便排的种数A77所以概率为A22A44A25A77=421故为:421.22.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,…,x2011,则x1+x2+…+x2011=______.答案:∵f(x)是R上的奇函数,∴0是函数y=f(x)的零点.其他非0的零点关于原点对称.∴x1+x2+…+x2011=0.故为:0.23.若x,y∈R,则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件答案:根据复数的分类,x+yi为纯虚数的充要条件是x=0,y≠0.“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题,反之为真.∴x,y∈R,则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件故选B24.若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tanaπ6=______.答案:将(a,9)代入到y=3x中,得3a=9,解得a=2.∴tanaπ6=tanπ3=3故为:325.根据学过的知识,试把“推理与证明”这一章的知识结构图画出来.答案:根据“推理与证明”这一章的知识可得结构图,如图所示.26.(选做题)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为29℃~63℃,精确度要求±1℃,用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为(
)。答案:727.抛物线y=ax2(其中a>0)的焦点坐标是(
)
A.(,0)
B.(0,)
C.(,0)
D.(0,)答案:D28.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,
cos〈,〉=.
(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;
(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.答案:(1)点E的坐标是(1,1,1)(2)F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB解析:(1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0),设P(0,0,2m),则E(1,1,m),∴=(-1,1,m),=(0,0,2m).∴cos〈,〉==.解得m=1,∴点E的坐标是(1,1,1).(2)∵F∈平面PAD,∴可设F(x,0,z).则=(x-1,-1,z-1),又=(2,0,0),=(0,2,-2)∵EF⊥平面PCB∴⊥,且⊥即∴∴,∴F点的坐标为(1,0,0)即点F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB.29.计算:x10÷x5=______.答案:根据有理数指数幂的运算性质:x10÷x5=x5故为:x530.已知直线l1:y=kx+(k<0=被圆x2+y2=4截得的弦长为,则l1与直线l2:y=(2+)x的夹角的大小是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°答案:B31.(参数方程与极坐标)已知F是曲线x=2cosθy=1+cos2θ(θ∈R)的焦点,M(12,0),则|MF|的值是
______.答案:y=1+cos2θ=2cos2θ=2•(x2)2化简得x2=2y∴F(0,12)而M(12,0),∴|MF|=22故为:2232.已知曲线x2a+y2b=1和直线ax+by+1=0(a,b为非零实数),在同一坐标系中,它们的图形可能是()A.
B.
C.
D.
答案:A选项中,直线的斜率大于0,故系数a,b的符号相反,此时曲线应是双曲线,故不对;B选项中直线的斜率小于0,故系数a,b的符号相同且都为负,此时曲线不存在,故不对;C选项中,直线斜率为正,故系数a,b的符号相反,且a正,b负,此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线,图形符合结论,可选;D选项中不正确,由C选项的判断可知D不正确.故选D33.极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为()
A.极点
B.极轴
C.一条直线
D.两条相交直线答案:D34.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线右支C.一条射线D.不存在答案:∵|PM|-|PN|=3,M(-2,0),N(2,0),且3<4=|MN|,根据双曲线的定义,∴点P是以M(-2,0),N(2,0)为两焦点的双曲线的右支.故选B.35.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴,抛物线上一点M(3,m)到焦点的距离为5,求m的值及抛物线方程.答案:∵抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,其上一点M(3,m)∴设抛物线方程为y2=2px∵其上一点M(3,m)到焦点的距离为5,∴3+p2=5,可得p=4∴抛物线方程为y2=8x.36.如图,空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD的中点,则AB+12BC+12BD等()A.ADB.GAC.AGD.MG答案:∵M、G分别是BC、CD的中点,∴12BC=BM,12BD=MC∴AB+12BC+12BD=AB+BM+MC=AM+MC=AC故选C37.若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是______.答案:椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y联立可得2y=4-4(y-a)2,∴2y2-(4a-1)y+2a2-2=0.∵椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,∴方程2y2-(4a-1)y+2a2-2=0至少有一个非负根.∴△=(4a-1)2-16(a2-1)=-8a+17≥0,∴a≤178.又∵两根皆负时,由韦达定理可得2a2>2,4a-1<0,∴-1<a<1且a<14,即a<-1.∴方程2y2-(4a-1)y+2a2-2=0至少有一个非负根时,-1≤a≤178故为:-1≤a≤17838.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为()
A.105°
B.115°
C.120°
D.125°
答案:B39.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量MN为()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a+12b+12cD.-12a+12b-12c答案:如图所示,连接ON,AN,则ON=12(OB+OC)=12(b+c),AN=12(AC+AB)=12(OC-2OA+OB)=12(-2a+b+c)=-a+12b+12c,所以MN=12(ON+AN)=-12a+12b+12c.故选C.40.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围。答案:解:令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14,依题意得或,即或,解得。41.给出以下命题:(1)若非零向量a与b互为负向量,则a∥b;(2)|a|=0是a=0的充要条件;(3)若|a|=|b|,则a=±b;(4)物理学中的作用力和反作用力互为负向量.其中为真命题的是______.答案:(1)若非零向量a与b互为负向量,根据相反向量的定义可知a∥b,故正确;(2)|a|=0则a=0,a=0则|a|=0,故|a|=0是a=0的充要条件,故正确;(3)若|a|=|b|,则两向量模等,方向任意,故不正确;(4)物理学中的作用力和反作用力大小相等,方向相反,故互为负向量,故正确故为:(1)(2)(4)42.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是______.答案:分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长等于1,可得D(0,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),∴BC1=(-1,0,1),A1D=(-1,0,-1),BD=(-1,-1,0)设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,则n•A1D=-x-z=0n•BD=-x-y=0,取x=1,得y=z=-1∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1)设直线BC1与平面A1BD所成角为θ,则sinθ=|cos<BC1,n>|=BC1•n|BC1|•n=63∴cosθ=1-sin2θ=33,即直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是33故为:3343.是x1,x2,…,x100的平均数,a是x1,x2,…,x40的平均数,b是x41,x42,…,x100的平均数,则下列各式正确的是()
A.=
B=
C.=a+b
D.答案:A44.若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足:①f(x,x)=x,②f(x,y)=f(y,x);③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),则f(12,16)的值是()A.12B.16C.24D.48答案:依题意:∵(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),∴f(x,x+y)=1y(x+y)f(x,y)∴f(12,16)=f(12,12+4)=14(12+4)f(12,4)=4f(12,4)=4f(4,12)=4f(4,4+8)=4×18(4+8)f(4,8)=6f(4,8)=6f(4,4+4)=6×14(4+4)f(4,4)=12f(4,4)=12×4=48故选D45.设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则用“>”表示a,b,c的大小关系式是______.答案:∵0<0.32<1,log20.3<0,20.3>1∴0.32<20.3<log20.3故为:a>b>c46.已知向量,,,则(
)A.B.C.5D.25答案:C解析:将平方即可求得C.47.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是______.答案:当a>0时,方程对应的函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一解,必有f(0)•f(1)<0,即-1×(2a-2)<0,解得a>1当a≤0时函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰无解.故为:a>148.曲线x=t+1ty=12(t+1t)(t为参数)的直角坐标方程是______.答案:∵曲线C的参数方程x=t+1ty=12(t+1t)(t为参数)x=t+1t≥2,可得x的限制范围是x≥2,再根据x2=t+1t+2,∴t+1t=x2-2,可得直角坐标方程是:x2=2(y+1),(x≥2),故为:x2=2(y+1),(x≥2).49.点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则直线x0x+y0y=r2和已知圆的公共点的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.不能确定答案:A50.设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x答案:C第2卷一.综合题(共50题)1.参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为
______.答案:∵x=cosαy=1+sinα(α为参数)∴x2+(y-1)2=cos2α+sin2α=1.即:参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为:x2+(y-1)2=1.故为:x2+(y-1)2=1.2.解关于x的不等式(k≥0,k≠1).答案:不等式的解集为{x|x2}解析:原不等式即,1°若k=0,原不等式的解集为空集;2°若1-k>0,即0,所以原不等式的解集为{x|x2}.</k<1,由原不等式的解集为{x|2<x<</k<1时,原不等式等价于3.已知点A(1,2),直线l1:x=1+3ty=2-4t(t为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B,则A、B两点之间的距离|AB|=______.答案:将x=1+3t,y=2-4t代入2x-4y=5,得t=12,所以两直线的交点坐标为(52,0)所以|AB|=(1-52)2+(2-0)2
=52.故为:524.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为()
A.0
B.-8
C.2
D.10答案:B5.编号为A、B、C、D、E的五个小球放在如图所示的五个盒子中,要求每个盒子只能放一个小球,且A不能放1,2号,B必需放在与A相邻的盒子中,则不同的放法有()种.A.42B.36C.30D.28答案:根据题意,A不能放1,2号,则A可以放在3、4、5号盒子,分2种情况讨论:①当A在4、5号盒子时,B有1种放法,剩下3个有A33=6种不同放法,此时,共有2×1×6=12种情况;②当A在3号盒子时,B有3种放法,剩下3个有A33=6种不同放法,此时,共有1×3×6=18种情况;由加法原理,计算可得共有12+18=30种不同情况;故选C.6.设随机变量X~B(10,0.8),则D(2X+1)等于()
A.1.6
B.3.2
C.6.4
D.12.8答案:C7.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=λCA+μCB,则λμ的值为______.答案:∵AD=2DB,∴CD=CA+23
AB∵AB=CB-CA∴CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB∵CD=λCA+μCB∴λ=13,μ=23∴λμ=12故为128.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=
,其中A的各位数中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为.记ξ=a1+a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,ξ的数学期望Eξ=()
A.
B.
C.
D.答案:C9.用辗转相除法或者更相减损术求三个数的最大公约数.答案:同解析解析:解:324=243×1+81
243=81×3+0
则324与243的最大公约数为81又135=81×1+54
81=54×1+27
54=27×2+0则81与135的最大公约数为27所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.另法为所求。10.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个球,则其中含红球个数的数学期望是
______.答案:设含红球个数为ξ,ξ的可能取值是0、1、2,当ξ=0时,表示从中取出2个球,其中不含红球,当ξ=1时,表示从中取出2个球,其中1个红球,1个黄球,当ξ=2时,表示从中取出2个球,其中2个红球,∴P(ξ=0)=C22C25=0.1,P(ξ=1)=C12C13C25=0.6P(ξ=2)=C23C25=0.3∴Eξ=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2.故为:1.2.11.若点A分有向线段所成的比是2,则点C分有向线段所成的比是()
A.
B.3
C.-2
D.-3答案:D12.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是______.答案:根据题意知a=2b,c=3又∵a2=b2+c2∴a2=4
b2=1∴x24+
y2=1故为:∴x24+
y2=1.13.若函数f(x)对任意实数x都有f(x)<f(x+1),那么()A.f(x)是增函数B.f(x)没有单调递增区间C.f(x)没有单调递减区间D.f(x)可能存在单调递增区间,也可能存在单调递减区间答案:根据函数f(x)对任意实数x都有f(x)<f(x+1),画出一个满足条件的函数图象如右图所示;根据图象可知f(x)可能存在单调递增区间,也可能存在单调递减区间故选D.14.方程组的解集是(
)答案:{(5,-4)}15.不等式|3x-2|>4的解集是______.答案:由|3x-2|>4可得
3x-2>4
或3x-2<-4,∴x>2或x<-23.故为:(-∞,-23)∪(2,+∞).16.用数学归纳法证明不等式成立,起始值至少应取为()
A.7
B.8
C.9
D.10答案:B17.确定方程3x2-9+4x2-16+5x2-25=120x的解集______.答案:由题意,x2-9≥0x2-16≥0x2-25≥0x>0,∴x≥5∴x2-9≥4,x2-16≥3,x2-25≥0,∴3x2-9+4x2-16+5x2-25≥24∵3x2-9+4x2-16+5x2-25=120x∴120x≥24∵x≥5,∴120x≤24∴120x=24∴x=5故为:{5}18.一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目ξ的期望为()
A.2.44
B.3.376
C.2.376
D.2.4答案:C19.2005年10月,我国载人航天飞船“神六”飞行获得圆满成功.已知“神六”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆,飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200公里、250公里.设地球半径为R公里,则此时飞船轨道的离心率为______.(结果用R的式子表示)答案:(I)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1由题设条件得:a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=R+200,a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=R+250,解得a=225+R,c=25则此时飞船轨道的离心率为25225+R故为:25225+R.20.已知焦点在x轴上的双曲线渐近线方程是y=±4x,则该双曲线的离心率是()
A.
B.
C.
D.答案:A21.已知矩阵M=2a21,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0)
(1)求实数a的值;
(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.答案:(1)由2a211-2=-40,∴2-2a=-4⇒a=3.(2)由(1)知M=2321,则矩阵M的特征多项式为f(λ)=.λ-2-3-2λ-1.=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.当λ=-1时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒x+y=0∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为1-1;当λ=4时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒2x-3y=0∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为32.22.已知:关于x的方程2x2+kx-1=0
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是-1,求另一个根及k值.答案:(1)证明:2x2+kx-1=0,△=k2-4×2×(-1)=k2+8,无论k取何值,k2≥0,所以k2+8>0,即△>0,∴方程2x2+kx-1=0有两个不相等的实数根.(2)设2x2+kx-1=0的另一个根为x,则x-1=-k2,(-1)•x=-12,解得:x=12,k=1,∴2x2+kx-1=0的另一个根为12,k的值为1.23.设椭圆(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为(
)
A.
B.
C.
D.答案:B24.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与c共线?答案:∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,若d与c共线,则存在实数k≠0,使d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,由2λ+2μ=2k-3λ+3μ=-9k得λ=-2μ.故存在这样的实数λ、μ,只要λ=-2μ,就能使d与c共线.25.若a=()x,b=x3,c=logx,则当x>1时,a,b,c的大小关系式()
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.a<c<b答案:C26.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为(4,π3),则|CP|=______.答案:圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆的方程为:x2+y2=4x,圆心为C(2,0),点P的极坐标为(4,π3),所以P的直角坐标(2,23),所以|CP|=(2-2)2+(23-0)2=23.故为:23.27.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.则该几何体的体积为______.答案:由题意几何体复原是一个底面边长为8,6的距离,高为4,且顶点在底面的射影是底面矩形的中心的四棱锥.底面矩形的面积是48所以几何体的体积是:13×46×4=64故为:64.28.已知命题p:∀x∈R,x2-x+1>0,则命题¬p
是______.答案:∵命题p:∀x∈R,x2-x+1>0,∴命题p的否定是“∃x∈R,x2-x+1≤0”故为:∃x∈R,x2-x+1≤0.29.直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.与k的取值有关答案:A30.抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4,则点M的横坐标x=______.答案:∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|MF|=4=x+p2=4,∴x=3,故为:3.31.两条平行线l1:3x+4y-2=0,l2:9x+12y-10=0间的距离等于()
A.
B.
C.
D.答案:C32.设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()
A.点P在直线L上,但不在圆M上
B.点P在圆M上,但不在直线L上
C.点P既在圆M上,又在直线L上
D.点P既不在直线L上,也不在圆M上答案:C33.设复数z满足条件|z|=1,那么|z+22+i|的最大值是______.答案:∵|z|=1,∴可设z=cosα+sinα,于是|z+22+i|=|cosα+22+(sinα+1)i|=(cosα+22)2+(sinα+1)2=10+6sin(α+θ)≤10+6=4.∴|z+22+i|的最大值是4.故为434.平行线l1:3x-2y-5=0与l2:6x-4y+3=0之间的距离为______.答案:将l1:3x-2y-5=0化成6x-4y-10=0∴l1:3x-2y-5=0与l2:6x-4y+3=0之间的距离为d=|-10-3|62+(-4)2=1352=132故为:13235.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A,B两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于______.答案:设A(x1,y1)B(x2,y2)由y=x-1y2=4x⇒x2-6x+1=0⇒x1=3+22,x2=3-22,(x1>x2)∴由抛物线的定义知|FA||FB|=x1+1x2+1=4+224-22=2+22-2=3+22故为:3+2236.若直线按向量平移得到直线,那么(
)A.只能是(-3,0)B.只能是(0,6)C.只能是(-3,0)或(0,6)D.有无数个答案:D解析:设平移向量,直线平移之后的解析式为,即,所以,满足的有无数多个.37.若(1+2)5=a+b2(a,b为有理数),则a+b=()A.45B.55C.70D.80答案:解析:由二项式定理得:(1+2)5=1+C512+C52(2)2+C53(2)3+C54(2)4+C55?(2)5=1+52+20+202+20+42=41+292,∴a=41,b=29,a+b=70.故选C38.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为______.答案:直线4x-3y+5=0即8x-6y+10=0,由两平行线间的距离公式得:直线4x-3y+5=0(8x-6y+10=0)与直线8x-6y+5=0的距离是
|10-5|62+82=12,故为:12.39.在△ABC中,已知向量=(cos18°,cos72°),=(2cos63°,2cos27°),则△ABC的面积等于()
A.
B.
C.
D.
答案:A40.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的位置如图所示()
A.b>0,d<0,a<c
B.b>0,d<0,a>c
C.b<0,d>0,a<c
D.b<0,d>0,a>c
答案:D41.已知A,B两点的极坐标为(6,)和(8,),则线段AB中点的直角坐标为()
A.(,-)
B.(-,)
C.(,-)
D.(-,-)答案:D42.将函数="2x"+1的图像按向量平移得函数=的图像则
A=(1)B=(1,1)C=()
D(1,1)答案:C解析:分析:本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题.依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象,需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位,向下平移1个单位;故=(-1,-1).解:设=(h,k)则函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x-h+1+k∴∴∴=(-1,-1)故答案为:C.43.△ABC中,,若,则m+n=()
A.
B.
C.
D.1答案:B44.化简5(2a-2b)+4(2b-2a)=______.答案:5(2a-2b)+4(2b-2a)=10a-10b+8b-8a=2a-2b故为:2a-2b45.(1+x)6的各二项式系数的最大值是______.答案:根据二项展开式的性质可得,(1+x)6的各二项式系数的最大值C36=20故为:2046.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是()A.π3B.π4C.π2D.π答案:设:正方体边长设为:a则:球的半径为3a2所以球的表面积S1=4?π?R2=4π34a2=3πa2而正方体表面积为:S2=6a2所以比值为:S1S2=π2故选C47.设函数f(x)是定义在[a,b]上的奇函数,则f(a+b)=______.答案:因为函数f(x)是定义在[a,b]上的奇函数,所以定义域关于原点对称,所以a+b=0,且f(0)=0.所以f(a+b)=f(0)=0.故为:0.48.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是______.答案:∵a∈P,b∈Q,∴a可以为0,2,5三个数,b可以为1,2,6三个数,∴x=0+1=1,x=0+2=2,x=0+6=6,x=2+1=3,x=2+2=4,x=2+6=8,x=5+1=6,x=5+2=7,x=5+6=11,∴P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q}={1,2,3,4,6,7,8,11},有8个元素.故为8.49.如图所示,在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.答案:AB与平面BDF所成角的正弦值为.解析:以点B为原点,BA、BC、BE所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(1,0,1).∴=(0,2,1),=(1,-2,0).设平面BDF的一个法向量为n=(2,a,b),∵n⊥,n⊥,∴即解得a=1,b=-2.∴n=(2,1,-2).设AB与平面BDF所成的角为,则法向量n与的夹角为-,∴cos(-)===,即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.50.过直线x+y-22=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是______.答案:根据题意画出相应的图形,如图所示:直线PA和PB为过点P的两条切线,且∠APB=60°,设P的坐标为(a,b),连接OP,OA,OB,∴OA⊥AP,OB⊥BP,PO平分∠APB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=30°,又圆x2+y2=1,即圆心坐标为(0,0),半径r=1,∴OA=OB=1,∴OP=2AO=2BO=2,∴a2+b2=2,即a2+b2=4①,又P在直线x+y-22=0上,∴a+b-22=0,即a+b=22②,联立①②解得:a=b=2,则P的坐标为(2,2).故为:(2,2)第3卷一.综合题(共50题)1.下列点在x轴上的是()
A.(0.1,0.2,0.3)
B.(0,0,0.001)
C.(5,0,0)
D.(0,0.01,0)答案:C2.已知m,n为正整数.
(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)对于n≥6,已知(1-1n+3)n<12,求证(1-mn+3)n<(12)m,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出满足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.答案:解法1:(Ⅰ)证:用数学归纳法证明:当x=0时,(1+x)m≥1+mx;即1≥1成立,x≠0时,证:用数学归纳法证明:(ⅰ)当m=1时,原不等式成立;当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立;(ⅱ)假设当m=k时,不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,则当m=k+1时,∵x>-1,∴1+x>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k•(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x.即当m=k+1时,不等式也成立.综合(ⅰ)(ⅱ)知,对一切正整数m,不等式都成立.(Ⅱ)证:当n≥6,m≤n时,由(Ⅰ)得(1-1n+3)m≥1-mn+3>0,于是(1-mn+3)n≤(1-1n+3)nm=[(1-1n+3)n]m<(12)m,m=1,2,n.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当n≥6时,(1-1n+3)n+(1-2n+3)n++(1-nn+3)n<12+(12)^++(12)n=1-12n<1,∴(n+2n+3)n+(n+1n+3)n++(3n+3)n<1.即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n.即当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形:当n=1时,3≠4,等式不成立;当n=2时,32+42=52,等式成立;当n=3时,33+43+53=63,等式成立;当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+64≠74,等式不成立;当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成立.综上,所求的n只有n=2,3.解法2:(Ⅰ)证:当x=0或m=1时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:当x>-1,且x≠0时,m≥2,(1+x)m>1+mx.①(ⅰ)当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x≠0,所以x2>0,即左边>右边,不等式①成立;(ⅱ)假设当m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k•(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x.即当m=k+1时,不等式①也成立.综上所述,所证不等式成立.(Ⅱ)证:当n≥6,m≤n时,∵(1-1n+3)n<12,∴[(1-1n+3)m]n<(12)m,而由(Ⅰ),(1-1n+3)m≥1-mn+3>0,∴(1-mn+3)n≤[(1-1n+3)m]n<(12)m.(Ⅲ)假设存在正整数n0≥6使等式3n0+4n0++(n0+2)n0=(n0+3)n0成立,即有(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=1.②又由(Ⅱ)可得(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=(1-n0n0+3)n0+(1-n0-1n0+3)n0++(1-1n0+3)n0<(12)n0+(12)n0-1++12=1-12n0<1,与②式矛盾.故当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.下同解法1.3.若向量a=(3,0),b=(2,2),则a与b夹角的大小是()
A.0
B.
C.
D.答案:B4.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤1},那么“a∈M”是“a∈N”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件答案:B5.如图是《集合》的知识结构图,如果要加入“子集”,那么应该放在()
A.“集合”的下位
B.“含义与表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:C6.正方体AC1中,S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,如果∠TSC=90°,那么∠TSB=______.答案:由题意,BC⊥平面A1B,∵S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,∴BC⊥ST∵∠TSC=90°,∴ST⊥SC∵BC∩SC=C∴ST⊥平面SBC∴ST⊥SB∴∠TSB=90°,故为:90°7.命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是()A.若A∪B≠A,则A∩B≠BB.若A∩B=B,则A∪B=AC.若A∩B≠A,则A∪B≠BD.若A∪B=B,则A∩B=A答案:“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题:“若A∪B≠A则A∩B≠B”故选A.8.给出下列四个命题:
①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②在平行四边形ABCD中,一定有;
③若则
④若则
其中正确的命题个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4答案:C9.对于一组数据的两个函数模型,其残差平方和分别为153.4
和200,若从中选取一个拟合程度较好的函数模型,应选残差平方和为______的那个.答案:残差的平方和是用来描述n个点与相应回归直线在整体上的接近程度残差的平方和越小,拟合效果越好,由于153.4<200,故拟合效果较好的是残差平方和是153.4的那个模型.故为:153.4.10.下列各量:①密度
②浮力
③风速
④温度,其中是向量的个数有()个.A.1B.3C.2D.4答案:根据向量的定义,知道需要同时具有大小和方向两个要素才是向量,在所给的四个量中,密度只有大小,浮力既有大小又有方向,风速既有大小又有方向,温度只有大小没有方向综上可知向量的个数是2个,故选C.11.已知||=2,||=,∠AOB=150°,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设(m,n∈R),则=()
A.
B.
C.
D.答案:B12.如果随机变量ξ~N(0,σ2),且P(-2<ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)等于()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4答案:A13.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=______.答案:∵α∥β∴平面α、β的法向量互相平行,由此可得a=(1,2,-2),b=(-2,-4,k),a∥b∴1-2=2-4=-2k,解之得k=4.故为:414.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0),且b=3a.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1),当直线l与双曲线C的右支相交于A,B不同的两点时,求实数m的取值范围;并证明AB中点M在曲线3(x-1)2-y2=3上.
(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点,问是否存在实数m,使得∠AOB为锐角?若存在,请求出m的范围;若不存在,请说明理由.答案:(1)c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1,b2=3,∴双曲线为x2-y23=1.(2)l:m(x-2)+y=0由y=-mx+2mx2-y23=1得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0由△>0得4m4+(3-m2)(4m2+3)>012m2+9-3m2>0即m2+1>0恒成立又x1+x2>0x1•x2>04m2m2-3>04m2+3m2-3>0∴m2>3∴m∈(-∞,-3)∪(3,+∞)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x22=2m2m2-3y1+y22=-2m3m2-3+2m=-6mm2-3∴AB中点M(2m2m2-3,-6mm2-3)∵3(2m2m2-3-1)2-36m2(m2-3)2=3×(m2+3)2(m2-3)2-36m2(m2-3)2=3•m4+6m2+9-12m2(m2-3)2=3∴M在曲线3(x-1)2-y2=3上.(3)A(x1,y1),B(x2,y2),设存在实数m,使∠AOB为锐角,则OA•OB>0∴x1x2+y1y2>0因为y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2∴(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0∴(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0即7m2+3-12m2>0∴m2<35,与m2>3矛盾∴不存在15.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是()A.
B.
C.
D.
答案:根据函数的定义知:自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应.∴从图象上看,任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点.从而排除A,B,C,故选D.16.执行下列程序后,输出的i的值是()
A.5
B.6
C.10
D.11答案:D17.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是______.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取______人.答案:∵将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组,由分组可知,抽号的间隔为5,∵第5组抽出的号码为22,∴第6组抽出的号码为27,第7组抽出的号码为32,第8组抽出的号码为37.40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5=100,则应抽取的人数为40200×100=20(人).故为:37;2018.在调试某设备的线路设计中,要选一个电阻,调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ,1.1KΩ,1.9KΩ,2.0KΩ,3.5KΩ,4.5KΩ,5.5KΩ七种阻值不等的定值电阻,他用分数法进行优法进行优选试验时,依次将电阻值从小到大安排序号,则第1个试点的电阻的阻值是(
).答案:3.5kΩ19.如图,有两条相交成π3角的直线EF,MN,交点是O.一开始,甲在OE上距O点2km的A处;乙在OM距O点1km的B处.现在他们同时以2km/h的速度行走.甲沿EF的方向,乙沿NM的方向.设与OE同向的单位向量为e1,与OM同向的单位向量为e2.
(1)求e1,e2;
(2)若过2小时后,甲到达C点,乙到达D点,请用e1,e2表示CD;
(3)若过t小时后,甲到达G点,乙到达H点,请用e1,e2表示GH;
(4)什么时间两人间距最短?答案:(1)由题意可得e1=12OA,e2=OB,(2)若过2小时后,甲到达C点,乙到达D点,则OC=-2e1,OD=5e2,故CD=OD-OC=2e1+5e2,(3)同(2)可得:经过t小时后,甲到达G点,乙到达H点,则OG=(-2t+2)e1,OH=(2t+1)e2,故GH=OH-OG=(2t-2)e1+(2t+1)e2,(4)由(3)可得GH=(2t-2)e1+(2t+1)e2,故两人间距离y=|GH|=[(2t-2)e1+(2t+1)e2]2=(2t-2)2+(2t+1)2+2(2t-2)(2t+1)×12=12t2-6t+3,由二次函数的知识可知,当t=--62×12=14时,上式取到最小值32,故14时两人间距离最短.20.分析如图的程序:若输入38,运行右边的程序后,得到的结果是
______.答案:根据程序语句,其意义为:输入一个x,使得9<x<100a=x\10
为去十位数b=xMOD10
去余数,即取个位数x=10*b+a
重新组合数字,用原来二位数的十位当个位,个位当十位否则说明输入有误故当输入38时输出83故为:8321.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是______.答案:根据题意知a=2b,c=3又∵a2=b2+c2∴a2=4
b2=1∴x24+
y2=1故为:∴x24+
y2=1.22.如图P为空间中任意一点,动点Q在△ABC所在平面内运动,且,则实数m=()
A.0
B.2
C.-2
D.1
答案:C23.设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=±x,则双曲线的离心率e=()
A.5
B.
C.
D.答案:C24.写出求1+2+3+4+5+6+…+100的一个算法.可运用公式1+2+3+…+n=n(n+1)2直接计算.
第一步______;
第二步______;
第三步
输出计算的结果.答案:由条件知构成等差数列,从而前n项和公式求得其值,求1+2+3+4+5+6+…+100,故先取n=100,再代入计算S=n(n+1)2.故为:取n=100;计算S=n(n+1)2.25.在repeat语句的一般形式中有“until
A”,其中A是
(
)A.循环变量B.循环体C.终止条件D.终止条件为真答案:D解析:此题考查程序语句解:Until标志着直到型循环,直到终止条件为止,因此until后跟的是终止条件为真的语句.答案:D.26.下列命题中,正确的是()
A.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等
D.若a=b,b=c,则a=c答案:D27.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.
(1)求证:25x
24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5;
(2)求9x2+9y2+z2的最小值.答案:(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][25x24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y]≥(5x+4y+3z)2因为5x+4y+3z=10,所以25x24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥10220=5.(2)根据均值不等式,得9x2+9y2+z2≥29x2?9y2+z2=2?3x2+y2+z2,当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即
(x2+y2+z2)≥2,当且仅当x5=y4=z3时,等号成立.综上,9x2+9y2+z2≥2?32=18.28.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若<n1,n2>=,则二面角A-BD-C的大小为()
A.
B.
C.或
D.或答案:C29.下面程序框图输出的S表示什么?虚线框表示什么结构?答案:由框图知,当r=5时,输出的s=πr2所以程序框图输出的S表示:求半径为5的圆的面积的算法的程序框图,虚线框是一个顺序结构.30.AB是圆O的直径,EF切圆O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC长为______.答案:连接AC、BC,则∠ACD=∠ABC,又因为∠ADC=∠ACB=90°,所以△ACD~△ACB,所以ADAC=ACAB,解得AC=23.故填:23.31.若A为m×n阶矩阵,AB=C,则B的阶数可以是下列中的______.
①m×m,②m×n,③n×m,④n×n.答案:两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时,才能作乘法.矩阵A是n列矩阵,故矩阵B是n行的矩阵则B的阶数可以是③n×m,④n×n故为:③④32.解关于x的不等式(k≥0,k≠1).答案:不等式的解集为{x|x2}解析:原不等式即,1°若k=0,原不等式的解集为空集;2°若1-k>0,即0,所以原不等式的解集为{x|x2}.</k<1,由原不等式的解集为{x|2<x<</k<1时,原不等式等价于33.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:由平面与平
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