数字信号处理之FIR设计

——数字信号处理——李永杰Liyj@电子科技大学生命科学与技术学院第10章FIR数字滤波器的设计DesignofFIRDigitalFilter2/5/2023FIR的系统函数：或FIR滤波器总是稳定的！IIR：2/5/2023IIR数字滤波器： 可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性FIR数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性 因果稳定系统 但阶次比IIR滤波器要高得多2/5/2023设FIR滤波器单位冲激响应

h(n)长度为N，其系统函数H(z)为：按照一定的逼近准则选取

N

和系数

h(n).FIR滤波器的设计任务2/5/202310.1预备知识FIR数字滤波器设计的基本方法FIR数字滤波器阶数的估计10.2基于加窗傅立叶级数的FIR滤波器设计10.5用Matlab设计FIR滤波器主要内容2/5/202310.1预备知识FIR滤波器的设计是基于对指定幅度响应的直接逼近，通常还加上线性相位的条件限制；一些研究者提出了一些先进的方法对给定性能指标的数字滤波器进行阶数估计。两种直接的FIR滤波器设计方法是加窗傅立叶级数法（时域）和频率采样法（频域）；2/5/2023基于加窗傅立叶级数的FIR滤波器设计——基于对指定频率响应的傅立叶级数进行截短来设计。为了使滤波器具有线性相位特性，h[n]需满足：2/5/2023FIR滤波器阶数的估计低通滤波器：归一化通带截止频率ωp，归一化阻带截止频率ωs，最大通带波纹δp，最大阻带波纹δsKaiser方程：Bellanger方程：Hermann方程：(略)（P425~426）2/5/2023对通带宽度适中的FIR滤波器：对通带宽度较窄的FIR滤波器：对通带宽度较宽的FIR滤波器：这样设计出来的FIR滤波器的频率响应特性可能满足也可能不满足给定的指标。如果不满足指标，建议逐渐增加滤波器阶数直到满足指标为止。FIR滤波器阶数的估计2/5/202310.2基于加窗傅立叶级数的FIR滤波器设计设计思路：1)先给定所要求设计的理想滤波器的频率响应Hd(ejw).（周期连续）2)求出理想单位取样响应hd(n).（无限长且非因果）3)用有限长因果的h(n)去逼近

hd(n).h(n)与hd(n)的关系？？2/5/2023给定一个频率响应指标Hd(ej),可以利用上式计算hd(n),从而确定传输函数Hd(z)。10.2.1FIR滤波器的最小积分平方误差设计表示要求(desired)的频率响应函数：是相应的冲激响应序列：2/5/2023理想情况下，要求的频率响应是分段的常数，并且各个频带之间有陡峭的过渡带，在这种情况下，相应的冲激响应序列是无限长并且非因果的。理想低通滤波器的频率响应……对应的冲激响应序列2/5/2023目标是找一个长度为2N+1的有限冲激响应序列

{ht[n]}，其离散时间傅立叶变换Ht(ej)

在某种程度上逼近所要求的离散时间傅立叶变换Hd(ej)。ht[n]Ht(ej)

……2/5/2023窗函数设计法采用的是频域特性均方误差最小的原则：2/5/20232/5/2023利用帕斯瓦尔公式（P76,(3.51)式）:可得：2/5/2023当-NnN时，ht[n]=hd[n]，则频谱均方误差Φ最小；或者说，在均方误差准则下，理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近是通过截短来得到的。2/5/2023向右平移N个样本……2/5/2023矩形窗可以推广用其它窗函数来截取：也可以先右移，后截断：2/5/202310.2.2理想低通滤波器的冲激响应2/5/20232/5/20232/5/202310.2.3Gibbs现象……n=-10~10n=-30~30Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/对于给定的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果FIR滤波器的幅度响应呈现振动的现象，通常称为Gibbs现象。2/5/2023随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数增加，而波纹宽度减小，但是在截止频率两边出现的最大波纹的高度保持不变，它与滤波器的长度无关，并且近似等于理想滤波器通带和阻带幅度差的11%。2/5/2023在其他类型的理想滤波器冲激响应的截短频率响应中，同样可以观察到类似的现象。产生Gibbs现象的原因可以解释为：截短运算可以认为是将无限长冲激响应系数与一个有限长的窗序列w[n]相乘。时间域相乘对应于频率域卷积。2/5/2023……2/5/20232/5/20232/5/20232/5/20232/5/2023Np2Np2-Np4Np4-Npp-主瓣旁瓣)(WW矩形窗的幅度谱……2/5/2023随着M增大，主瓣和旁瓣的宽度均减小，但主瓣和旁瓣下的面积保持不变。随着M增大，波纹变密，但波纹幅度不变。2/5/20232/5/2023采用矩形窗函数，其第一旁瓣肩峰可达8.95%2/5/2023用矩形窗设计的Wc=p/2FIR滤波器的幅度响应051-40-30-21-100M=14M=30Gaindb2/5/2023矩形窗在-NnN以外的范围有陡峭的下降沿，它是加窗理想滤波器冲激响应序列出现Gibbs现象的原因;Gibbs现象可以通过采用两边都逐渐平滑减少到零的窗函数，或从通带到阻带有平滑的过渡带的方法来减少。使用渐变的窗函数可以使旁瓣的高度减小，但使主瓣的宽度相应地增加，结果在不连续点间出现了更宽的过渡带。2/5/20232/5/2023Rectangular(矩形)窗Bartlett(巴特利特)窗(三角形窗)Hanning(汉宁)窗Hamming(海明)窗Blackman(布莱克曼)窗10.2.4常用的固定窗函数w(n)(P432)2/5/2023(P432)以上窗函数以0为中心。需要对其进行右移。得到形式略为不同的函数形式。2/5/20232/5/2023M=252/5/2023矩形窗的幅度谱WNp2Np2-Np4Np4-Npp-主瓣旁瓣)(WW主瓣宽度一个窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度和相对旁瓣级（最大旁瓣与主瓣以dB为单位的幅度差值）;2/5/2023Rectangular(矩形)窗:2/5/20232/5/2023051-40-30-21-100M=14M=30Gaindb用矩形窗设计的Wc=p/2FIR滤波器的幅度响应2/5/2023Bartlett(巴特利特)窗(三角形窗):2/5/20232/5/2023Hanning（汉宁）窗（升余弦窗）：倒余弦2/5/20232/5/2023(M=38)051-80-60-44-200Square

HanningGaindB用Hanning窗设计的Wc=p/2FIR滤波器的幅度响应2/5/2023Hamming（海明）窗（改进的升余弦窗）:2/5/20232/5/2023051-80-60-52-200Square

HammingGaindb(M=38)用Hamming窗设计的Wc=p/2FIR滤波器的幅度响应2/5/2023Blackman（布莱克曼）窗:2/5/20232/5/2023051-100-75-60-40-200Square

BlackmanGaindb(M=38)用Blackman窗设计的Wc=p/2FIR滤波器的幅度响应2/5/2023HanningHammingBlackman2/5/20232/5/2023一个窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度和相对旁瓣级（最大旁瓣与主瓣以dB为单位的幅度差值）;

最大通带偏移和最小阻带值之间的距离近似等于窗的主瓣宽度（见下页图）;

为了保证从通带快速过渡到阻带，窗函数应该有一个非常小的主瓣，另一方面，为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也要求非常小。遗憾的是，这两个要求是相互矛盾的。2/5/20232/5/2023矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布莱克曼窗凯泽窗2/5/2023几种窗函数是各以一定主瓣加宽为代价，来换取某种程度的旁