2023年贵州职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年贵州职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知0＜a＜1，loga（1-x）＜logax则（）

A．0＜x＜1

B．x＜

C．0＜x＜

D．＜x＜1答案：C2.对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“______”．答案：在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，我们常用由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，故由平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，我们可以推断在立体几何中：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”这个命题是一个真命题．故为：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．3.已知向量=(x，1)，=(3，6)，且⊥，则实数x的值为（）

A．

B．-2

C．2

D．-答案：B4.若直线l经过点M（1，5），且倾斜角为2π3，则直线l的参数方程为______．答案：由于过点（a，b）倾斜角为α的直线的参数方程为x=a+t•cosαy=b+t•sinα（t是参数），∵直线l经过点M（1，5），且倾斜角为2π3，故直线的参数方程是x=1+t•cos2π3y=5+t•sin2π3即x=1-12ty=5+32t（t为参数）．故为：x=1-12ty=5+32t（t为参数）．5.已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3

y

2

4

6

8

则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（）

A．（1.5，4）

B．（1.5，5）

C．（1，5）

D．（2，5）答案：B6.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为

______．答案：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况：甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁，因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为12．故为：12．7.已知A（3，-2），B（-5，4），则以AB为直径的圆的方程是（）A．（x-1）2+（y+1）2=25B．（x+1）2+（y-1）2=25C．（x-1）2+（y+1）2=100D．（x+1）2+（y-1）2=100答案：∵A（3，-2），B（-5，4），∴以AB为直径的圆的圆心为（-1，1），半径r=(-1-3)2+(1+2)2=5，∴圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=25故选B．8.某海域有A、B两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是A、B两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3．你能否确定鱼群此时分别与A、B两岛的距离？答案：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)且c=a2-b2------（3分）因为焦点A的正西方向椭圆上的点为左顶点，所以a-c=20------（5分）又|AB|=2c=40，则c=20，a=40，故b=203------（7分）所以鱼群的运动轨迹方程是x21600+y21200=1------（8分）由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3，因此设此时距A，B两岛的距离分别为5k，3k-------（10分）由椭圆的定义可知5k+3k=2×40=80⇒k=10--------（13分）即鱼群分别距A，B两岛的距离为50海里和30海里．------（14分）9.已知原点O（0，0），则点O到直线4x+3y+5=0的距离等于

______．答案：利用点到直线的距离公式得到d=|5|42+32=1，故为1．10.各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．答案：（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则an=2n-1（Ⅱ）只需证：1+13+…+12n-1≤

2n-1．1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．当n=2时，左边＜右边，所以命题成立②假设n=k时命题成立，即1+13+…+12k-1≤2k-1，当n=k+1时，左边=1+13+…+12K-1+12K+1≤2K-1+12K+1．＜2K-1+22K+1+2K-1=2K-1+2(2K+1-2K-1)

2=2(K+1)-1．命题成立由①②可知，1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．11.设集合A={1，2}，={2，3}，C={2，3，4}，则（A∩B）∪C=______．答案：由题得：A∩B={2}，又因为C={2，3，4}，（故A∩B）∪C={2，3，4}．故为

{2，3，4}．12.设a∈（0，1）∪（1，+∞），对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，则实数a的取值范围是______．答案：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当0＜x≤12时，函数y=4x的图象如下图所示：∵对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（12，2）点时，a=22，故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足22＜a＜1．故为：（22，1）．13.圆的极坐标方程是ρ=2cosθ+2sinθ，则其圆心的极坐标是（）

A．(2，)

B．(2，)

C．(1，)

D．(1，)答案：A14.以过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（）

A．相交

B．相切

C．相离

D．不能确定答案：C15.已知向量a与向量b，|a|=2，|b|=3，a、b的夹角为60°，当1≤m≤2，0≤n≤2时，|ma+nb|的最大值为______．答案：∵|a|=2，|b|=3，a、b的夹角为60°，∴|ma+nb|2=m2a2+2mna?b+n2b2=4m2+2mn×2×3×cos60°+9n2=4m2+6mn+9n2，∵1≤m≤2，0≤n≤2，∴当m=2且n=2时，|ma+nb|2取到最大值，即|ma+nb|2max=100，∴，|ma+nb|的最大值为10．故为：10．16.为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频率分布表，解答下列问题：

序号

（i）分组

（分数）本组中间值

（Gi）频数

（人数）频率

（Fi）1（60，70）65①0.122[70，80）7520②3[80，90）85③0.244[90，100]95④⑤合

计501（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；

（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参赛的800名学生中大概有多少同学获奖？

（3）请根据频率分布表估计该校高二年级参赛的800名同学的平均成绩．答案：（1）①为6，②为0.4，③为12，④为12⑤为0.24．（5分）（2）（12×0.24+0.24）×800=288，即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖．（9分）（3）65×0.12+75×0.4+85×0.24+95×0.24=81（4）估计平均成绩为81分．（12分）17.已知命题p、q，若命题“p∨q”与命题“￢p”都是真命题，则（）A．命题q一定是真命题B．命题q不一定是真命题C．命题p不一定是假命题D．命题p与命题q的真值相等答案：∵命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，∴命题p为假命题，q为真命题．故选A．18.5颗骰子同时掷出，共掷100次则至少一次出现全为6点的概率为（

）A．B．C．D．答案：C解析：5颗骰子同时掷出，没有全部出现6点的概率是，共掷100次至少一次出现全为6点的概率是.19.在边长为1的正方形中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机的撒入100粒豆子，恰有60粒落在阴影区域内，那么阴影区域的面积为______．

答案：设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，则60100=x1，解得x=35．故为：35．20.设随机事件A、B，P(A)=35，P(B|A)=12，则P（AB）=______．答案：由条件概率的计算公式，可得P（AB）=P（A）×P（B|A）=35×12=310；故为310．21.如图，四边形ABCD内接于圆O，且AC、BD交于点E，则此图形中一定相似的三角形有（）对．

A．0

B．3

C．2

D．1

答案：C22.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是（）A．f（x）=log2xB．f(x)=1xC．f（x）=|x|D．f（x）=2x答案：∵函数y=1x定义域为x＞0，又函数f（x）=log2x定义域x＞0，故选A．23.如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为______．答案：由题意可得点OA=OB=2，AC=5设双曲线的标准方程是x2a2-y2b2=1．则2a=AC-BC=5-3=2，所以a=1．所以b2=c2-a2=4-1=3．所以双曲线的标准方程是x2-y23=1．故为：x2-y23=124.下列点在x轴上的是（）

A．（0.1，0.2，0.3）

B．（0，0，0.001）

C．（5，0，0）

D．（0，0.01，0）答案：C25.把点按向量平移到点，则的图象按向量平移后的图象的函数表达式为（

）.A．B．C．D．答案：D解析：，由可得，所以平移后的函数解析式为26.已知函数f（x）=x2+（a2-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围______．答案：∵函数f（x）=x2+（a2-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小∴f（1）＜0∴1+a2-1+a-2＜0∴a2+a-2＜0∴-2＜a＜1∴实数a的取值范围为（-2，1）故为：（-2，1）27.我市某机构为调查2009年下半年落实中学生“阳光体育”活动的情况，设平均每人每天参加体育锻炼时间为X（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上，有10000名中学生参加了此项活动，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A．0.62B．0.38C．6200D．3800答案：由图知输出的S的值是运动时间超过20分钟的学生人数，由于统计总人数是10000，又输出的S=6200，故运动时间不超过20分钟的学生人数是3800事件“平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的”频率是380010000=0.38故选B28.将3封信投入5个邮筒，不同的投法共有（）

A．15

种

B．35

种

C．6

种

D．53种答案：D29.经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是______．答案：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或y=x．故为：x+y=2或y=x30.若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=ax+b的大致图象是(

)

答案：D解析：试题分析：解：由函数f（x）=loga（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=loga（x+b）的图象由f（x）=logax向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=ax+b的大致图象是D故选D.31.编号为A、B、C、D、E的五个小球放在如图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1，2号，B必需放在与A相邻的盒子中，则不同的放法有（）种．A．42B．36C．30D．28答案：根据题意，A不能放1，2号，则A可以放在3、4、5号盒子，分2种情况讨论：①当A在4、5号盒子时，B有1种放法，剩下3个有A33=6种不同放法，此时，共有2×1×6=12种情况；②当A在3号盒子时，B有3种放法，剩下3个有A33=6种不同放法，此时，共有1×3×6=18种情况；由加法原理，计算可得共有12+18=30种不同情况；故选C．32.(几何证明选讲选做题)如图，梯形，，是对角线和的交点，，则

。

答案：1：6解析：，

，，∵，，而∴。33.设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于（）

A．

B．

C．

D．答案：D34.设a，b是不共线的两个向量，已知=2+m，=+，=-2．若A，B，D三点共线，则m的值为（）

A．1

B．2

C．-2

D．-1答案：D35.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点P1的坐标特点为

______，在Oy轴上的点P2的坐标特点为

______，在Oz轴上的点P3的坐标特点为

______，在xOy平面上的点P4的坐标特点为

______，在yOz平面上的点P5的坐标特点为

______，在xOz平面上的点P6的坐标特点为

______．答案：由空间坐标系的定义知；Ox轴上的点P1的坐标特点为（x，0，0），在Oy轴上的点P2的坐标特点为（0，y，0），在Oz轴上的点P3的坐标特点为（0，0，z），在xOy平面上的点P4的坐标特点为（x，y，0），在yOz平面上的点P5的坐标特点为（0，y，z），在xOz平面上的点P6的坐标特点为（x，0，z）．故应依次为（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．36.已知：|.a|=1，|.b|=2，＜a，b＞=60°，则|a+b|=______．答案：由题意|a+b|2=(a+b)2=a2+2b?a+b2=1+4+2×2×1×cos＜a，b＞=5+2=7∴|a+b|=7故为737.设点P(+，1)(t＞0)，则||（O为坐标原点）的最小值是（）

A．

B．

C．5

D．3答案：A38.设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，

证明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.答案：证明略解析：分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.……………3分（2）当x12+x22＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1）…7分其根的判别式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.………9分由题意x12+x22＜1，函数f（x）的图象开口向下.又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，………11分因此抛物线与x轴必有公共点.∴Δ≥0.∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，…………13分即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.……………14分39.已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线l，点A∈l，线段AF交C于点B．若=3，则=（

）

A．

B．2

C．

D．3答案：A40.若A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B=（）

A．{2，1}

B．{（2，1）}

C．{1，2}

D．{（1，2）}答案：D41.设F为拋物线y2=ax（a＞0）的焦点，点P在拋物线上，且其到y轴的距离与到点F的距离之比为1：2，则|PF|等于（）

A．

B．a

C．

D．答案：D42.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110为了判断爱好该项运动是否与性别有关，由表中的数据此算得k2≈7.8，因为P（k2≥6.635）≈0.01，所以判定爱好该项运动与性别有关，那么这种判断出错的可能性为______．答案：由题意知本题所给的观测值，k2≈7.8∵7.8＞6.635，又∵P（k2≥6.635）≈0.01，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，故为：1%43.下列命题中正确的是（）

A．若，则

B.若，则

．若，则

D．若，则答案：C44.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是______答案：在等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+)中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故为：1+2+3+445.2010年广州亚运会乒乓球男单决赛中，马龙与王皓在前三局的比分分别是9：11、11：8、11：7，已知马琳与王皓的水平相当，比赛实行“七局四胜”制，即先赢四局者胜，求（1）王皓获胜的概率；

（2）比赛打满七局的概率．（3）记比赛结束时的比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．答案：（1）在马龙先前三局赢两局的情况下，王皓取胜有两种情况．第一种是王皓连胜三局；第二种是在第四到第六局，王皓赢了两局，第七局王皓赢．在第一种情况下王皓取胜的概率为(12)3=18；在第二种情况下王皓取胜的概率为为C23(12)3×12=316，王皓获胜的概率18+316=516；（3分）（2）比赛打满七局有两种结果：马龙胜或王皓胜．记“比赛打满七局，马龙胜”为事件A，则P（A）=C13(12)3×12=316；记“比赛打满七局，王皓胜”为事件B，则P（B）=C23(12)3×12=316；因为事件A、B互斥，所以比赛打满七局的概率为P（A）+P（B）=38．（7分）（3）比赛结束时，比赛的局数为5，6，7，则打完五局马龙获胜的概率为12×12=14；打完六局马琳获胜的概率为C12(12)2×12=14，王皓取胜的概率为(12)3=18；比赛打满七局，马龙获胜的概率为C13(12)3×12=316，王皓取胜的概率为为C23(12)3×12=316；所以ξ的分布列为ξ567P（ξ）143838Eξ=5×14+6×38+7×38=498．（12分）46.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3B．2C．3D．2答案：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选B．47.把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是

______．答案：把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点到起点的距离都等于1，所以，由圆的定义得，这些向量的终点所构成的图形是半径为1的圆．48.直线2x-3y+10=0的法向量的坐标可以是答案：C49.如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，A是切点，过

B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分

∠BAD，则∠BAD=（）

A．30°

B．45°

C．50°

D．60°

答案：D50.如图，椭圆C2x2a2+

y2b2=1的焦点为F1，F2，|A1B1|=7，S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A，B两点的直线|op|=1，是否存在上述直线l使OA•OB=0成立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由．答案：（Ⅰ）由题意可知a2+b2=7，∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2，∴a=2c．解得a2=4，b2=3，c2=1．∴椭圆C的方程为x24+y33=1．（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），假设使OA•OB=0成立的直线l存在．（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点，且|OP|=1得|m|1+

k2=1，即m2=k2+1，由OA•OB=0得x1x2+y1y2=0，将y=kx+m代入椭圆得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0，x1+x2=-8km3+4k2，①，x1x2=4m2-123+4k2，②0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2把①②代入上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m2（3+4k2）=0，③将m2=1+k2代入③并化简得-5（k2+1）=0矛盾．即此时直线l不存在．（ii）当l垂直于x轴时，满足|OP|=1的直线l的方程为x=1或x=-1，由A、B两点的坐标为(1，32)，(1，-32)或(-1，32)，(-1，-32)．当x=1时，OA•OB=(1，32)•

(1，-32)=-54≠0．当x=-1时，OA•OB=(-1，32)•

(-1，-32)=-54≠0．∴此时直线l也不存在．综上所述，使OA•OB=0成立的直线l不成立．第2卷一.综合题(共50题)1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段CD的中点，若AC=a，BD=b，则AE=______．（用a、b表示）答案：∵平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段CD的中点，若AC=a，BD=b，∴AE=AO+OE=12a+OD+OC2=12a+a+b4=3a4+14b．故为：34a+14b．2.已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）

A．0

B．-8

C．2

D．10答案：B3.设a=(2，2m-3，n+2)，b=(4，2m+1，3n-2)，且a∥b，则实数m，n的值分别为______．答案：因为a=(2，2m-3，n+2)，b=(4，2m+1，3n-2)，且a∥b，根据空间向量平行的坐标表示公式，

所以24=2m-32m+124=n+23n-2，解得：m=12，n=6．故为：m=12，n=6．4.若平面向量a与b的夹角为120°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|=______．答案：∵|a+2b|=(a+2b)2=a

2+4a?b+4

b2=|a|2+4|a||b|cos＜a，b＞+4|b|2=22+4×2×1cos120°+4×1=2．故为：25.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则BE=______．答案：BE=12(BP+BD)=-12PB

+12(BA+BC)=-12PB+12BA+12BC=-12PB+12(PA-PB)+12(PC-PB)=-32PB+12PA+

12PC=12a-32b+12c．故为：12a-32b+12c．6.如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为2米，球的半径r为0.5米．

（1）这种“浮球”的体积是多少立方米（结果精确到0.1m3）？

（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）．答案：（1）∵球的半径r为0.5米，∴两个半球的体积之和为V球=43πr3=43π?18=16πm3，∵圆柱的高为2米，∴V圆柱=πr2?h=π×14×2=12πm3，∴该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=23π≈2.1m3；（2）圆柱筒的表面积为2πrh=2πm2；两个半球的表面积为4πr2=πm2，∵圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，∴该“浮球”的建造费用为2π×20+π×30=70π≈220元．7.下列各量：①密度

②浮力

③风速

④温度，其中是向量的个数有（）个．A．1B．3C．2D．4答案：根据向量的定义，知道需要同时具有大小和方向两个要素才是向量，在所给的四个量中，密度只有大小，浮力既有大小又有方向，风速既有大小又有方向，温度只有大小没有方向综上可知向量的个数是2个，故选C．8.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则CU（S∪T）等于（）A．φB．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}答案：∵S∪T={1，3，5，6}，∴CU（S∪T）={2，4，7，8}．故选B．9.已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ，直线的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+7=0，则圆心到直线距离为

______．答案：由ρ=2cosθ⇒ρ2=2ρcosθ⇒x2+y2-2x=0⇒（x-1）2+y2=1，ρcosθ-2ρsinθ+7=0⇒x-2y+7=0，∴圆心到直线距离为：d=1-2×0+712+22=855．故为：855．10.若a1≤a2≤…≤an，而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn，证明：a1b1+a2b2+…+anbnn≤（a1+a2+…+ann）•（b1+b2+…+bnn）．当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时等号成立．答案：证明不妨设a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn．则由排序原理得：a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2…a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1．将上述n个式子相加，得：n（a1b1+a2b2+…+anbn）≤（a1+a2+…+an）（b1+b2+…+bn）上式两边除以n2，得：a1b1+a2b2+…+anbnn≤(a1+a2+…+ann)(b1+b2+…+bnn)等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立．11.利用计算机随机模拟方法计算y=x2与y=4所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤：

第一步：利用计算机产生两个在[0，1]区间内的均匀随机数a，b；

第二步：对随机数a，b实施变换：答案：根据题意可得，点落在y=x2与y=4所围成的区域Ω的点的概率是100-34100=66100，矩形的面积为4×4=16，阴影部分的面积为S，则有S16=66100，∴S=10.56．故为：10.56．12.在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）

A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2

B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2

C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1

D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1答案：B13.有一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为______．答案：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次，共有4×4×4=64种结果，满足条件的事件是三次在正四面体底面的数字和为S，S恰好为4，可以列举出这种事件，（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=364，故为：364．14.如图程序框图箭头a指向①处时，输出

s=______．箭头a指向②处时，输出

s=______．答案：程序在运行过程中各变量的情况如下表所示：（1）当箭头a指向①时，是否继续循环

S

i循环前/0

1第一圈

是

1

2第二圈

是

2

3第三圈

是

3

4第四圈

是

4

5第五圈

是

5

6第六圈

否故最终输出的S值为5，即m=5；（2）当箭头a指向②时，是否继续循环

S

i循环前/0

1第一圈

是

1

2第二圈

是

1+2

3第三圈

是

1+2+3

4第四圈

是

1+2+3+4

5第五圈

是

1+2+3+4+5

6第六圈

否故最终输出的S值为1+2+3+4+5=15；则n=15．故为：5，15．15.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3答案：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4体积V=Sh=12×6×4×4=48cm3故选A16.过P（-1，1），Q（3，9）两点的直线的斜率为（

）

A．2

B．

C．4

D．答案：A17.设O是正△ABC的中心，则向量AO,BO.CO是（）

A．相等向量

B．模相等的向量

C．共线向量

D．共起点的向量答案：B18.无论m，n取何实数值，直线(3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P，则P点坐标为

A.(-1，3)

B.

C.

D.答案：D19.化简：AB+CD+BC=______．答案：如图：AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD．故为：AD．20.已知向量=（1，1，-2），=(2，1，)，若≥0，则实数x的取值范围为（）

A．(0，)

B．(0，]

C．（-∞，0）∪[，+∞)

D．（-∞，0]∪[，+∞)答案：C21.

圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心的极坐标是（）

A．（1，）

B．（，）

C．（，）

D．（2，）

答案：A22.对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则N等于（）A．150B．200C．120D．100答案：∵每个零件被抽取的概率都相等，∴30N=0.25，∴N=120．故选C．23.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是______．答案：∵圆过原点，圆心在x轴的负半轴上，∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径，又∵半径r=2，∴圆心坐标为（-2，0），由此可得所求圆的方程为（x+2）2+y2=2．故为：（x+2）2+y2=224.如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B、C两点，PA=3，PB=1，则∠C=______．答案：∵PA切圆O于A点，PBC是圆O的割线∴PA2=PB?PC，可得（3）2=1×PC，得PC=3∵点O在BC上，即BC是圆O的直径，∴∠ABC=90°，由弦切角定理，得∠PAB=∠C，∠PAC=90°+∠C∴△PAC中，根据正弦定理，得PAsinC=PCsin∠PAC即3sinC=3sin(90°+C)，整理得tanC=33∵∠C是锐角，∴∠C=30°．故为：30°25.已知：集合A={x，y}，B={2，2y}，若A=B，则x+y=______．答案：∵集合A={x，y}，B={2，2y}，而A=B∴x=2y=0或x=2yy=2即x=4y=2∴x+y=2或6故为：2或626.某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．答案：设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0．依题意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=14，P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=116，则ξ的分布列为∴所求期望值为Eξ=14(1000+800+600)+116(500+400+300+0)=675元．27.已知l1、l2是过点P（-2，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．

（1）求l1的斜率k1的取值范围；

（2）若|A1B1|=5|A2B2|，求l1、l2的方程．答案：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+2）．联立得y=k1（x+2），y2-x2=1，消去y得（k12-1）x2+22k12x+2k12-1=0．①根据题意得k12-1≠0，②△1＞0，即有12k12-4＞0．③完全类似地有1k21-1≠0，④△2＞0，即有12•1k21-4＞0，⑤从而k1∈（-3，-33）∪（33，3）且k1≠±1．（2）由弦长公式得|A1B1|=1+k2112k21-4(k21-1)2．⑥完全类似地有|A2B2|=1+1k2112-4k21(k21-1)2．⑦∵|A1B1|=5|A2B2|，∴k1=±2，k2=.+22．从而l1：y=2（x+2），l2：y=-22（x+2）或l1：y=-2（x+2），l2：y=22（x+2）．28.根据下面的要求，求满足1+2+3+…+n＞500的最小的自然数n．

（1）画出执行该问题的程序框图；

（2）以下是解决该问题的一个程序，但有几处错误，请找出错误并予以更正．

i=1S=1n=0DO

S＜=500

S=S+i

i=i+1

n=n+1WENDPRINT

n+1END．答案：（1）程序框图如左图所示．或者，如右图所示：（2）①DO应改为WHILE；

②PRINT

n+1

应改为PRINT

n；

③S=1应改为S=0．29.已知函数f(x)=2x，x≥01，

x＜0，若f（1-a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是______．答案：函数f(x)=2x，x≥01，

x＜0，x＜0时是常函数，x≥0时是增函数，由f（1-a2）＞f（2a），所以2a＜1-a21-a2＞0，解得：-1＜a＜2-1，故为：-1＜a＜2-1．30.已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，

⊥，则x+y的值是（）

A．-3或1

B．3或1

C．-3

D．1答案：A31.已知函数f（x）=2x，数列{an}满足a1=f（0），且f（an+1）=（n∈N*），

（1）证明数列{an}是等差数列，并求a2010的值；

（2）分别求出满足下列三个不等式：，

的k的取值范围，并求出同时满足三个不等式的k的最大值；

（3）若不等式对一切n∈N*都成立，猜想k的最大值，并予以证明。答案：解：（1）由，得，即，∴是等差数列，∴，∴。（2）由，得；，得；，得，，∴当k同时满足三个不等式时，。（3）由，得恒成立，令，则，，∴，∵F（n）是关于n的单调增函数，∴，∴。32.若A(-2，3)，B(3，-2)，C(，m)三点共线

则m的值为（）

A．

B．-

C．-2

D．2答案：A33.已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

①计算c=a2+b2；

②输入直角三角形两直角边长a，b的值；

③输出斜边长c的值；

其中正确的顺序是（）A．①②③B．②③①C．①③②D．②①③答案：由算法规则得：第一步：输入直角三角形两直角边长a，b的值，第二步：计算c=a2+b2，第三步：输出斜边长c的值；这样一来，就是斜边长c的一个算法．故选D．34.已知f（x）=2x2+1，则函数f（cosx）的单调减区间为______．答案：解；∵f（x）=2x2+1，∴f（cosx）=2cos2x+1=1+cos2x+1=cos2x+2，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z．解得kπ≤x≤kπ+π2，k∈Z．∴函数f（cosx）的单调减区间为[kπ，π2+kπ]，k∈Z．故为：[kπ，π2+kπ]，k∈Z．35.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi（i=1，2，3，4），若a11=a22=a33=a44=k，则4

i=1(ihi)=2Sk．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi（i=1，2，3，4），若S11=S22=S33=S44=K，则4

i=1(iHi)=（）A．4VKB．3VKC．2VKD．VK答案：根据三棱锥的体积公式V=13Sh得：13S1H1+13S2H2+13S3H3+13S4H4=V，即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴H1+2H2+3H3+4H4=3VK，即4i=1(iHi)=3VK．故选B．36.已知平面向量=（1，-3），=（4，-2），λ+与垂直，则λ是（）

A．1

B．2

C．-2

D．-1答案：D37.若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是______．答案：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1，2），故为[1，2）．38.设圆M的方程为（x-3）2+（y-2）2=2，直线L的方程为x+y-3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）

A．点P在直线L上，但不在圆M上

B．点P在圆M上，但不在直线L上

C．点P既在圆M上，又在直线L上

D．点P既不在直线L上，也不在圆M上答案：C39.设z∈C，|z|≤2，则点Z表示的图形是（）A．直线x=2的左半平面B．半径为2的圆面C．直线x=2的右半平面D．半径为2的圆答案：由题意z∈C，|z|≤2，由得数的几何意义知，点Z表示的图形是半径为2的圆面，故选B40.若随机变量ξ～N（2，9），则随机变量ξ的数学期望c=（）

A．4

B．3

C．2

D．1答案：C41.下列函数图象中，正确的是（）

A．

B．

C．

D．

答案：C42.抛物线y=-12x2上一点N到其焦点F的距离是3，则点N到直线y=1的距离等于______．答案：∵抛物线y=-12x2化成标准方程为x2=-2y∴抛物线的焦点为F（0，-12），准线方程为y=12∵点N在抛物线上，到焦点F的距离是3，∴点N到准线y=12的距离也是3因此，点N到直线y=1的距离等于3+（1-12）=72故为：7243.图为一个几何体的三视国科，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．23+π6B．23+4πC．33+π6D．33+4π3答案：由图中数据，下部的正三棱柱的高是3，底面是一个正三角形，其边长为2，高为3，故其体积为3×12×2×3=33上部的球体直径为1，故其半径为12，其体积为4π3×(12)3=π6故组合体的体积是33+π6故选C44.已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则y=f（x）的函数解析式为（x≥0）（）A．0.0424x100B．0.9576x100C．0.0424100xD．0.9576100x答案：由题意可得，对于函数，当x=100时，y=95.76%=0.9576，结合选项检验选项A：x=100，y=0.0424，故排除A选项B：x=100，y=0.9576，故B正确故选：B解析：已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则y=f（x）的函数解析式为（x≥0）（）A．0.0424x100B．0.9576x100C．0.0424100x45.已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0，与l2：2（k-3）x-2y+3=0，平行，则k的值是______．答案：当k=3时两条直线平行，当k≠3时有2=-24-k≠3

所以

k=5故为：3或5．46.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（）

A．三角形中有两个内角是钝角

B．三角形中有三个内角是钝角

C．三角形中至少有两个内角是钝角

D．三角形中没有一个内角是钝角答案：C47.若P（2，-1）为曲线x=1+5cosθy=5sinθ（0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为______．答案：∵曲线x=1+5cosθy=5sinθ（0≤θ＜2π），∴（x-1）2+y2=25，∵P（2，-1）为曲线x=1+5cosθy=5sinθ（0≤θ＜2π）的弦的中点，设过点P（2，-1）的弦与（x-1）2+y2=25交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4y1+y2=-2，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入（x-1）2+y2=25，得(x1-1)2+y

12=25(x2-1)2+y22=25，∴x12-2x1+1+y12=25，①x22-2x2+1+y22=25，②，①-②，得4（x1-x2）-2（x1-x2）-2（y1-y2）=0，∴k=y1-y2x1-x2=1，∴该弦所在直线的普通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0．故为：x-y-3=0．48.试指出函数y=3x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y=（13）x+1+2的图象．答案：把函数y=3x的图象经过3次变换，可得函数y=（13）x+1+2的图象，步骤如下：y=3x沿y轴对称y=（13）x左移一个单位y=（13）x+1上移2个单位y=（13）x+1+2．49.某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．答案：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2．（Ⅰ）不需要补考就获得证书的事件为A1?B1，注意到A1与B1相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率可得P(A1?B1)=P(A1)×P(B1)=23×12=13．即该考生不需要补考就获得证书的概率为13．（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率可得P(ξ=2)=P(A1?B1)+P(.A1?.A2)=23×12+13×13=13+19=49．P(ξ=3)=P(A1?.B1?B2)+P(A1?.B1?.B2)+P(.A1?A2?B2)=23×12×12+23×12×12+13×23×12=16+16+19=49，P(ξ=4)=P(.A1?A2?.B2?B2)+P(.A1?A2?.B1?.B2)=13×23×12×12+13×23×12×12=118+118=19，∴Eξ=2×49+3×49+4×19=83．即该考生参加考试次数的数学期望为83．50.点M（2，-3，1）关于坐标原点对称的点是（）

A．（-2，3，-1）

B．（-2，-3，-1）

C．（2，-3，-1）

D．（-2，3，1）答案：A第3卷一.综合题(共50题)1.规定符号“△”表示一种运算，即a△b=ab+a+b，其中a、b∈R+；若1△k=3，则函数f（x）=k△x的值域______．答案：1△k=k+1+k=3，解得k=1，∴k=1∴f（x）=k△x=kx+k+x=x+x+1对于x需x≥0，∴对于f（x）=x+x+1=（x+12）2+34≥1故函数f（x）的值域为[1，+∞）故为：[1，+∞）2.已知边长为1的正方形ABCD，则|AB+BC+CD|=______．答案：利用向量加法的几何性质，得AB+BC=AC∴AB+BC+CD=AD因为正方形的边长等于1所以|AB+BC+CD|=|AD|

=1故为：13.化简的结果是（）

A．a2

B．a

C．a

D．a答案：C4.若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（）A．2B．2.5C．5D．10答案：设母线长为l，则S侧=π（1+3）l=4πl．S上底+S下底=π?12+π?32=10π．据题意4πl=20π即l=5，故选C．5.已知△ABC的三个顶点为A（1，-2，5），B（-1，0，1），C（3，-4，5），则边BC上的中线长为______．答案：∵A（1，-2，5），B（-1，0，1），C（3，-4，5），∴BC的中点为D（1，-2，3），∴|AD|=(1-1)2+(-2+2)2+(5-3)2=2．故为：2．6.P在⊙O外，PC切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则（）

A．∠PCB=∠B

B．∠PAC=∠P

C．∠PCA=∠B

D．∠PAC=∠BCA答案：C7.“所有10的倍数都是5的倍数，某数是10的倍数，则该数是5的倍数，”上述推理（）

A．完全正确

B．推理形式不正确

C．错误，因为大小前提不一致

D．错误，因为大前提错误答案：A8.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD=λAO，则λ=______．答案：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB+AD=AC，又O为AC的中点，∴AC=2AO，∴AB+AD=2AO，∵AB+AD=λAO，∴λ=2．故为：2．9.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，下列对乙运动员的判断错误的是（）A．乙运动员得分的中位数是28B．乙运动员得分的众数为31C．乙运动员的场均得分高于甲运动员D．乙运动员的最低得分为0分答案：根据题意，可得甲的得分数据：8，14，16，13，23，26，28，30，30，39可得甲得分的平均数是22.7乙的得分数据：12，15，25，24，21，31，36，31，37，44可得乙得分的平均数是27.6，31出现了两次，可得乙得分的众数是1将乙得分数据按从小到大的顺序排列，位于中间的两个数是25和31，故中位数是12（25+31）=28由以上的数据，可得：乙运动员得分的中位数是28，A项是正确的；乙运动员得分的众数为31，B项是正确的；乙运动员的场均得分高于甲运动员，C各项是正确的．而D项因为乙运动员的得分没有0分，故D项错误故选：D10.根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．答案：画法：（1）画轴如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．（2）画圆台的两底面画出底面⊙O假设交x轴于A、B两点，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′、B′两点．（3）成图连接A′A、B′B，去掉辅助线，将被遮挡的部分要改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图．11.两名女生，4名男生排成一排，则两名女生不相邻的排法共有______

种（以数字作答）答案：由题意，先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有A44?A25=480种故为：48012.已知f（10x）=x，则f（5）=______．答案：令10x=5可得x=lg5所以f（5）=f（10lg5）=lg5故为：lg513.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是______．答案：将命题“正数的绝对值等于它本身”改写为“若一个数是正数，则其绝对值等于它本身”，所以逆命题是“若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数”，即“绝对值等于它本身的数是正数”．故为：“绝对值等于它本身的数是正数”．14.有一批机器，编号为1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台，问此样本若采用简单的随机抽样方法将如何获得？答案：本题可以采用抽签法来抽取样本，首先把该校学生都编上号001，002，112…用抽签法做112个形状、大小相同的号签，然后将这些号签放到同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽一个号签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本．15.下列命题错误的是（

）A．命题“若，则中至少有一个为零”的否定是：“若，则都不为零”。B．对于命题，使得；则是，均有。C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”。D．“”是“”的充分不必要条件。答案：A解析：命题的否定是只否定结论，∴选A.16.设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，

证明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.答案：证明略解析：分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.……………3分（2）当x12+x22＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1）…7分其根的判别式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.………9分由题意x12+x22＜1，函数f（x）的图象开口向下.又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，………11分因此抛物线与x轴必有公共点.∴Δ≥0.∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，…………13分即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.……………14分17.用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作。已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1、N2正常工作的概率.

答案：0.792解析：解：分别记三个元件A、B、C能正常工作为事件A、B、C，由题意，这三个事件相互独立，系统N1正常工作的概率为P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.8´0.9´0.9=0.648系统N2中，记事件D为B、C至少有一个正常工作，则P（D）=1–P（）="1–"P（）·P（）=1–（1–0.9）´（1–0.9）=0.99系统N2正常工作的概率为P（A·D）=P（A）·P（D）=0.8´0.99=0.792。18.若数据x1，x2，…，xn的方差为3，数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的标准差为23，则实数a的值为______．答案：数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差是数据x1，x2，…，xn的方差的a2倍；则数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为3a2，标准差为3a2=23解得a=±2故为：±219.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BD⊥AB，点B是垂足，OD∥AC，连接CD．

求证：CD是⊙O的切线．答案：证明：连接CO，（1分）∵OD∥AC，∴∠COD=∠ACO，∠CAO=∠DOB．（3分）∵∠ACO=∠CAO，∴∠COD=∠DOB．（6分）∵OD=OD，OC=OB，∴△COD≌△BOD．（8分）∴∠OCD=∠OBD=90°．∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线．（10分）20.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，，，

.则⊙O的半径为（

）.

A.6

B.13

C.

D.答案：C解析：分析：延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的内心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．解答：解：延长AO交BC于D，连接OB，∵⊙O过B、C，∴O在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3-1=2，由勾股定理得：OB==故选C．21.已知空间向量a=(1，2，3)，点A（0，1，0），若AB=-2a，则点B的坐标是（）A．（-2，-4，-6）B．（2，4，6）C．（2，3，6）D．（-2，-3，-6）答案：设B=（x，y，z），因为AB=-2a，所以（x，y-1，z）=-2（1，2，3），所以：x=-2，y-1=-4，z=-6，即x=-2，y=-3，z=-6．B（-2，-3，-6）．故选D．22.命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是（）A．若a2＞0，则a＞0B．若a＜0，则a2＜0C．若a≤0，则a2≤0D．若a≤0，则a2≤0答案：否命题是将条件，结论同时否定，∴若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0，故为：C23.在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为（）A．16B．13C．12D．23答案：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的是长度为3的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况第一种∠ADB为钝角，这种情况的分界是∠ADB=90°的时候，此时BD=1∴这种情况下，满足要求的0＜BD＜1．第二种∠OAD为钝角，这种情况的分界是∠BAD=90°的时候，此时BD=4∴这种情况下，不可能综合两种情况，若△ABD为钝角三角形，则0＜BD＜1P=13故选B24.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA=22，PC=4，圆心O到BC的距离为3，则圆O的半径为______．答案：∵PA为圆的切线，PBC为圆的割线，由线割线定理得：PA2=PB?PC又∵PA=22，PC=4，∴PB=2，BC=2又∵圆心O到BC的距离为3，∴R=2故为：225.若矩阵M=1101，则直线x+y+2=0在M对应的变换作用下所得到的直线方程为______．答案：设直线x+y+2=0上任意一点（x0，y0），（x，y）是所得的直线上一点，[1

1][x]=[x0][0

1][y]=[y0]∴x+y=x0y=y0，∴代入直线x+y+2=0方程：（x+y）+y+2=0得到I的方程x+2y+2=0故为：x+2y+2=0．26.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A．24B．22C．20D．12答案：先排体育课，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，按乘法原理，不同排法的种数为2×A33=12．故选D．27.袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值．答案：（I）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数C123，满足条件的事件是取出的3个小球上的数字互不相同，共有C43C31C31C31记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，∴P(A)=C34?C13?C13?C13C312=2755．（II）由题意X所有可能的取值为：1，2，3，4．P(X=1)=1C312=1220；P(X=2)=C23?C13+C23?C13+C33C312=19220；P(X=3)=C26?C13+C16?C23+C33C312=64220=1655；P(X=4)=C29?C13+C19?C23+C33C312=136220=3455．∴随机变量X的分布列为∴随机变量X的期望为EX=1×1220+2×19220+3×1655+4×3455=15544．28.由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）

A．1

B．2

C．

D．3答案：C29.A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．答案：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则A(3，0)

B(-3，0)

C(-5，23)依题意|PB|-|PA|=4∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．这里a=2，c=3，b2=5．其方程为

x24-y25=1

(x＞0)…（3分）又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上x-3y+7=0…（5分）由方程组x-3y+7=05x2-4y2=20解得

x=8(负值舍去)y=53即

P(8，53)…（8分）由于kAP=3，可知P在A北30°东方向．…（10分）30.在下列4个命题中，是真命题的序号为（）

①3≥3；

②100或50是10的倍数；

③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；

④等腰三角形至少有两个内角相等．

A．①

B．①②

C．①②③

D．①②④答案：D31.不等式的解集是（

）

A．

B．

C．

D．答案：D32.已知点B是点A（2，-3，5）关于平面xOy的对称点，则|AB|=（）

A．10

B．

C．

D．38答案：A33.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆0交于F，若∠CFE=α（α∈(0，π2)），则∠DEB______．答案：∵直径AB和弦DE互相垂直∴AB平分DE∴BD=BE，∠D=∠BED∵DEFB四