2023年比例线段知识点及练习题

相似形——比例线段及相似知识点讲解【知识点讲解】

一、比例线段

1.线段的比：假如选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成

,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，假如其中两条线段的比等于此外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

3.比例的项:已知四条线段a，ｂ，c，ｄ,假如

,那么a，b,ｃ,d，叫做组成比例的项，线段ａ,d叫做比例外项，线段b,c叫做比例内项,线段ｄ还叫做a，ｂ,ｃ的第四比例项．

4.比例中项：假如作为比例线段的内项是两条相同的线段,即a:b=b：ｃ或

，那么线段b叫做线段ａ和ｃ的比例中项．

比例的性质：

（1)比例的基本性质:

(2)反比性质：

(3）更比性质:

或

或

(4)合比性质:

(5)等比性质:

且

ﻬ比例线段练习１、判断下列四条线段是否成比例

①

a＝2,b＝,c＝，d=2；

②

a＝，b=３,

c=2,d＝;

③

a=4,b=6,

c=5,d=10；

④

ａ=12，b=8,

c＝15,d＝10

２、已知：ad=bc

（1)

将其改写成比例式；

（2)

写出所有以ａ,d为内项的比例式；

（３)

写出使ｂ作为第四项比例项的比例式;

(4)若；写出以c作第四比例项的比例式；

3

、计算.

已知:x∶ｙ=５∶４,y∶z＝3∶７.求x∶y∶z.

(2）已知:a,b，c为三角形三边长，(a-c)

∶(c+b）

∶(ｃ－b)=2∶7∶(-1），周长为24.求三边长.

4

、在相同时刻的物高与影长成比例，假如一古塔在地面上影长为50ｍ,同时，高为１.５ｍ的测竿的影长为2．5ｍ,那么，古塔的高是多么米？

5、，AB=10cm,AＤ=２cm,ＢＣ=7.2cm,E为BＣ中点.求EF,BF的长.

６.(1)已知:ｘ：(x+1)＝(1—x）：3，求x。

(2）若，求

（３)

若，求

，

(4)若x2-3xy+2y2=0,求7.将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。

(１)a:b=:c

(2)

：a=b:c

(3)

ａ：＝ｂ:ｃ

8:若,求

练习:已知:,

求的值9:

若ABC三边a：b:c＝６：4:3,三边上的高分别为ｈ1、h2、h3,求h１：h2：h3的值。

10：已知两地的实际距离是２50米,画在地图上的距离（图距)是5厘米,在这样的地图上,图距ａ=８厘米的两地A,Ｂ的实际距离是多少呢？比例尺是多少？

１2:操场上有一群学生在玩游戏,其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参与进来，此时女生与女生人数的比为5：4,求本来各有多少男生和女生?

比例线段拓展

1、比例线段

在四条线段中,假如其中两条线段的比等于此外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

设ａ、b、c、d为线段，假如a:ｂ=c：d，ｂ、c叫比例内项,ａ、ｄ叫比例外项,ｄ叫做a、ｂ、ｃ的第四比例项；假如a:b=b:c，或b2=aｃ,那么b叫a、c的比例中项。

黄金分割

如图,把线段AＢ提成两条线段AC和ＢC(AC>BC),且使AC是ＡＢ和ＢＣ的比例中项，叫做把线段ＡB黄金分割，

点C叫做线段AＢ的黄金分割点，叫作黄金分割数（简称黄金数或黄金比）

注意:（1)；

(2）一条线段有两个黄金分割点。

３、平行线分三角形两边成比例

（1)基本领实:两条直线被一组平行线所截，所得的相应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）,所得的相应线段成比例。

推论:平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边相应成比例。

如图，则有【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。

（２)三角形的重心

定义:三角形的重心是三角形三条中线的交点

与重心有关的比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。

（３）三角形一边平行线的鉴定定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的相应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。(三角形一边平行线的鉴定定理)

(4）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的相应线段成比例。平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5)：

推论1:通过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.

在梯形AＣFD中,ＡＤ/／CF，AB=BC，那么ＤＥ=EF

推论2：通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

在△ＡCF中，CFBE//，AＢ=BC

，那么AE=ＥF

(5）三角形和梯形的中位线定理

三角形的中位线:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

如图,Ｄ、Ｅ分别为AB、AＣ的中点，那么BC//DE,DE＝BC

梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。

梯形ＡBＣD中，AＤ/／BC，E、F分别是AB、ＣＤ的中点，那么EF／／AＤ//BC,ＥＦ=(AD+BC)

练习

如图，已知△AＢＣ中，DＥ∥BC,则下列等式中不成立的是(

)AＤ：ＡB=AE:AC

(B)AD:DB＝AＥ：EＣ

(Ｃ）AD:ＤB=DＥ:ＢC

（D)ＡD:AB＝DE:ＢC

如图,DF∥AC，DE∥BＣ,下列各式中对的的是（

）

(Ｂ)

(Ｃ)

（D)

３、如图，已知ΔABC中,ＤＥ∥BC,AD2=ＡB•AＦ,求证∠1＝∠2

4、已知ΔAＢC中,ＡD为∠BAＣ的外角∠EAC的平分线,D为平分线与BC延长线交点,求证：

5、设点F在平行四边形ABCＤ的边CB的延长线上，DＦ交AB于点E,求证

AＥ:AD=ＡＢ:CＦ

ﻬ【课后练习】

已知：

a：b:ｃ=3:5:7且2