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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年安徽卫生健康职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1,(n=1,2,…).试证:数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1,或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.答案:证:首先,xn+1-xn=xn(x2n+3)3x2n+1-xn=2xn(1-x2n)3x2n+1,由于x1>0,由数列{xn}的定义可知xn>0,(n=1,2,…)所以,xn+1-xn与1-xn2的符号相同.①假定x1<1,我们用数学归纳法证明1-xn2>0(n∈N)显然,n=1时,1-x12>0设n=k时1-xk2>0,那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2>0,因此,对一切自然数n都有1-xn2>0,从而对一切自然数n都有xn<xn+1②若x1>1,当n=1时,1-x12<0;设n=k时1-xk2<0,那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2<0,因此,对一切自然数n都有1-xn2<0,从而对一切自然数n都有xn>xn+12.书架上有5本数学书,4本物理书,5本化学书,从中任取一本,不同的取法有()A.14B.25C.100D.40答案:由题意,∵书架上有5本数学书,4本物理书,5本化学书,∴从中任取一本,不同的取法有5+4+5=14种故选A.3.若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则()A.k1<k2<k3B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2答案:因为直线的斜率是其倾斜角的正切值,当倾斜角大于90°小于180°时,斜率为负值,当倾斜角大于0°小于90°时斜率为正值,且正切函数在(0°,90°)上为增函数,由图象三条直线的倾斜角可知,k2<k1<k3.故选C.4.探测某片森林知道,可采伐的木材有10万立方米.设森林可采伐木材的年平均增长率为8%,则经过______年,可采伐的木材增加到40万立方米.答案:设经过n年可采伐本材达到40万立方米则有10×(1+8%)n=40即(1+8%)n=4故有n=log1.084,解得n≈19即经过19年,可采伐的木材增加到40万立方米故为195.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立.
现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得()
A.当n=6时该命题不成立
B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立
D.当n=8时该命题成立答案:A6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A.4B.5C.6D.7答案:根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中各变量值变化如下表:是否继续循环
S
K循环前/0
0第一圈
是
1
1第二圈
是
3
2第三圈
是
11
3第四圈
是
20594第五圈
否∴最终输出结果k=4故为A7.如图是将二进制数11111(2)化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条件是()A.i≤5B.i≤4C.i>5D.i>4答案:首先将二进制数11111(2)化为十进制数,11111(2)=1×20+1×21+1×22+1×23+1×24=31,由框图对累加变量S和循环变量i的赋值S=1,i=1,i不满足判断框中的条件,执行S=1+2×S=1+2×1=3,i=1+1=2,i不满足条件,执行S=1+2×3=7,i=2+1=3,i不满足条件,执行S=1+2×7=15,i=3+1=4,i仍不满足条件,执行S=1+2×15=31,此时31是要输出的S值,说明i不满足判断框中的条件,由此可知,判断框中的条件应为i>4.故选D.8.在市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂的合格率是80%,则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是______.答案:由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率,∵甲厂产品占70%,甲厂产品的合格率是95%,∴从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是0.7×0.95=0.665故为:0.6659.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩,并根据这10000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图.为了进一步分析学生的总成绩与各科成绩等方面的关系,要从这10000名学生中,再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查,则总成绩在[400,500)内共抽出()
A.100人
B.90人
C.65人
D.50人
答案:B10.用秦九韶算法求多项式
在的值.答案:.解析:可根据秦九韶算法原理,将所给多项式改写,然后由内到外逐次计算即可.
而,所以有,,,,,.即.【名师指引】利用秦九韶算法计算多项式值关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内到外逐次计算,由于后项计算需用到前项的结果,故应认真、细心,确保中间结果的准确性.11.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图所示)
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)若M是AE的中点,AB=3,∠CEF=90°,求证:平面AEF⊥平面BMC.答案:(1)证法1:过点E作EG⊥CF交CF于G,连结DG,可得四边形BCGE为矩形,又四边形ABCD为矩形,所以AD=EG,从而四边形ADGE为平行四边形故AE∥DG
因为AE?平面DCF,DG?平面DCF,所以AE∥平面DCF
证法2:(面面平行的性质法)因为四边形BEFC为梯形,所以BE∥CF.又因为BE?平面DCF,CF?平面DCF,所以BE∥平面DCF.因为四边形ABCD为矩形,所以AB∥DC.同理可证AB∥平面DCF.又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线,所以平面ABE∥平面DCF.又因为AE?平面ABE,所以AE∥平面DCF.(2)在Rt△EFG中,∠CEF=90°,EG=3,EF=2.∴∠GEF=30°,GF=12EF=1.在RT△CEG中,∠CEG=60°,∴CG=EGtan60°=3,BE=3.∵AB=3,M是AE中点,∴BM⊥AE,由侧视图是矩形,俯视图是直角梯形,得BC⊥AB,BC⊥BE,∵AB∩BM=B,∴AE⊥平面BCM又∵AE?平面ACE,∴平面ACE⊥平面BCM.12.某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数k==16,即每16人抽取一个人.在1~16中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从33~48这16个数中应取的数是(
)
A.40
B.39
C.38
D.37答案:B13.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩B=()A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}答案:因为A∩B={1,3,5,7,9}∩{0,3,6,9,12}={3,9}故选D14.已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD,设G是CD的中点,则+(+)等于()
A.
B.
C.
D.
答案:C15.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()
A.
B.
C.
D.答案:D16.已知P为抛物线y2=4x上一点,设P到准线的距离为d1,P到点A(1,4)的距离为d2,则d1+d2的最小值为______.答案:∵y2=4x,焦点坐标为F(1,0)根据抛物线定义可知P到准线的距离为d1=|PF|d1+d2=|PF|+|PA|进而可知当A,P,F三点共线时,d1+d2的最小值=|AF|=4故为417.椭圆x=3cosθy=4sinθ的离心率是______.答案:∵x=3cosθy=4sinθ,∴(x3)2+(y4)2=cos2θ+sin2θ=1,即x29+y216=1,其中a2=16,b2=9,故c2=a2-b2=16-9=7(a>0,b>0,c>0),∴其离心率e=ca=74.故为:74.18.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,“若x2的观测值为6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思是指()
A.在100个吸烟的人中,必有99个人患肺病
B.有1%的可能性认为推理出现错误
C.若某人吸烟,则他有99%的可能性患有肺病
D.若某人患肺病,则99%是因为吸烟答案:B19.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1有两个不同交点,则点P(a,b)与圆C的位置关系是(
)
A.点在圆上
B.点在圆内
C.点在圆外
D.不能确定答案:C20.下列命题错误的是(
)A.命题“若,则中至少有一个为零”的否定是:“若,则都不为零”。B.对于命题,使得;则是,均有。C.命题“若,则方程有实根”的逆否命题为:“若方程无实根,则”。D.“”是“”的充分不必要条件。答案:A解析:命题的否定是只否定结论,∴选A.21.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(q,1),则p+q=______.答案:抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点坐标为(0,p2),又已知焦点为为F(q,1),∴q=0,p2=1,故p+q=2,故为2.22.在空间直角坐标系中,点,过点P作平面xOy的垂线PQ,则Q的坐标为()
A.
B.
C.
D.答案:D23.已知圆M的方程为:(x+3)2+y2=100及定点N(3,0),动点P在圆M上运动,线段PN的垂直平分线交圆M的半径MP于Q点,设点Q的轨迹为曲线C,则曲线C的方程是______.答案:连接QN,如图由已知,得|QN|=|QP|,所以|QM|+|QN|=|QM|+|QN|=|MP|=10又|MN|=6,10>6,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是M,N为焦点,以10为长轴长的椭圆,所以2a=10,2c=6,所以b=4,所以,点Q的轨迹方程为:x225+y216=1故为:x225+y216=124.如图,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为3的正三角形,则b2的值是______.答案:∵△POF2是面积为3的正三角形,∴S=34|PF2|2=3,|PF2|=2.∴c=2,∵△PF1F2为直角三角形,∴a=3+1,故为23.25.将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次,出现“2次正面朝上,2次反面朝上”和“3次正面朝上,1次反面朝上”的概率各是多少?答案:将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次,出现“2次正面朝上,2次反面朝上”的概率p1=C24(12)2(12)2=38.将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次,出现“3次正面朝上,1次反面朝上”的概率p2=C34(12)3?12=14.26.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么b、c中至少有一个偶数时,下列假设正确的是()
A.假设a、b、c都是偶数
B.假设a、b、c都不是偶数
C.假设a、b、c至多有一个偶数
D.假设a、b、c至多有两个偶数答案:B27.下列关于算法的说法中正确的个数是()
①求解某一类问题的算法是唯一的;
②算法必须在有限步操作之后停止;
③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊;
④算法执行后一定产生确定的结果.A.1B.2C.3D.4答案:由算法的概念可知:求解某一类问题的算法不是唯一的,故①不正确;算法是有限步,结果明确性,②④是正确的.对于③,算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊是正确的;故③正确.∴关于算法的说法中正确的个数是3.故选C.28.斜二测画法的规则是:
(1)在已知图形中建立直角坐标系xoy,画直观图
时,它们分别对应x′和y′轴,两轴交于点o′,使∠x′o′y′=______,它们确定的平面表示水平平面;
(2)
已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成
______;
(3)已知图形中平行于x轴的线段的长度,在直观图中
______;平行于y轴的线段,在直观图中
______.答案:按照斜二测画法的规则填空故为:(1)45°或135°;(2)平行于x′轴和y′轴;(3)长度不变;长度减半29.先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.
(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率;
(2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.答案:(1)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.∵直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是5a2+b2=1即:a2+b2=25,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5;或a=4,b=3,c=5两种情况.∴直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的概率是236=118(2)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.∵三角形的一边长为5∴当a=1时,b=5,(1,5,5)1种当a=2时,b=5,(2,5,5)1种当a=3时,b=3,5,(3,3,5),(3,5,5)2种当a=4时,b=4,5,(4,4,5),(4,5,5)2种当a=5时,b=1,2,3,4,5,6,(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5)6种当a=6时,b=5,6,(6,5,5),(6,6,5)2种故满足条件的不同情况共有14种故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1436=718.30.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A、B两点距离的最小值为()
A.
B.
C.
D.2答案:A31.已知随机变量ξ的数学期望Eξ=0.05且η=5ξ+1,则Eη等于()
A.1.15
B.1.25
C.0.75
D.2.5答案:B32.已知f(x)=,若f(x0)>1,则x0的取值范围是()
A.(0,1)
B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(1,+∞)答案:C33.已知F1=i+2j+3k,F2=2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若F1,F2,F3共同作用于一物体上,使物体从点M(1,-2,1)移动到N(3,1,2),则合力所作的功是______.答案:由题意可得F1=(1,2,3)F2=(2,3,-1),F3=(3,-4,5),故合力F=F1+F2+F3=(6,1,7),位移S=MN=(3,1,2)-(1,-2,1)=(2,3,1),故合力所作的功W=F•S=6×2+1×3+7×1=22故为:2234.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,
cos〈,〉=.
(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;
(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.答案:(1)点E的坐标是(1,1,1)(2)F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB解析:(1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0),设P(0,0,2m),则E(1,1,m),∴=(-1,1,m),=(0,0,2m).∴cos〈,〉==.解得m=1,∴点E的坐标是(1,1,1).(2)∵F∈平面PAD,∴可设F(x,0,z).则=(x-1,-1,z-1),又=(2,0,0),=(0,2,-2)∵EF⊥平面PCB∴⊥,且⊥即∴∴,∴F点的坐标为(1,0,0)即点F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB.35.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0,与l2:2(k-3)x-2y+3=0,平行,则k的值是______.答案:当k=3时两条直线平行,当k≠3时有2=-24-k≠3
所以
k=5故为:3或5.36.不等式|3x-2|>4的解集是______.答案:由|3x-2|>4可得
3x-2>4
或3x-2<-4,∴x>2或x<-23.故为:(-∞,-23)∪(2,+∞).37.已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ,那么该圆的直角坐标方程是()
A.(x-1)2+y2=1
B.x2+(y-1)2=1
C.(x+1)2+y2=1
D.x2+y2=2答案:A38.已知D是△ABC所在平面内一点,,则()
A.
B.
C.=
D.答案:A39.若向量=(2,-3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),则(+)=()
A.4
B.15
C.7
D.3答案:D40.一圆台上底半径为5cm,下底半径为10cm,母线AB长为20cm,其中A在上底面上,B在下底面上,从AB中点M,拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短长为______cm.答案:画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O.有图得:所求的最短距离是MB',设OA=R,圆心角是α,则由题意知,10π=αR
①,20π=α(20+R)
②,由①②解得,α=π2,R=20,∴OM=30,OB'=40,则MB'=50cm.故为:50cm.41.三个数a=60.5,b=0.56,c=log0.56的大小顺序为______.(按大到小顺序)答案:∵a=60.5>60=1,0<b=0.56<0.50=1,c=log0.56<log0.51=0.∴a>b>c.故为a>b>c.42.从椭圆
x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,又点A是椭圆与x轴正半轴的交点,点B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP,|F1A|=10+5,求椭圆的方程.答案:∵AB∥OP∴PF1F1O=BOOA?PF1=bca又∵PF1⊥x轴∴c2a2+y2b2=1?y=b2a∴b=c由a+c=10+5b=ca2=b2+c2解得:a=10b=5c=5∴椭圆方程为x210+y25=1.43.已知,向量与向量的夹角是,则x的值为()
A.±3
B.±
C.±9
D.3答案:D44.若e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则k=______.答案:BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=2e1-4e2因为A,B,D三点共线,所以AB=kBD,已知AB=2e1+ke2,BD=2e1-4e2所以k=-4故为:-445.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆”,那么()A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件答案:命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时,再加上这个和大于两个定点之间的距离,可以得到动点的轨迹是椭圆,没有加上的条件不一定推出,而点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆,一定能够推出|PA|+|PB|是定值,∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B.46.平面α外一点P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等,且P在α内的射影在四边形内部,则四边形是()
A.梯形
B.圆外切四边形
C.圆内接四边
D.任意四边形答案:B47.设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()
A.长轴在x轴上的椭圆
B.长轴在y轴上的椭圆
C.实轴在x轴上的双曲线
D.实轴在y轴上的双曲线答案:D48.已知向量a与向量b的夹角为120°,若向量c=a+b,且a⊥c,则|a||b|的值为______.答案:由题意可知,∵a⊥c,∴a?c=a?(a+b)=a2+a?b=0即|a|2+|a||b|cos120°=0,故|a|2=12|a||b|,故|a||b|=12.故为:1249.如图,AB,AC分别是⊙O的切线和割线,且∠C=45°,∠BDA=60°,CD=6,则切线AB的长是______.答案:过点A作AM⊥BD与点M.∵AB为圆O的切线∴∠ABD=∠C=45°∵∠BDA=60°∴∠BAD=75°,∠DAM=30°,∠BAM=45°设AB=x,则AM=22x,在直角△AMD中,AD=63x由切割线定理得:AB2=AD?ACx2=63x(63x+6)解得:x1=6,x2=0(舍去)故AB=6.故是:6.50.如图给出了一个算法程序框图,该算法程序框图的功能是()A.求a,b,c三数的最大数B.求a,b,c三数的最小数C.将a,b,c按从小到大排列D.将a,b,c按从大到小排列答案:逐步分析框图中的各框语句的功能,第一个条件结构是比较a,b的大小,并将a,b中的较小值保存在变量a中,第二个条件结构是比较a,c的大小,并将a,c中的较小值保存在变量a中,故变量a的值最终为a,b,c中的最小值.由此程序的功能为求a,b,c三个数的最小数.故选B第2卷一.综合题(共50题)1.在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的(
)
A.预报变量x轴上,解释变量y轴上
B.解释变量x轴上,预报变量y轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量x轴上
D.可以选择两个变量中任意一个变量y轴上答案:B2.若方程sin2x+4sinx+m=0有实数解,则m的取值范围是(
)
A、R
B、(-∞,-5]∪[3,+∞)
C、(-5,3)
D、[-5,3]答案:D3.在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为x=4cosθy=2sinθ(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,得曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ(ρ>0).
(Ⅰ)化曲线C1、C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m>0),经过点P作曲线C2的切线l,求切线l的方程.答案:(Ⅰ)曲线C1:x216+y24=1;曲线C2:(x-1)2+(y+2)2=5;(3分)曲线C1为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是4,短半轴长是2的椭圆;曲线C2为圆心为(1,-2),半径为5的圆(2分)(Ⅱ)曲线C1:x216+y24=1与x轴的交点坐标为(-4,0)和(4,0),因为m>0,所以点P的坐标为(4,0),(2分)显然切线l的斜率存在,设为k,则切线l的方程为y=k(x-4),由曲线C2为圆心为(1,-2),半径为5的圆得|k+2-4k|k2+1=5,解得k=3±102,所以切线l的方程为y=3±102(x-4)(3分)4.已知a=(1,0),b=(m,m)(m>0),则<a,b>=______.答案:∵b=(m,m)(m>0),∴b与第一象限的角平分线同向,且由原点指向远处,而a=(1,0)同横轴的正方向同向,∴<a,b>=45°,故为:45°5.阅读如图所示的程序框,若输入的n是100,则输出的变量S的值是()A.5051B.5050C.5049D.5048答案:根据流程图所示的顺序,该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2,∵100+99+98+…+2=5049,故选C.6.若f(x)是定义在R上的函数,满足对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,且f(2)=3,则f(8)=______.答案:由题意可知:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,所以x=y=2,可知f(4)=f(2+2)=f(2)?f(2),所以f(4)=9;令x=y=4,可知f(8)=f(4+4)=f(4)?f(4)=92=81.故为:81.7.(几何证明选讲选做题)
如图,已知AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于C,若AP=4,PB=2,则PC的长是______.答案:∵AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于C,∴AP×PB=PC2,∵AP=4,PB=2,∴PC2=8,解得PC=22.故为:22.8.把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同排法的种数为()
A.A88
B.A55A44
C.A44A44
D.A85答案:B9.袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:C10.下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句
(1)输出语句INPUT
a;b;c
(2)输入语句INPUT
x=3
(3)赋值语句3=B
(4)赋值语句A=B=2
则其中正确的个数是()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个答案:A11.已知f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的k,若f(k)≥k2成立,则f(k+1)≥(k+1)2成立,下列命题成立的是()A.若f(3)≥9成立,则对于任意k≥1,均有f(k)≥k2成立;B.若f(4)≥16成立,则对于任意的k≥4,均有f(k)<k2成立;C.若f(7)≥49成立,则对于任意的k<7,均有f(k)<k2成立;D.若f(4)=25成立,则对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立答案:对A,当k=1或2时,不一定有f(k)≥k2成立;对B,应有f(k)≥k2成立;对C,只能得出:对于任意的k≥7,均有f(k)≥k2成立,不能得出:任意的k<7,均有f(k)<k2成立;对D,∵f(4)=25≥16,∴对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.故选D12.在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是______.答案:由茎叶图可得甲组共有9个数据中位数为45乙组共9个数据中位数为46故为45、4613.已知三点A(1,2),B(2,-1),C(2,2),E,F为线段BC的三等分点,则AE•AF=______.答案:∵A(1,2),B(2,-1),C(2,2),∴AB=(1,-3),BC=(0,3),AE=AB+13BC=(1,-2),AF=AB+23BC=(1,-1),∴AE•AF=1×1+(-2)×(-1)=3.故为:314.mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为______.答案:由mx+ny=1(mn≠0),得x1m+y1n=1,所以mx+ny=1(mn≠0)在两坐标轴上的截距分别为1m,1n.则mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为12|mn|.故为12|mn|.15.已知随机变量ξ~N(3,22),若ξ=2η+3,则Dη=()
A.0
B.1
C.2
D.4答案:B16.三行三列的方阵.a11a12
a13a21a22
a23a31a32
a33.中有9个数aji(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则它们不同行且不同列的概率是()A.37B.47C.114D.1314答案:从给出的9个数中任取3个数,共有C39;从三行三列的方阵中任取三个数,使它们不同行且不同列:从第一行中任取一个数有C13种方法,则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法,第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法,∴共有C13×C12×C11=6.∴从三行三列的方阵中任取三个数,则它们不同行且同列的概率P=6C39=114.故选C.17.(理)已知向量=(3,5,-1),=(2,2,3),=(4,-1,-3),则向量2-3+4的坐标为()
A.(16,0,-23)
B.(28,0,-23)
C.(16,-4,-1)
D.(0,0,9)答案:A18.曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),则a=______.答案:由题意,∵曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),∴22-a-2+2=0∴a=4故为419.x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为()
A.1
B.
C.
D.答案:C20.已知随机变量X的分布列为:P(X=k)=,k=1,2,…,则P(2<X≤4)等于()
A.
B.
C.
D.答案:A21.四面体ABCD中,设M是CD的中点,则化简的结果是()
A.
B.
C.
D.答案:A22.已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.6B.8C.10D.12答案:由双曲线的知识可知:C1x216-y29=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|+|PF2|=8而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,∴|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,∴|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|+|PF2|+2=8+2=10,故选C23.如图是用来求2+32+43+54+…+101100的计算程序,请补充完整:______.
答案:2+32+43+54+…+101100=(1+1)+(1+12)+(1+13)+…+(1+1100)故循环体中应是S=S+(1+1i)故为:S=S+(1+1i)24.若向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量.直线x+2y+3=0的一个法向量为()
A.(2,-1)
B.(1,-2)
C.(2,1)
D.(1,2)答案:D25.某细胞在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个细胞分裂成2个),则经过两个小时后,1个这样的细胞可以分裂成______个.答案:由于每15分钟分裂一次,则两个小时共分裂8次.一个这样的细胞经过一次分裂后,由1个分裂成2个;经过2次分裂后,由1个分裂成22个;…经过8次分裂后,由1个分裂成28个.∴1个这样的细胞经过两个小时后,共分裂成28个,即256个.故为:25626.已知=(-3,2,5),=(1,x,-1),且=2,则x的值为()
A.3
B.4
C.5
D.6答案:C27.设P1(4,-3),P2(-2,6),且P在P1P2的延长线上,使||=2||,则点P的坐标
()
A.(-8,15)
B.(0,3)
C.(-,)
D.(1,)答案:A28.已知a=(1,-2,4),b=(1,0,3),c=(0,0,2).求
(1)a•(b+c);
(2)4a-b+2c.答案:解(1)∵b+c=(1,0,5),∴a•(b+c)=1×1+(-2)×0+4×5=21.(2)4a-b+2c=(4,-8,16)-(1,0,3)+(0,0,4)=(3,-8,17).29.若直线的参数方程为(t为参数),则该直线的斜率为()
A.
B.2
C.1
D.-1答案:D30.设集合A={1,2},={2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=______.答案:由题得:A∩B={2},又因为C={2,3,4},(故A∩B)∪C={2,3,4}.故为
{2,3,4}.31.直线l只经过第一、三、四象限,则直线l的斜率k()
A.大于零
B.小于零
C.大于零或小于零
D.以上结论都有可能答案:A32.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=()
A.
B.
C.
D.答案:D33.方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是
______.答案:椭圆方程化为x22+y22k=1.焦点在y轴上,则2k>2,即k<1.又k>0,∴0<k<1.故为:0<k<134.已知空间四边形ABCD中,M、G分别为BC、CD的中点,则等于()
A.
B.
C.
D.
答案:A35.某总体容量为M,其中带有标记的有N个,现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m的样本,则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为()A.mNMB.mMNC.MNmD.N答案:由题意知,总体中带有标记的鱼所占比例是NM,故样本中带有标记的个数估计为mNM,故选A.36.在下列条件中,使M与不共线三点A、B、C,一定共面的是
[
]答案:C37.已知直线a、b、c,其中a、b是异面直线,c∥a,b与c不相交.用反证法证明b、c是异面直线.答案:证明:假设b、c不是异面直线,则b、c共面.∵b与c不相交,∴b∥c.又∵c∥a,∴根据公理4可知b∥a.这与已知a、b是异面直线相矛盾.故b、c是异面直线.38.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电原价是______元.答案:设每台彩电的原价是x元,则有:(1+40%)x×0.8-x=270,解得:x=2250,故为:2250.39.下列函数中,与函数y=x(x≥0)有相同图象的一个是()A.y=x2B.y=(x)2C.y=3x3D.y=x2x答案:一个函数与函数y=x
(x≥0)有相同图象时,这两个函数应是同一个函数.A中的函数和函数y=x
(x≥0)的值域不同,故不是同一个函数.B中的函数和函数y=x
(x≥0)具有相同的定义域、值域、对应关系,故是同一个函数.C中的函数和函数y=x
(x≥0)的值域不同,故不是同一个函数.D中的函数和函数y=x
(x≥0)的定义域不同,故不是同一个函数.综上,只有B中的函数和函数y=x
(x≥0)是同一个函数,具有相同的图象,故选B.40.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案:若甲是获奖的歌手,则都说假话,不合题意.若乙是获奖的歌手,则甲、乙、丁都说真话,丙说假话,不符合题意.若丁是获奖的歌手,则甲、丁、丙都说假话,乙说真话,不符合题意.故获奖的歌手是丙故先C41.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<0)=0.2,则P(ξ>4)=()
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2答案:D42.
如图,已知PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,PA=6,PB=BC,⊙O的半径OC=5,那么弦BC的弦心距OM=()
A.4
B.3
C.5
D.6
答案:A43.已知A(3,-2),B(-5,4),则以AB为直径的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=25B.(x+1)2+(y-1)2=25C.(x-1)2+(y+1)2=100D.(x+1)2+(y-1)2=100答案:∵A(3,-2),B(-5,4),∴以AB为直径的圆的圆心为(-1,1),半径r=(-1-3)2+(1+2)2=5,∴圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25故选B.44.已知直线过点A(2,0),且平行于y轴,方程:|x|=2,则(
)
A.l是方程|x|=2的曲线
B.|x|=2是l的方程
C.l上每一点的坐标都是方程|x|=2的解
D.以方程|x|=2的解(x,y)为坐标的点都在l上答案:C45.如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB与CD交于E点,且AE:EB=3:1、CE:ED=1:1,CD=83,则直径AB的长为______.答案:由CE:ED=1:1,CD=83,∴CE=ED=43由相交弦定理可得AE?EB=CE?ED及AE:EB=3:1∴3EB2=43?43=48解得EB=4,AE=12∴AB=AE+EB=16故为:1646.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f'(0)=0,所以,x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中()
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.结论正确答案:A47.(1)求过两直线l1:7x-8y-1=0和l2:2x+17y+9=0的交点,且平行于直线2x-y+7=0的直线方程.
(2)求点A(--2,3)关于直线l:3x-y-1=0对称的点B的坐标.答案:(1)联立两条直线的方程可得:7x-8y-1=02x+17y+9=0,解得x=-1127,y=-1327所以l1与l2交点坐标是(-1127,-1327).(2)设与直线2x-y+7=0平行的直线l方程为2x-y+c=0因为直线l过l1与l2交点(-1127,-1327).所以c=13所以直线l的方程为6x-3y+1=0.点P(-2,3)关于直线3x-y-1=0的对称点Q的坐标(a,b),则b-3a+2×3=-1,且3×a-22-b+32-1=0,解得a=10且b=-1,对称点的坐标(10,-1)48.已知P:2+2=5,Q:3>2,则下列判断错误的是()A.“P或Q”为真,“非Q”为假B.“P且Q”为假,“非P”为真C.“P且Q”为假,“非P”为假D.“P且Q”为假,“P或Q”为真答案:∵P:2+2=5,假;Q:3>2,真;∴“非P”为真,“非Q”为假,∴“P或Q”为真,“P且Q”为假,∴A,B,D均正确;C错误.故选C.49.已知集合A={x|x>1},则(CRA)∩N的子集有()A.1个B.2个C.4个D.8个答案:∵集合A={x|x>1},∴CRA={x|x≤1},∴(CRA)∩N={0,1},∴(CRA)∩N的子集有22=4个,故选C.50.整数630的正约数(包括1和630)共有______个.答案:首先将630分解质因数630=2×32×5×7;然后注意到每一因数可出现的次幂数,如2可有20,21两种情况,3有30,31,32三种情况,5有50,51两种情况,7有70,71两种情况,按分步计数原理,整数630的正约数(包括1和630)共有2×3×2×2=24个.故为:24.第3卷一.综合题(共50题)1.某工厂生产的产品,用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前,质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是()
A.简单随机抽样
B.系统抽样
C.分层抽样
D.其它抽样方法答案:B2.将n2个正整数1,2,3,…,n2填入n×n方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记f(n)为n阶幻方对角线的和,如右表就是一个3阶幻方,可知f(3)=15,则f(4)=()
816357492A.32B.33C.34D.35答案:由等差数列得前n项和公式可得,所有数之和S=1+2+3+…+42=16?(1+16)2=136,所以,f(4)=1364=34,故选C.3.如图是一个方形迷宫,甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处,两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走,已知甲向东、西行走的概率都为14,向南、北行走的概率为13和p,乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q
(1)p和q的值;
(2)问最少几分钟,甲、乙二人相遇?并求出最短时间内可以相遇的概率.答案:(1)∵14+14+13+p=1,∴p=16,∵4q=1,∴q=14(2)t=2甲、乙两人可以相遇(如图,在C、D、E三处相遇)
设在C、D、E三处相遇的概率分别为PC、PD、PE,则:PC=(16×16)×(14×14)=1576PD=2(16×14)×2(14×14)=196PE=(14×14)×(14×14)=1256PC+PD+PE=372304即所求的概率为3723044.在极坐标系中,过点p(3,)且垂直于极轴的直线方程为()
A.Pcosθ=
B.Psinθ=
C.P=cosθ
D.P=sinθ答案:A5.已知动点P(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2,则动点P的轨迹是______.答案:∵(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2,即动点P(x,y)到两定点(-2,0),(2,0)的距离之差等于2,由双曲线定义知动点P的轨迹是双曲线的一支(右支).:双曲线的一支(右支).6.已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下,点A(1,2)变成了点A′(7,10),点B(2,0)变成了点B′(2,4),求矩阵M.答案:设M=abcd,则abcd12=710,abcd20=24,(4分)即a+2b=7c+2d=102a=22c=4,解得a=1b=3c=2d=4(8分)所以M=1234.(10分)7.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1)、Q2(a2,b2)(a1≠a2)的直线方程.答案:∵P(2,3)在已知直线上,2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即b1-b2a1-a2=-23.∴所求直线方程为y-b1=-23(x-a1).∴2x+3y-(2a1+3b1)=0,即2x+3y+1=0.8.列举两种证明两个三角形相似的方法.答案:三边对应成比例,两个三角形相似,两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.9.设双曲线的渐近线为:y=±32x,则双曲线的离心率为______.答案:由题意ba=32或ab=32,∴e=ca=132或133,故为132,133.10.已知一直线斜率为3,且过A(3,4),B(x,7)两点,则x的值为()
A.4
B.12
C.-6
D.3答案:A11.某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区的判别条件是______.答案:依题意,|MF1|+|MF2|≤2a?h1?cotθ1+h2?cotθ2≤2a;故为:h1?cotθ1+h2?cotθ2≤2a12.α为第一象限角是sinαcosα>0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:若α为第一象限角,则sinα>0,cosα>0,所以sinαcosα>0,成立.若sinαcosα>0,则①sinα>0,cosα>0,此时α为第一象限角.或②sinα<0,cosα<0,此时α为第三象限角.所以α为第一象限角是sinαcosα>0的充分不必要条件.故选A.13.在空间直角坐标系中,点,过点P作平面xOy的垂线PQ,则Q的坐标为()
A.
B.
C.
D.答案:D14.
若向量
=(3,2),=(0,-1),=(-1,2),则向量2-的坐标坐标是(
)
A.(3,-4)
B.(-3,4)
C.(3,4)
D.(-3,-4)答案:D15.i是虚数单位,若(3+5i)x+(2-i)y=17-2i,则x、y的值分别为()
A.7,1
B.1,7
C.1,-7
D.-1,7答案:B16.已知:如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于点B,DC的延长线交AB于点A,∠A=20°,则
∠DBE=______.答案:连接BC,∵CD是⊙O的直径,∴∠CBD=90°,∵AE是⊙O的切线,∴∠DBE=∠1,∠2=∠D;又∵∠1+∠D=90°,即∠1+∠2=90°---(1),∠A+∠2=∠1----(2),(1)-(2)得∠1=55°即∠DBE=55°.故为:∠DBE=55°.17.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()
A.10种
B.20种
C.25种
D.32种答案:D18.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正投影,则|OB|等于()
A.
B.
C.
D.答案:B19.已知矩形ABCD,R、P分别在边CD、BC上,E、F分别为AP、PR的中点,当P在BC上由B向C运动时,点R在CD上固定不变,设BP=x,EF=y,那么下列结论中正确的是()A.y是x的增函数B.y是x的减函数C.y随x先增大后减小D.无论x怎样变化,y是常数答案:连接AR,如图所示:由于点R在CD上固定不变,故AR的长为定值又∵E、F分别为AP、PR的中点,∴EF为△APR的中位线,则EF=12AR为定值故无论x怎样变化,y是常数故选D20.已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2}且M=N.求a、b的值.答案:由M=N及集合中元素的互异性,得a=2ab=b2
①或a=b2b=2a
②解①得:a=0b=1或a=0b=0,解②得:a=14b=12,当a=0b=0时,违背了集合中元素的互异性,所以舍去,故a、b的值为a=0b=1或a=14b=12.21.选修4-4:坐标系与参数方程
已知极点O与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.点A,B的极坐标分别为(2,π),(22,π4),曲线C的参数方程为答案:(Ⅰ)S△AOB=12×2×222.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:
甲:86、72、92、78、77;
乙:82、91、78、95、88
(1)这种抽样方法是哪一种?
(2)将这两组数据用茎叶图表示;
(3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较稳定.答案:(1)因为间隔时间相同,故是系统抽样.(2)茎叶图如下:.(3)因为.x甲=15(86+72+92+78+77)=81,.x乙=15(82+92+78+95+88)=87,所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4,s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2,而s甲2>s乙2,所以乙车间产品较稳定.23.在空间四边形OABC中,OA+AB-CB等于()A.OAB.ABC.OCD.AC答案:根据向量的加法、减法法则,得OA+AB-CB=OB-CB=OB+BC=OC.故选C.24.直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内,则k的取值范围是
______.答案:联立两直线方程得kx-y=k-1①ky=x+2k②,由②得y=x+2kk③,把③代入①得:kx-x+2kk=k-1,当k+1≠0即k≠-1时,解得x=kk-1,把x=kk-1代入③得到y=2k-1k-1,所以交点坐标为(kk-1,2k-1k-1)因为直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内,得kk-1<02k-1k-1>
0解得0<k<1,k>1或k<12,所以不等式组的解集为0<k<12则k的取值范围是0<k<12故为:0<k<1225.今天为星期六,则今天后的第22010天是()A.星期一B.星期二C.星期四D.星期日答案:∵22010=8670=(7+1)670=C6700×7670×10+C6701×7669×11+C6702×7668×12+…+C6702010×70×1670∴22010除7的余数是1故今天为星期六,则今天后的第22010天是星期日故选D26.某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.
(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望;
(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.答案:(1)ξ的所有可能取值为0,1,2.依题意,得P(ξ=0)=C34C36=15,P(ξ=1)=C24C12C36=35,P(ξ=2)=C14C22C36=15.∴ξ的分布列为ξ012P153515∴Eξ=0×15+1×35+2×15=1.(2)设“男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中”为事件C,“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B从4个男生、2个女生中选3人,男生甲被选中的种数为n(A)=C52=10,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为n(AB)=C41=4,∴P(C)=n(AB)n(A)=C14C25=410=25故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为25.27.设P,Q为△ABC内的两点,且AP=mAB+nAC
(m,n>0)AQ=pAB+qAC
(p,q>0),则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为______.答案:设P到边AB的距离为h1,Q到边AB的距离为h2,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为h1h2,设AB边上的单位法向量为e,AB?e=0,则h1=|AP?e|=|(mAB+nAC)?e|=|m?AB?e+nAC?e|=|nAC?e|,同理可得h2=|qAC?e|,∴h1h2=|nq|=nq,故为n:q.28.下列说法中正确的是()
A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D.圆锥侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径答案:C29.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若PB=1,PD=3,则BCAD的值为______.答案:因为A,B,C,D四点共圆,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因为∠P为公共角,所以△PBC∽△PAD,所以BCAD=PBPD=13.故为:13.30.在边长为1的正方形ABCD中,若AB=a,BC=b,AC=c.则|a+b+2c|的值是______.答案:由题意可得|a|=|b|=1,|c|=2,a+
b=c,∴|a+b+2c|=|3c|=32,故为32.31.AB是圆O的直径,EF切圆O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC长为()
A.
B.3
C.2
D.2答案:A32.曲线x2+ay+2y+2=0经过点(2,-1),则a=______.答案:由题意,∵曲
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