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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年安徽中医药高等专科学校高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.对变量x、y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图2.由这两个散点图可以判断()
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关答案:C2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,0.2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于()A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84答案:∵随机变量ξ服从正态分布N(2,0.2),μ=2,∴p(ξ≤0)=p(ξ≥4)=1-p(ξ≤4)=0.16.故选A.3.已知命题p:“△ABC是等腰三角形”,命题q:“△ABC是直角三角形”,则命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是()A.p或qB.p且qC.非pD.以上都不对答案:因为“△ABC是等腰直角三角形”即为“△ABC是等腰且直角三角形”,所以命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是p且q,故选B.4.已知x、y的取值如下表所示:
x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析,y与x线性相关,且
y=0.95x+
a,则
a的值等于()A.2.6B.6.3C.2D.4.5答案:∵.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5,∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)∵y与x线性相关,且y=0.95x+a,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6,故选A.5.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD所成的角为60°答案:将正方体的展开图,还原为正方体,AB,CD为相邻表面,且无公共顶点的两条面上的对角线∴AB与CD所成的角为60°故选D.6.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()
A.±
B.±2
C.±2
D.±4答案:B7.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an,共n个数据.我们规定所测量的“量佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=______.答案:∵所测量的“量佳近似值”a是与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近,∴a是所有数字的平均数,∴a=a1+a2+…+ann,故为:a1+a2+…+ann8.甲盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球,乙盒子中装有5个编号分别为1,2,3,4,5的小球,从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球,则取出两小球编号之积为奇数的概率为______.答案:由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从两个盒子中分别取一个小球,共有3×5=15种结果,满足条件的事件是取出的两个小球编号之积是奇数,可以列举出有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5)共有6种结果,∴要求的概率是615=25.故为25.9.
若平面向量,,两两所成的角相等,||=||=1,||=3,则|++|=()
A.2
B.4
C.2或5
D.4或5答案:C10.圆x2+y2=1和圆x2+y2-6y+5=0的位置关系是()
A.外切
B.内切
C.外离
D.内含答案:A11.某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为23.
(1)求比赛三局甲获胜的概率;
(2)求甲获胜的概率;
(3)设甲比赛的次数为X,求X的数学期望.答案:记甲n局获胜的概率为Pn,n=3,4,5,(1)比赛三局甲获胜的概率是:P3=C33(23)3=827;(2)比赛四局甲获胜的概率是:P4=C23(23)3
(13)=827;比赛五局甲获胜的概率是:P5=C24(13)2(23)3=1681;甲获胜的概率是:P3+P4+P5=6481.(3)记乙n局获胜的概率为Pn′,n=3,4,5.P3′=C33(13)3=127,P4′=C23(13)3
(23)=227;P5′=C24(13)3(23)2=881;故甲比赛次数的分布列为:X345P(X)P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比赛次数的数学期望是:EX=3(127+827)+4(827+227)+5(1681+881
)=10727.12.若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i(i是虚数单位),则p+q的值是()
A.-1
B.0
C.2
D.-2答案:B13.若平面α,β的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为()A.10B.-10C.12D.-12答案:∵α⊥β,∴平面α,β的法向量互相垂直∴(-1,2,4)•(x,-1,-2)=0即-1×x+(-1)×2+4×(-2)=0解得x=-10故选B.14.(1)求过两直线l1:7x-8y-1=0和l2:2x+17y+9=0的交点,且平行于直线2x-y+7=0的直线方程.
(2)求点A(--2,3)关于直线l:3x-y-1=0对称的点B的坐标.答案:(1)联立两条直线的方程可得:7x-8y-1=02x+17y+9=0,解得x=-1127,y=-1327所以l1与l2交点坐标是(-1127,-1327).(2)设与直线2x-y+7=0平行的直线l方程为2x-y+c=0因为直线l过l1与l2交点(-1127,-1327).所以c=13所以直线l的方程为6x-3y+1=0.点P(-2,3)关于直线3x-y-1=0的对称点Q的坐标(a,b),则b-3a+2×3=-1,且3×a-22-b+32-1=0,解得a=10且b=-1,对称点的坐标(10,-1)15.口袋中装有三个编号分别为1,2,3的小球,现从袋中随机取球,每次取一个球,确定编号后放回,连续取球两次.则“两次取球中有3号球”的概率为()A.59B.49C.25D.12答案:每次取球时,出现3号球的概率为13,则两次取得球都是3号求得概率为C22?(13)2=19,两次取得球只有一次取得3号求得概率为C12?13?23=49,故“两次取球中有3号球”的概率为19+49=59,故选A.16.点M的直角坐标是,则点M的极坐标为()
A.(2,)
B.(2,-)
C.(2,)
D.(2,2kπ+)(k∈Z)答案:C17.一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是全体实数所满足的条件是(
)
A.
B.
C.
D.答案:D18.如图,在直角坐标系中,A,B,C三点在x轴上,原点O和点B分别是线段AB和AC的中点,已知AO=m(m为常数),平面上的点P满足PA+PB=6m.
(1)试求点P的轨迹C1的方程;
(2)若点(x,y)在曲线C1上,求证:点(x3,y22)一定在某圆C2上;
(3)过点C作直线l,与圆C2相交于M,N两点,若点N恰好是线段CM的中点,试求直线l的方程.答案:(1)由题意可得点P的轨迹C1是以A,B为焦点的椭圆.…(2分)且半焦距长c=m,长半轴长a=3m,则C1的方程为x29m2+y28m2=1.…(5分)(2)若点(x,y)在曲线C1上,则x29m2+y28m2=1.设x3=x0,y22=y0,则x=3x0,y=22y0.…(7分)代入x29m2+y28m2=1,得x02+y02=m2,所以点(x3,y22)一定在某一圆C2上.…(10分)(3)由题意C(3m,0).…(11分)设M(x1,y1),则x12+y12=m2.…①因为点N恰好是线段CM的中点,所以N(x1+3m2,y12).代入C2的方程得(x1+3m2)2+(y12)2=m2.…②联立①②,解得x1=-m,y1=0.…(15分)故直线l有且只有一条,方程为y=0.…(16分)(若只写出直线方程,不说明理由,给1分)19.如图所示,在Rt△ABC内有一内接正方形,它的一条边在斜边BC上,设AB=a,∠ABC=θ
(1)求△ABC的面积f(θ)与正方形面积g(θ);
(2)当θ变化时,求f(θ)g(θ)的最小值.答案:(1)由题得:AC=atanθ∴f(θ)=12a2tanθ(0<θ<π2)
设正方形的边长为x,则BG=xsinθ,由几何关系知:∠AGD=θ∴AG=xcosθ
由BG+AG=a?xsinθ+xcosθ=a?x=asinθ1+sinθcosθ∴g(θ)=a2sin2θ(1+sinθcosθ)2(0<θ<π2)(2)f(θ)g(θ)=(1+sinθcoθ)22sinθcosθ=1+1sin2θ+sin2θ4
令:t=sin2θ∵0<θ<π2∴t∈(0,1]∴y=1+1t+t4=1+14(t+t4)∵函数y=1+14(t+t4)在(0,1]递减∴ymin=94(当且仅当t=1即θ=π4时成立)∴当θ=π4时,f(θ)g(θ)的最小值为94.20.已知a=(1,2),则|a|=______.答案:∵a=(1,2),∴|a|=12+22=5.故为5.21.已知向量,,,则(
)A.B.C.5D.25答案:C解析:将平方即可求得C.22.将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是()
A.
B.
C.
D.
答案:B23.某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元,若一次采购数量达到一定量,还可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图,若一次采购85台该平板电脑,则S=______元.答案:分析程序中各变量、各语句,其作用是:表示一次采购共需花费的金额,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数S=200×0.8?x,x>100200×0.9?x,50<x≤100200?x,0<x≤50的值,∵x=85,∴S=200×0.9×85=15300(元),故为:15300.24.抛物线x=14ay2的焦点坐标为()A.(116a,0)B.(a,0)C.(0,116a)D.(0,a)答案:抛物线x=14ay2可化为:y2=4ax,它的焦点坐标是(a,0)故选B.25.下列输入语句正确的是()
A.INPUT
x,y,z
B.INPUT“x=”;x,“y=”;y
C.INPUT
2,3,4
D.INPUT
x=2答案:A26.平面向量的夹角为,则等于(
)
A.
B.3
C.7
D.79答案:A27.圆(x+3)2+(y-1)2=25上的点到原点的最大距离是()
A.5-
B.5+
C
D.10答案:B28.设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=______.答案:∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),故两圆圆心在第一象限的角平分线上,设圆心的坐标为(a,a),则有|a|=(a-4)2-(a-1)2,∴a=5+22,或a=5-22,故圆心为(5+22,5+22
)
和(5-22,5-22
),故两圆心的距离|C1C2|=2[(5+22)-(5-22)]=8,故为:829.一支田径队有男运动员112人,女运动员84人,用分层抽样的方法从全体男运动员中抽出了32人,则应该从女运动员中抽出的人数为()
A.12
B.13
C.24
D.28答案:C30.某研究小组在一项实验中获得一组数据,将其整理得到如图所示的散点图,下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是(
)
A.y=2t
B.y=2t2
C.y=t3
D.y=log2t
答案:D31.(几何证明选做题)若A,B,C是⊙O上三点,PC切⊙O于点C,∠ABC=110°,∠BCP=40°,则∠AOB的大小为______.答案:∵PC切⊙O于点C,OC为圆的半径∴OC⊥PC,即∠PCO=90°∵∠BCP=40°∴∠BCO=50°由弦切角定理及圆周角定理可知,∠BOC=2∠PCB=80°∵△BOC中,∠OBC=50°,∠ABC=110°∴∠OBA=60°∵OB=OA∴∠AOB=60°故为:60°32.①点P在△ABC所在的平面内,且②点P为△ABC内的一点,且使得取得最小值;③点P是△ABC所在平面内一点,且,上述三个点P中,是△ABC的重心的有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个答案:D33.若平面α与β的法向量分别是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面α与β的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断答案:∵a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),∴a+b=(1-1,0+0,-2+2)=(0,0,0),即a+b=0由此可得a∥b∵a、b分别是平面α与β的法向量∴平面α与β的法向量平行,可得平面α与β互相平行.34.三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是()A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a答案:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0,由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1∴b<a<c故选C35.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方程y=0.68x+54.6
表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为()A.68B.68.2C.69D.75答案:设表中有一个模糊看不清数据为m.由表中数据得:.x=30,.y=m+3075,由于由最小二乘法求得回归方程y=0.68x+54.6.将x=30,y=m+3075代入回归直线方程,得m=68.故选A.36.类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是()A.连续两项的和相等的数列叫等和数列B.从第一项起,以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列C.从第二项起,以后每一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列D.从第二项起,以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列答案:由等差数列的定义:从第二项起,以后每一项与前一项的差都相等的数列叫等差数列类比可得:从第二项起,以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列故选D37.引入复数后,数系的结构图为()
A.
B.
C.
D.
答案:A38.已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3:1,一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内,另外的四个顶点在圆锥的侧面上(如图),则圆锥与正方体的表面积之比为(
)
A.π:1
B.3π:1
C.3π:2
D.3π:4
答案:D39.设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系是?答案:a═lg2+lg5=lg10=1又b=ex,由指数函数的性质知,当x<0时,0<b<1∴a>b40.(文)椭圆的一个焦点与短轴的两端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.不确定答案:C41.如图,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为3的正三角形,则b2的值是______.答案:∵△POF2是面积为3的正三角形,∴S=34|PF2|2=3,|PF2|=2.∴c=2,∵△PF1F2为直角三角形,∴a=3+1,故为23.42.求证:不论λ取什么实数时,直线(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.答案:证明:直线(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0即λ(2x+y-1)+(-x+3y+11)=0,根据λ的任意性可得2x+y-1=0-x+3y+11=0,解得x=2y=-3,∴不论λ取什么实数时,直线(2λ-1)x+(λ+3)y-(λ-11)=0都经过一个定点(2,-3).43.附加题选做题B.(矩阵与变换)
设矩阵A=m00n,若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为10,属于特征值2的一个特征向量为01,求实数m,n的值.答案:由题意得m00n10=110,m00n01=201,…6分化简得m=10?n=00?m=0n=2所以m=1n=2.…10分44.有一矩形纸片ABCD,按图所示方法进行任意折叠,使每次折叠后点B都落在边AD上,将B的落点记为B′,其中EF为折痕,点F也可落在边CD上,过B′作B′H∥CD交EF于点H,则点H的轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分答案:由题意知:点H到定点B的距离以及到定直线AD的距离相等,根据抛物线的定义可知:点H的轨迹为:抛物线,(抛物线的一部分)故选D.45.已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.6B.8C.10D.12答案:由双曲线的知识可知:C1x216-y29=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|+|PF2|=8而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,∴|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,∴|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|+|PF2|+2=8+2=10,故选C46.若随机变量X的概率分布如下表,则表中a的值为()
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
a
A.1
B.0.8
C.0.3
D.0.2答案:D47.用反证法证明“如果a<b,那么“”,假设的内容应是()
A.
B.
C.且
D.或
答案:D48.对任意实数x,y,定义运算x*y为:x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c为常数,等式右端运算为通常的实数加法和乘法,现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意的实数都有x*m=x,则d的值为(
)
A.4
B.1
C.0
D.不确定答案:A49.若与垂直,则k的值是()
A.2
B.1
C.0
D.答案:D50.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:
90
89
90
95
93
94
93
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数的平均值和方差分别为()
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.如图是用来求2+32+43+54+…+101100的计算程序,请补充完整:______.
答案:2+32+43+54+…+101100=(1+1)+(1+12)+(1+13)+…+(1+1100)故循环体中应是S=S+(1+1i)故为:S=S+(1+1i)2.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为()
A.(-2,1,-4)
B.(-2,-1,-4)
C.(2,1,-4)
D.(2,-1,4)答案:B3.已知函数f(x)=
-x+1,x<0x-1,x≥0,则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是()
A.[-1,
2-1]B.(-∞,1]C.(-∞,
2-1]D.[-
2-1,
2-1]答案:C解析:由题意x+(x+1)f(x+1)=4.据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.写出下列解释中正确的序号______.
①上海地区面积的70%至80%将降雨;
②上海地区下雨的时间在16.8小时至19.2%小时之间;
③上海地区在相似的气候条件下有70%至80%的日子是下雨的;
④上海地区在相似的气候条件下有20%至30%的日子是晴,或多云,或阴.答案:据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.表示上海地区在相似的气候条件下下雨的可能性很大,是有70%至80%的日子是下雨的.是但不一定下,也不是的70%至80%的时间与地区.故解释中正确的序号③故为:③5.解关于x的不等式(k≥0,k≠1).答案:不等式的解集为{x|x2}解析:原不等式即,1°若k=0,原不等式的解集为空集;2°若1-k>0,即0,所以原不等式的解集为{x|x2}.</k<1,由原不等式的解集为{x|2<x<</k<1时,原不等式等价于6.阅读下面的程序框图,则输出的S=()A.14B.20C.30D.55答案:∵S1=0,i1=1;S2=1,i2=2;S3=5,i3=3;S4=14,i4=4;S5=30,i=5>4退出循环,故为C.7.下面程序框图输出的S表示什么?虚线框表示什么结构?答案:由框图知,当r=5时,输出的s=πr2所以程序框图输出的S表示:求半径为5的圆的面积的算法的程序框图,虚线框是一个顺序结构.8.已知平面内一动点P到F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线x=-1于M点,且MA=λ1AF,MB=λ2BF,求λ1+λ2的值.答案:(1)由题意知动点P到F(1,0)的距离与直线x=-1的距离相等,由抛物线定义知,动点P在以F(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线上,方程为y2=4x.(2)由题设知直线的斜线存在,设直线AB的方程为:y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1)y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∵x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1,由MA=λ1AF,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∴x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1,由MA=λ1AF,得λ1=-1-2x2-1,同理λ2=-1-2x2-1,∴λ1+λ2=-2-2(1x1-1+1x2-1)=0.9.有一矩形纸片ABCD,按图所示方法进行任意折叠,使每次折叠后点B都落在边AD上,将B的落点记为B′,其中EF为折痕,点F也可落在边CD上,过B′作B′H∥CD交EF于点H,则点H的轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分答案:由题意知:点H到定点B的距离以及到定直线AD的距离相等,根据抛物线的定义可知:点H的轨迹为:抛物线,(抛物线的一部分)故选D.10.有一批机器,编号为1,2,3,…,112,为调查机器的质量问题,打算抽取10台,问此样本若采用简单的随机抽样方法将如何获得?答案:本题可以采用抽签法来抽取样本,首先把该校学生都编上号001,002,112…用抽签法做112个形状、大小相同的号签,然后将这些号签放到同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时,每次从中抽一个号签,连续抽取10次,就得到一个容量为10的样本.11.如图,I表示南北方向的公路,A地在公路的正东2km处,B地在A地北偏东60°方向2km处,河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地距离相等,现要在河岸PQ上选一处M建一座码头,向A,B两地转运货物,经测算从M到A,B修建公路的费用均为a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是(单位万元)()
A.(2+)a
B.5a
C.2(+1)a
D.6a
答案:B12.一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球,一次摸出5个球,在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率是______.答案:10个白球中取5个白球有C105种9个黑球中取5个黑球有C95种∴一次摸出5个球,它们的颜色相同的有C105+C95种∴一次摸出5个球,在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率=C510C510+C59=23故为:2313.设复数z的实部是
12,且|z|=1,则z=______.答案:设复数z的虚部等于b,b∈z,由复数z的实部是12,且|z|=1,可得14+b2=1,∴b=±32,故z=12±32i.故为:12±32i.14.在△ABC所在平面存在一点O使得OA+OB+OC=0,则面积S△OBCS△ABC=______.答案:∵OA+OB+OC=0,∴OB+
OC=AO,设OB+OC=OD∴O是AD的中点,要求面积之比的两个三角形是同底的三角形,∴面积之比等于三角形的高之比,∴比值是13,故为:13.15.某制药厂为了缩短培养时间,决定优选培养温度,试验范围定为29℃至50℃,现用分数法确定最佳温度,设第1,2,3次试验的温度分别为x1,x2,x3,若第2个试点比第1个试点好,则x3的值为(
)。答案:34℃或45℃16.(理)某单位有8名员工,其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训,另外3名员工没有参加过任何技能培训,现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训;
(I)求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率;
(Ⅱ)这次培训结束后,仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量,求X的分布列和数学期望.答案:(I)由题意知本题是一个等可能事件的概率,∵试验发生包含的事件是从8人中选3个,共有C83=56种结果,满足条件的事件是恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工,共有C51C32=15∴恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率P=1556(II)随机变量X可能取的值是:0,1,2,3.P(X=0)=156P(X=1)=1556P(X=2)=1528P(X=3)=C35C38=528∴随机变量X的分布列是X0123P15615561528528∴X的数学期望是1×1556+2×
1528+3×528=15817.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(4,3,7)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为______.答案:设所求对称点为P'(x,y,z)∵关于坐标平面yOz的对称的两个点,它们的纵坐标、竖坐标相等,而横坐标互为相反数,∴x=-4,y=3,z=7即P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P'(-4,3,7)故为:(-4,3,7)18.方程组的解集是[
]A.
B.{x,y|x=3且y=-7}
C.{3,-7}
D.{(x,y)|x=3且y=-7}答案:D19.四个森林防火观察站A,B,C,D的坐标依次为(5,0),(-5,0),(0,5),(0,-5),他们都发现某一地区有火讯.若A,B观察到的距离相差为6,且离A近,C,D观察到的距离相差也为6,且离C近.试求火讯点的坐标.答案:设火讯点的坐标P(x,y),由于观察到的距离相差为6,点P在双曲线上,由于离A近,所以点P在双曲线x29-y216=1(x≥3)上;由于离C近,所以点P在双曲线Y29-X216=1(Y≥3)上;由这两个方程解得:x=1277y=1277答:火讯点的坐标为:(1277,1277).20.若直线3x+4y+m=0与曲线x=1+cosθy=-2+sinθ(θ为参数)没有公共点,则实数m的取值范围是
______.答案:∵曲线x=1+cosθy=-2+sinθ(θ为参数)的普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1则圆心(1,-2)到直线3x+4y+m=0的距离d=|3•1+4(-2)+m|32+42=|m-5|5,令|m-5|5>1,得m>10或m<0.故为:m>10或m<0.21.已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0的圆心在点C,点A(3,5),求:
(1)过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.答案:(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.当切线的斜率不存在时,对直线x=3,C(2,3)到直线的距离为1,满足条件;当k存在时,设直线y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,∴|-k+2|k2+1=1,得k=34.∴得直线方程x=3或y=34x+114.(2)|AO|=9+25=34,l:5x-3y=0,d=134,S=12d|AO|=12.22.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,0.2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于()A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84答案:∵随机变量ξ服从正态分布N(2,0.2),μ=2,∴p(ξ≤0)=p(ξ≥4)=1-p(ξ≤4)=0.16.故选A.23.
如图,已知PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,PA=6,PB=BC,⊙O的半径OC=5,那么弦BC的弦心距OM=()
A.4
B.3
C.5
D.6
答案:A24.平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量其中,若且0≤μ≤λ≤1,那么C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()
A.
B.
C.
D.
答案:A25.将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:C26.规定符号“△”表示一种运算,即a△b=ab+a+b,其中a、b∈R+;若1△k=3,则函数f(x)=k△x的值域______.答案:1△k=k+1+k=3,解得k=1,∴k=1∴f(x)=k△x=kx+k+x=x+x+1对于x需x≥0,∴对于f(x)=x+x+1=(x+12)2+34≥1故函数f(x)的值域为[1,+∞)故为:[1,+∞)27.如果e1,e2是平面a内所有向量的一组基底,那么()A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1,λ2∈RC.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面a内D.对平面a中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对答案:∵由基底的定义可知,e1和e2是平面上不共线的两个向量,∴实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0,不是空间任一向量都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,而是平面a中的任一向量a,可以表示为a=λ1e1+λ2e2的形式,此时实数λ1,λ2有且只有一对,而对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2一定在平面a内,故选A.28.设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,则a的范围为______.答案:∵f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,∴2a-1<0,解得a<12.故为:a<12.29.设A(3,4),在x轴上有一点P(x,0),使得|PA|=5,则x等于()
A.0
B.6
C.0或6
D.0或-6答案:C30.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于(
)
A.2
B.1
C.0
D.-1答案:D31.在某电视歌曲大奖赛中,最有六位选手争夺一个特别奖,观众A,B,C,D猜测如下:A说:获奖的不是1号就是2号;A说:获奖的不可能是3号;C说:4号、5号、6号都不可能获奖;D说:获奖的是4号、5号、6号中的一个.比赛结果表明,四个人中恰好有一个人猜对,则猜对者一定是观众
获特别奖的是
号选手.答案:C,3.解析:推理如下:因为只有一人猜对,而C与D互相否定,故C、D中一人猜对。假设D对,则推出B也对,与题设矛盾,故D猜错,所以猜对者一定是C;于是B一定猜错,故获奖者是3号选手(此时A错).32.椭圆的长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是______.答案:椭圆上的点到圆心的最小距离为短半轴的长度,最大距离为长半轴的长度因为椭圆的长轴长为10,短轴长为8,所以椭圆上的点到圆心的最小距离为4,最大距离为5所以椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是[4,5]故为:[4,5]33.双曲线的实轴长和焦距分别为()
A.
B.
C.
D.答案:C34.若集合S={a,b,c}(a、b、c∈R)中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形答案:D35.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为()
A.a,b,c,d中至少有一个正数
B.a,b,c,d全为正数
C.a,b,c,d全都大于等于0
D.a,b,c,d中至多有一个负数答案:C36.若kxy-8x+9y-12=0表示两条直线,则实数k的值及两直线所成的角分别是()
A.8,60°
B.4,45°
C.6,90°
D.2,30°答案:C37.已知a,b为正数,求证:≥.答案:证明略解析:1:∵a>0,b>0,∴≥,≥,两式相加,得≥,∴≥.解析2.≥.∴≥.解析3.∵a>0,b>0,∴,∴欲证≥,即证≥,只要证
≥,只要证
≥,即证
≥,只要证a3+b3≥ab(a+b),只要证a2+b2-ab≥ab,即证(a-b)2≥0.∵(a-b)2≥0成立,∴原不等式成立.【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时,常通过分析法寻求证题思路.“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法,特别是这两种方法的综合运用能力,对解决实际问题有重要的作用.这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法.38.设随机变量ξ服从正态分布N(u,9),若p(ξ>3)=p(ξ<1),则u=______.答案:∵随机变量ξ服从正态分布N(u,9),p(ξ>3)=p(ξ<1),∴u=3+12=2故为239.在区间[-1,1]上任取两个数s和t,则关于x的方程x2+sx+t=0的两根都是正数的概率是[
]A.
B.
C.
D.答案:A40.一圆台上底半径为5cm,下底半径为10cm,母线AB长为20cm,其中A在上底面上,B在下底面上,从AB中点M,拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短长为______cm.答案:画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O.有图得:所求的最短距离是MB',设OA=R,圆心角是α,则由题意知,10π=αR
①,20π=α(20+R)
②,由①②解得,α=π2,R=20,∴OM=30,OB'=40,则MB'=50cm.故为:50cm.41.大熊猫活到十岁的概率是0.8,活到十五岁的概率是0.6,若现有一只大熊猫已经十岁了,则他活到十五岁的概率是()
A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.48答案:B42.已知直线l:(t为参数)的倾斜角是()
A.
B.
C.
D.答案:D43.已知x+2y+3z=1,则x2+y2+z2取最小值时,x+y+z的值为______.答案:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)故x2+y2+z2≥114,当且仅当x1=y2=z3取等号,此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x=1,∴x=114,y=214,x=314,x+y+z=614=37.故为:37.44.关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负数根的绝对值比正数根大,那么实数m的取值范围是()
A.-3<m<0
B.0<m<3
C.m<-3或m>0
D.m<0或m>3答案:A45.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了()
A.分析发
B.综合法
C.综合法、分析法结合使用
D.间接证法答案:B46.已知圆C的极坐标方程是ρ=2sinθ,那么该圆的直角坐标方程为
______,半径长是
______.答案:把极坐标方程是ρ=2sinθ的两边同时乘以ρ得:ρ2=2ρsinθ,∴x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,表示以(0,1)为圆心,半径等于1的圆,故为:x2+(y-1)2=1;1.47.以数集A={a,b,c,d}中的四个元素为边长的四边形只能是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形答案:∵数集A={a,b,c,d}中的四个元素互不相同,∴以数集A={a,b,c,d}中的四个元素为边长的四边形,四条边不相等∴四边形只可能是梯形故选D.48.已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,F(0,-5)为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为()
A.
B.
C.
D.答案:B49.已知=(1,2),=(x,1),当(+2)⊥(2-)时,实数x的值为(
)
A.6
B.2
C.-2
D.或-2答案:D50.直线l过点(-3,1),且它的一个方向向量n=(2,-3),则直线l的方程为______.答案:设直线l的另一个方向向量为a=(1,k),其中k是直线的斜率可得n=(2,-3)与a=(1,k)互相平行∴12=k-3⇒k=-32所以直线l的点斜式方程为:y-1=-32(x+3)化成一般式:3x+2y+7=0故为:3x+2y+7=0第3卷一.综合题(共50题)1.设a1,a2,…,an为实数,证明:a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn.答案:证明:不妨设a1≤a2≤…≤an,则由排序原理得:a12+a22+…+an2=a1a1+a2a2+…+anana12+a22+…+an2≤a1a2+a2a3+…+ana1a12+a22+…+an2≤a1a3+a2a4+…+an-1a1+ana2…a12+a22+…+an2≤a1an+a2a1+…+anan-1.将上述n个式子相加,得:n(a12+a22+…+an2)≤(a1+a2+…+an)2,上式两边除以n2,并开方可得:a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn.2.点M(4,)化成直角坐标为()
A.(2,)
B.(-2,-)
C.(,2)
D.(-,-2)答案:B3.一圆台上底半径为5cm,下底半径为10cm,母线AB长为20cm,其中A在上底面上,B在下底面上,从AB中点M,拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短长为______cm.答案:画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O.有图得:所求的最短距离是MB',设OA=R,圆心角是α,则由题意知,10π=αR
①,20π=α(20+R)
②,由①②解得,α=π2,R=20,∴OM=30,OB'=40,则MB'=50cm.故为:50cm.4.在空间四边形OABC中,OA+AB-CB等于()A.OAB.ABC.OCD.AC答案:根据向量的加法、减法法则,得OA+AB-CB=OB-CB=OB+BC=OC.故选C.5.圆x2+y2=1在矩阵10012对应的变换作用下的结果为______.答案:设P(x,y)是圆C:x2+y2=1上的任一点,P1(x′,y′)是P(x,y)在矩阵A=10012对应变换作用下新曲线上的对应点,则x′y′=10012xy=1x12y即x′=xy′=12y,所以x=x′y=2y′,将x=x′y=2y′代入x2+y2=1,得x2+4y2=1,(8分)故为:x2+4y2=1.6.设O为坐标原点,给定一个定点A(4,3),而点B(x,0)在x正半轴上移动,l(x)表示AB的长,则△OAB中两边长的比值的最大值为()
A.
B.
C.
D.答案:B7.抛物线y=x2的焦点坐标是()
A.(,0)
B.(0,)
C.(0,1)
D.(1,0)答案:C8.如图是集合的知识结构图,如果要加入“全集”,则应该放在()
A.“集合的概念”的下位
B.“集合的表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位答案:D9.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[60,70]的汽车大约有()辆.A.90B.80C.70D.60答案:由已知可得样本容量为200,又∵数据落在区间[60,70]的频率为0.04×10=0.4∴时速在[60,70]的汽车大约有200×0.4=80故选B.10.若复数z=(m2-1)+(m+1)i为纯虚数,则实数m的值等于______.答案:复数z=(m2-1)+(m+1)i当z是纯虚数时,必有:m2-1=0且m+1≠0解得,m=1.故为1.11.向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为π3,则|a+2b|=______.答案:∵|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为π3,∴a?b=|a|?|b|?cosπ3=1因此,(a+2b)2=|a|2+4a?b+4|b|2=12+4×1+4|b|2=21∴|a+2b|=21故为:2112.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PBPA=12,PCPD=13,则BCAD的值为______.答案:因为A,B,C,D四点共圆,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因为∠P为公共角,所以△PBC∽△PAB,所以PBPD=PCPA=BCAD.设OB=x,PC=y,则有x3y=y2x?x=6y2,所以BCAD=x3y=66.故填:66.13.如图是《集合》的知识结构图,如果要加入“子集”,那么应该放在()
A.“集合”的下位
B.“含义与表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:C14.据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.写出下列解释中正确的序号______.
①上海地区面积的70%至80%将降雨;
②上海地区下雨的时间在16.8小时至19.2%小时之间;
③上海地区在相似的气候条件下有70%至80%的日子是下雨的;
④上海地区在相似的气候条件下有20%至30%的日子是晴,或多云,或阴.答案:据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.表示上海地区在相似的气候条件下下雨的可能性很大,是有70%至80%的日子是下雨的.是但不一定下,也不是的70%至80%的时间与地区.故解释中正确的序号③故为:③15.两条直线l1:x-3y+2=0与l2:x-y+2=0的夹角的大小是______.答案:由于两条直线l1:x-3y+2=0与l2:x-y+2=0的斜率分别为33、1,设两条直线的夹角为θ,则tanθ=|k2-k11+k2•k1|=|1-331+1×33|=3-33+3=2-3,∴tan2θ=2tanθ1-tan2θ=33,∴2θ=π6,θ=π12,故为π12.16.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()
A.(,-)
B.(,-)
C.(-,)
D.(-,)答案:A17.若0<x<1,则2x,(12)x,(0.2)x之间的大小关系为()A.2x<(0.2)x<(12)xB.2x<(12)x<(0.2)xC.(12)x<(0.2)x<2xD.(0.2)x<(12)x<2x答案:由题意考察幂函数y=xn(0<n<1),利用幂函数的性质,∵0<n<1,∴幂函数y=xn在第一象限是增函数,又2>12>0.2∴2x>(12)x>(0.2)x故选D18.已知一种材料的最佳加入量在l000g到2000g之间,若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是(
)g。答案:1618或138219.某学院有四个饲养房,分别养有18,54,24,48只白鼠供实验用,某项实验需要抽取24只白鼠,你认为最合适的抽样方法是()A.在每个饲养房各抽取6只B.把所以白鼠都编上号,用随机抽样法确定24只C.在四个饲养房应分别抽取3,9,4,8只D.先确定这四个饲养房应分别抽取3,9,4,8只样品,再由各饲养房将白鼠编号,用简单随机抽样确定各自要抽取的对象答案:A中对四个饲养房平均摊派,但由于各饲养房所养数量不一,反而造成了各个个体入选概率的不均衡,是错误的方法.B中保证了各个个体入选概率的相等,但由于没有注意到处在四个不同环境中会产生差异,不如采用分层抽样可靠性高,且统一编号统一选择加大了工作量.C中总体采用了分层抽样,但在每个层次中没有考虑到个体的差层(如健壮程度,灵活程度),貌似随机,实则各个个体概率不等.故选D.20.与函数y=x相等的函数是()A.f(x)=(x)2B.f(x)=x2xC.f(x)=x2D.f(x)=3x3答案:对于A,f(x)=x(x≥0),不符合;对于B,f(x)=x(x≠0),不符合;对于C,f(x)=|x|(x∈R),不符合;对于D,f(x)=x(x∈R),符合;故选D.21.已知抛物线x2=4y上的点p到焦点的距离是10,则p点坐标是
______.答案:根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)根据抛物线定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等,∴yp+1=10,求得yp=9,代入抛物线方程求得x=±6∴p点坐标是(±6,9)故为:(±6,9)22.给出下列四个命题:
①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②在平行四边形ABCD中,一定有;
③若则
④若则
其中正确的命题个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4答案:C23.曲线的参数方程是(t是参数,t≠0),它的普通方程是()
A.(x-1)2(y-1)=1
B.
C.
D.答案:B24.复数(12+32i)3i的值为______.答案:(12+32i)3i=(cosπ3+isinπ3)3cosπ2+isinπ2=cosπ+isinπcosπ2+
isinπ2=cosπ2+isinπ2=i,故为:i.25.算法的有穷性是指()A.算法必须包含输出B.算法中每个操作步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限D.以上说法均不正确答案:一个算法必须在有限步内结束,简单的说就是没有死循环即算法的步骤必须有限故选C.26.若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离,则点P(a,b)的位置是()
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.以上都有可能答案:C27.设椭圆=1和x轴正方向的交点为A,和y轴的正方向的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,使四边形OAPB面积最大(O为原点),那么四边形OAPB面积最大值为()
A.ab
B.ab
C.ab
D.2ab答案:B28.对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零常数m,使得对任意实数x,都有x*m=x,则m的值是[
]
A.4
B.-4
C.-5
D.6答案:A29.不等式|x-500|≤5的解集是______.答案:因为不等式|x-500|≤5,由绝对值不等式的几何意义可知:{x|495≤x≤505}.故为:{x|495≤x≤505}.30.“若x、y全为零,则xy=0”的否命题为______.答案:由于“全为零”的否定为“不全为零”,所以“若x、y全为零,则xy=0”的否命题为“若x、y不全为零,则xy≠0”.故为:若x、y不全为零,则xy≠0.31.直线2x+y-3=0与直线3x+9y+1=0的夹角是()
A.
B.arctan2
C.
D.答案:C32.若数列{an}(n∈N+)为等差数列,则数列bn=a1+a2+a3+…+ann(n∈N+)也为等差数列,类比上述性质,相应地,若数列{cn}是等比数列且cn>0(n∈N+),则有数列dn=______(n∈N+)也是等比数列.答案:从商类比开方,从和类比到积,可得如下结论:nC1C2C3Cn故为:nC1C2C3Cn33.(选做题)
曲线(θ为参数)与直线y=a有两个公共点,则实数a的取值范围是(
).答案:0<a≤134.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ为参数)和直线l:x=4t+6y=-3t-2(t为参数),则直线l与圆C相交所得的弦长等于______.答案:∵在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ为参数),∴(x+1)2+(y-2)2=25,∴圆心为(-1,2),半径为5,∵直线l:x=4t+6y=-3t-2(t为参数),∴3x+4y-10=0,∴圆心到直线l的距离d=|-3+8-10|5=1,∴直线l与圆C相交所得的弦长=2×52-1=46.故为46.35.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在轴上,离心率e=22,且经过点M(0,2),求椭圆c的方程答案:若焦点在x轴很明显,过点M(0,2)点M即椭圆的上端点,所以b=2ca=22c2=12a2∵a2=b2+c2所以b2=c2=2a2=4椭圆:x24+y22=1若焦点在y轴,则a=2,ca=22,c=1∴b=1椭圆方程:x22+y2=1.36.点P(,)与圆x2+y2=1的位置关系是()
A.在圆内
B.在圆外
C.在圆上
D.与t有关答案:C37.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一个动点,FA与x轴正方向的夹角为60°,求|OA|的值.答案:由题意设A(x+P2,3x),代入y2=2px得(3x)2=2p(x+p2)解得x=p(负值舍去).∴A(32p,3p)∴|OA|=(32p)2+3p2=212p38.如图,在Rt△ABC中,已知∠ABC=90°,BC=6,以AB为直径作⊙O,连接OC,过点C作⊙O的切线CD,D为切点,若sin∠OCD=45,则直径AB=______.答案:连接OD,则OD⊥
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