2023年四川信息职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年四川信息职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知如下等式：12=1×2×36，12+22=2×3×56，12+22+32=3×4×76，…当n∈N*时，试猜想12+22+32+…+n2的值，并用数学归纳法给予证明．答案：由已知，猜想12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6，下面用数学归纳法给予证明：（1）当n=1时，由已知得原式成立；（2）假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6，那么，当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=k(k+1)(2k+1)6+（k+1）2=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6故n=k+1时，原式也成立．由（1）、（2）知12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6成立．2.（x+2y）4展开式中各项的系数和为______．答案：令x=y=1，可得（1+2）4=81故为：81．3.已知直线l：（t为参数）的倾斜角是（）

A.

B.

C.

D.答案：D4.与函数y=x相等的函数是（）A．f（x）=（x）2B．f（x）=x2xC．f（x）=x2D．f（x）=3x3答案：对于A，f（x）=x（x≥0），不符合；对于B，f（x）=x（x≠0），不符合；对于C，f（x）=|x|（x∈R），不符合；对于D，f（x）=x（x∈R），符合；故选D．5.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是______．答案：解析：∵|PF1|+|PF2|=2a，|PQ|=|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a，即|F1Q|=2a，∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故：圆．6.某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23．

（1）求比赛三局甲获胜的概率；

（2）求甲获胜的概率；

（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．答案：记甲n局获胜的概率为Pn，n=3，4，5，（1）比赛三局甲获胜的概率是：P3=C33(23)3=827；（2）比赛四局甲获胜的概率是：P4=C23(23)3

(13)=827；比赛五局甲获胜的概率是：P5=C24(13)2(23)3=1681；甲获胜的概率是：P3+P4+P5=6481．（3）记乙n局获胜的概率为Pn′，n=3，4，5．P3′=C33(13)3=127，P4′=C23(13)3

(23)=227；P5′=C24(13)3(23)2=881；故甲比赛次数的分布列为：X345P（X）P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比赛次数的数学期望是：EX=3（127+827）+4（827+227）+5（1681+881

）=10727．7.“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）

A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角

B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角

C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角

D．以上都不对答案：B8.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）

A．（3，-1）

B．（-1，3）

C．（-3，-1）

D．（3，1）答案：A9.已知|a|=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为π3时，a在e方向上的投影为

______．答案：a在e方向上的投影为a?e=|a||e|cosπ3=4故为：410.

在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD,点O在线段CD上（与点C、D不重合），若AO=xAB+(1-x）AC,则x的取值范围是（）

A.

B.

C．

D．答案：D11.若直线过点（1，2），()，则此直线的倾斜角是（）

A．60°

B．45°

C．30°

D．90°答案：C12.已知边长为1的正方形ABCD，则|AB+BC+CD|=______．答案：利用向量加法的几何性质，得AB+BC=AC∴AB+BC+CD=AD因为正方形的边长等于1所以|AB+BC+CD|=|AD|

=1故为：113.方程.12

41x

x21-3

9.=0的解集为______．答案：.12

41x

x21-3

9.=9x+2x2-12-4x+3x2-18=0，即x2+x-6=0，故x1=-3，x2=2．故方程的解集为{-3，2}．14.已知函数y=f（x）是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2011，则x1+x2+…+x2011=______．答案：∵f（x）是R上的奇函数，∴0是函数y=f（x）的零点．其他非0的零点关于原点对称．∴x1+x2+…+x2011=0．故为：0．15.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定

是（）

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案：D16.圆x2+y2=1在矩阵A={}对应的变换下，得到的曲线的方程是（）

A．=1

B．=1

C．=1

D．=1答案：C17.已知向量，，则“，λ∈R”成立的必要不充分条件是（）

A.

B与方向相同

C.

D.答案：D18.如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有（）A．k1＜k3＜k2B．k3＜k1＜k2C．k1＜k2＜k3D．k3＜k2＜k1答案：设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1，α2，α3．由已知为α1为钝角，α2＞α3，且均为锐角．由于正切函数y=tanx在（0，π2）上单调递增，且函数值为正，所以tanα2＞tanα3＞0，即k2＞k3＞0．当α为钝角时，tanα为负，所以k1=tanα1＜0．综上k1＜k3＜k2，故选A．19.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为______．答案：∵OD∥BC，∴∠AOD=∠B；∵AD是⊙O的切线，∴BA⊥AD，即∠OAD=∠ACB=90°，∴Rt△AOD∽Rt△CBA，∴BCOA=ABOD，即BC1=23，故BC=23．20.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是4和3及x，那么x的值的个数为（）

A．1个

B．2个

C．2个以上但有限

D．无数个答案：B21.有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．答案：由于台体的体积V=13（S+SS′+S′）h，则h=3VS+SS′+S′=3×1900003600+2400+1600=75cm．故它的深度为75cm．22.圆的极坐标方程是ρ=2cosθ+2sinθ，则其圆心的极坐标是（）

A．(2，)

B．(2，)

C．(1，)

D．(1，)答案：A23.（1）求过两直线l1：7x-8y-1=0和l2：2x+17y+9=0的交点，且平行于直线2x-y+7=0的直线方程．

（2）求点A（--2，3）关于直线l：3x-y-1=0对称的点B的坐标．答案：（1）联立两条直线的方程可得：7x-8y-1=02x+17y+9=0，解得x=-1127，y=-1327所以l1与l2交点坐标是（-1127，-1327）．（2）设与直线2x-y+7=0平行的直线l方程为2x-y+c=0因为直线l过l1与l2交点（-1127，-1327）．所以c=13所以直线l的方程为6x-3y+1=0．点P（-2，3）关于直线3x-y-1=0的对称点Q的坐标（a，b），则b-3a+2×3=-1，且3×a-22-b+32-1=0，解得a=10且b=-1，对称点的坐标（10，-1）24.已知有如下两段程序：

问：程序1运行的结果为______．程序2运行的结果为______．

答案：程序1是计数变量i=21开始，不满足i≤20，终止循环，累加变量sum=0，这个程序计算的结果：sum=0；程序2计数变量i=21，开始进入循环，sum=0+21=22，其值大于20，循环终止，累加变量sum从0开始，这个程序计算的是sum=21．故为：0；21．25.某种肥皂原零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。你在购买相同数量肥皂的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买（

）块肥皂。

A.5

B.2

C.3

D.4答案：D26.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±12x，则双曲线的离心率e=______．答案：依题意可知ba=12，求得a=2b∴c=a2+b2=5b∴e=ca=52故为52．27.下列命题错误的是（

）A．命题“若，则中至少有一个为零”的否定是：“若，则都不为零”。B．对于命题，使得；则是，均有。C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”。D．“”是“”的充分不必要条件。答案：A解析：命题的否定是只否定结论，∴选A.28.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案：由独立重复试验的方差公式可以得到Dξ=npq≤n（p+q2）2=n4，等号在p=q=12时成立，∴Dξ=100×12×12=25，σξ=25=5．故为：12；529.解不等式：2＜|3x-1|≤3．答案：由原不等式得-3≤3x-1＜-2或2＜3x-1≤3，∴-2≤3x＜-1或3＜3x≤4，∴-23≤x＜-13或1＜x≤43，∴不等式的解集是{x|-23≤x＜-13或1＜x≤43}．30.若向量、、满足++=，=3，=1，=4，则等于（

）

A．-11

B．-12

C．-13

D．-14答案：C31.当a＞0时，不等式组的解集为（

）。答案：当a＞时为；当a=时为{}；当0＜a＜时为[a，1-a]32.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）

A．24种

B．48种

C．96种

D．144种答案：C33.x=5

y=6

PRINT

x+y=11

END

上面程序运行时输出的结果是（）

A．x+y=11

B．11

C．x+y

D．出错信息答案：B34.设椭圆=1和x轴正方向的交点为A，和y轴的正方向的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（O为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（）

A．ab

B.ab

C．ab

D．2ab答案：B35.椭圆x29+y216=1上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10B．8C．6D．不确定答案：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，故选B．36.已知命题p：“有的实数没有平方根．”，则非p是______．答案：∵命题p：“有的实数没有平方根．”，是一个特称命题，非P是它的否定，应为全称命题“所有实数都有平方根”故为：所有实数都有平方根．37.以下命题：

①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；

②过圆上的点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2；

③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；

④抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离．

其中正确命题的标号是______．答案：①两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，且截距不等，故①不正确，②过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．②正确，③不正确，若平面内到两定点距离之和等于常数，如这个常数正好为两个点的距离，则动点的轨迹是两点的连线段，而不是椭圆；④根据抛物线的定义知：抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离．故④正确．故为：②④．38.已知向量，，若与共线，则的值为

A

B

C

D

答案：D解析：，，由，得39.函数数列{fn（x）}满足：f1(x)=x1+x2(x＞0)，fn+1（x）=f1[fn（x）]

（1）求f2（x），f3（x）；

（2）猜想fn（x）的表达式，并证明你的结论．答案：（1）f2(x)=f1(f1(x))=f1(x)1+f21(x)=x1+2x2f3(x)=f1(f2(x))=f2(x)1+f22(x)=x1+3x2（2）猜想：fn(x)=x1+nx2(n∈N*)下面用数学归纳法证明：①当n=1时，f1(x)=x1+x22，已知，显然成立②假设当n=K（K∈N*）4时，猜想成立，即fk(x)=x1+kx2则当n=K+1时，fk+1(x)=f1(fk(x))=fk(x)1+f2k(x)=x1+kx21+(x1+kx2)2=x1+(k+1)x2即对n=K+1时，猜想也成立．结合①②可知：猜想fn(x)=x1+nx2对一切n∈N*都成立．40.已知0＜α＜π2，方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围______．答案：方程x2sinα+y2cosα=1化成标准形式得：x21sinα+y21cosα=1．∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴1cosα＞1sinα＞0，解之得sinα＞cosα＞0∵0＜α＜π2，∴π4＜α＜π2，即α的取值范围是(π4，π2)故为：(π4，π2)41.若向量且与的夹角余弦为则λ等于（）

A．4

B．-4

C．

D．答案：C42.小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（）

A．

B．

C．

D．答案：A43.将6位志愿者分成4组，每组至少1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有______种（用数字作答）．答案：由题意，六个人分为四组，若有三个人一组，则四组人数为3，1，1，1，则不同的分法为C63=20种，若存在两人一组，则分法为2，2，1，1，不同的分法有C26×C24A22=45分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有（20+45）×A44=1560种故为：1560．44.定义在R上的二次函数y=f（x）在（0，2）上单调递减，其图象关于直线x=2对称，则下列式子可以成立的是（）

A．

B．

C．

D．答案：D45.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为______．答案：由题意几何体复原是一个底面边长为8，6的距离，高为4，且顶点在底面的射影是底面矩形的中心的四棱锥．底面矩形的面积是48所以几何体的体积是：13×46×4=64故为：64．46.在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）

A．ρsinθ=1

B．ρsinθ=

C．ρcosθ=1

D．ρcosθ=答案：A47.已知随机变量X满足D（X）=2，则D（3X+2）=（）

A．2

B．8

C．18

D．20答案：C48.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）

A．k2+1

B．（k+1）2

C．

D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2答案：D49.下列图象中不能作为函数图象的是（）A．

B．

C．

D．

答案：根据函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，这时称y是x的函数．结合选项可知，只有选项B中是一个x对应1或2个y故选B．50.设a、b为单位向量，它们的夹角为90°，那么|a+3b|等于（）A．7B．10C．13D．4答案：∵a，b它们的夹角为90°∴a?b=0∴（a+3b）2=a2+6a?b+9b2=10，|a+3b|=10．故选B．第2卷一.综合题(共50题)1.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数（的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：A2.设a、b为单位向量，它们的夹角为90°，那么|a+3b|等于______．答案：∵a，b它们的夹角为90°∴a?b=0∴(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=10∴|a+3b|=10故为103.已知点P是长方体ABCD-A1B1C1D1底面ABCD内一动点，其中AA1=AB=1，AD=2，若A1P与A1C所成的角为30°，那么点P在底面的轨迹为（）A．圆弧B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分答案：如图，∵A1P与A1C所成的角为30°，∴P点在以A1C为轴，母线与轴的夹角为30度的圆锥面上，在直角三角形A1CC1中，A1C1=3，CC1=1，∴∠C1AC1=30°当截面ABCD与圆锥的母线A1C1平行时，截得的图形是抛物线，故点P在底面的轨迹为抛物线的一部分．故选D．4.设a=(x，y，3)，b=(3，3，5)，且a⊥b，则x+y=（）A．1B．-1C．-5D．5答案：∵a=(x，y，3)，b=(3，3，5)，且a⊥b，∴a•b=3x+3y+15=0，∴x+y=-5，故选

C．5.若方程sin2x+4sinx+m=0有实数解，则m的取值范围是（

）

A、R

B、(-∞，-5]∪[3，+∞)

C、(-5，3)

D、[-5，3]答案：D6.无论m，n取何实数值，直线(3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P，则P点坐标为

A.(-1，3)

B.

C.

D.答案：D7.如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）

A．y2=x

B．y2=9x

C．y2=x

D．y2=3x

答案：D8.从四个公司按分层抽样的方法抽取职工参加知识竞赛，其中甲公司共有职工96人．若从甲、乙、丙、丁四个公司抽取的职工人数分别为12，21，25，43，则这四个公司的总人数为（）

A．101

B．808

C．1212

D．2012答案：B9.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上．答案：连接OE，OF，OG，OH．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA，且BD⊥AC．∵E、F、GH分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴OE=OF=OG=OH=12AB，∴E、F、G、H四点在以O为圆心，12AB为半径的圆上．10.满足f（xy）=f（x）+f（y）（x＞0，y＞0）且f（3）=2的函数可以是f（x）=______．答案：若函数为对数函数，不妨令f（x）=logax则f（xy）=loga（xy）=logax+logay=f（x）+f（y）满足条件又∵f（3）=2∴loga3=2解得a=3故f（x）=log3x故为：log3x11.已知Sn=1+12+13+14+…+12n（n＞1，n∈N*）．求证：S2n＞1+n2（n≥2，n∈N*）．答案：证明：（1）当n=2时，左边=1+12+13+14=2512，右边=1+22=2，∴左边＞右边（2）假设n=k（k≥2）时不等式成立，即S

2k=1+12+13+14+…+12k≥1+k2，当n=k+1时，不等式左边S2（k+1）=1+12+13+14+…+12k+1+…+12k+1＞1+k2+12k+1+…+12k+1＞1+k2+2k2k+2k=1+k2+12=1+k+12，综上（1）（2）可知S2n＞1+n2对于任意的n≥2正整数成立．12.方程2x2+ky2=1表示的曲线是长轴在y轴的椭圆，则实数k的范围是（）A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（2，0）答案：椭圆方程化为x212+y21k=1．焦点在y轴上，则1k＞12，即k＜2．又k＞0，∴0＜k＜2．故选C．13.在四面体O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE可表示为（用a，b、c表示）．

（）A．12a+14b+14cB．12a+13b-12cC．13a+14b+14cD．13a-14b+14c答案：OE=OA+12AD=OA+12×12（AB+AC）=OA+14×（OB-OA+OC-OA）PD.CD+BC.AD+CA.BD=12OA+14OB+14OC=12a+14b+14c．故选A．14.设U={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈R}，M={（x，y）|x|+|y|≤1，x，y∈R}，现有一质点随机落入区域U中，则质点落入M中的概率是（）A．2πB．12πC．1πD．2π答案：满足条件U={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈R}的圆，如下图示：其中满足条件M={（x，y）|x|+|y|≤1，x，y∈R}的平面区域如图中阴影所示：则圆的面积S圆=π阴影部分的面积S阴影=2故质点落入M中的概率概率P=S阴影S正方形=2π故选D15.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是（）A．f（x）=log2xB．f(x)=1xC．f（x）=|x|D．f（x）=2x答案：∵函数y=1x定义域为x＞0，又函数f（x）=log2x定义域x＞0，故选A．16.在空间直角坐标系中，点P（2，-4，6）关于y轴对称点P′的坐标为P′（-2，-4，-6）P′（-2，-4，-6）．答案：∵在空间直角坐标系中，点（2，-4，6）关于y轴对称，∴其对称点为：（-2，-4，-6），故为：（-2，-4，-6）．17.在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（4）

D．（2）（3）答案：D18.根据给出的程序语言，画出程序框图，并计算程序运行后的结果．

答案：程序框图：模拟程序运行：当j=1时，n=1，当j=2时，n=1，当j=3时，n=1，当j=4时，n=2，…当j=8时，n=2，…当j=11时，n=2，当j=12时，此时不满足循环条件，退出循环程序运行后的结果是：2．19.点O是四边形ABCD内一点，满足OA+OB+OC=0，若AB+AD+DC=λAO，则λ=______．答案：设BC中点为E，连接OE．则OB+OC=2OE，又有已知OB+OC=AO，所以AO=2OE，A，O，E三点都在BC边的中线上，且|AO|=2|OE|，所以O为△ABC重心．AB+AD+DC=

AB+(AD+DC)=AB+AC=2AE=2×32AO=3AO，∴λ=3故为：3．20.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a的取值范围。答案：解：设f(x)=3x2-5x+a，则f(x)为开口向上的抛物线，如右图所示，∵f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)，(1，3)内，∴，即，解得-12＜a＜0，故所求a的取值范围是{a|-12＜a＜0}。21.甲乙两人在罚球线投球命中的概率为，甲乙两人在罚球线上各投球一次，则恰好两人都中的概率为（）

A．

B．

C．

D．答案：A22.（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为______．答案：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，根据切割线定理得到DC2=DB?DA，∵AB=5，CD=6，∴36=DB（DB+5）∴DB=4，由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA，∴DCDA=BCCA∴AC=3×96=4.5，故为：4.523.解不等式logx（2x+1）＞logx2．答案：当0＜x＜1，logx（2x+1）＞logx2?0＜2x+1＜20＜x＜1，解得0＜x＜12；当x＞1，logx（2x+1）＞logx2?2x+1＞2x＞1，解得x＞1．综上所述，原不等式的解集为{x|0＜x＜12或x＞1}．24.斜二测画法的规则是：

（1）在已知图形中建立直角坐标系xoy，画直观图

时，它们分别对应x′和y′轴，两轴交于点o′，使∠x′o′y′=______，它们确定的平面表示水平平面；

（2）

已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成

______；

（3）已知图形中平行于x轴的线段的长度，在直观图中

______；平行于y轴的线段，在直观图中

______．答案：按照斜二测画法的规则填空故为：（1）45°或135°；（2）平行于x′轴和y′轴；（3）长度不变；长度减半25.若直线l的方程为x=2，则该直线的倾斜角是（）A．60°B．45°C．90°D．180°答案：∵直线l的方程为x=2∴直线l与x轴垂直∴直线l的倾斜角为90°故选C26.若平面α，β的法向量分别为（-1，2，4），（x，-1，-2），并且α⊥β，则x的值为（）A．10B．-10C．12D．-12答案：∵α⊥β，∴平面α，β的法向量互相垂直∴（-1，2，4）•（x，-1，-2）=0即-1×x+（-1）×2+4×（-2）=0解得x=-10故选B．27.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011答案：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选C．28.关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（）

A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同

B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴

C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变

D．斜二测坐标系取的角可能是135°答案：C29.已知α1，α2，…αn∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn．答案：证明：下面用数学归纳法证明（1）n=2时，|sin（α1+α2）|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|＜sinα1+sinα2，所以n=2时成立．（2）假设n=k（k≥2）时成立，即|sin（α1+α2+Λ+αk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk当n=k+1时，|sin（α1+α2+Λ+αk+1）|==|sinαk+1cos（α1+Λαk）+cosαk+1sin（α1+Λαk）|≤sinαk+1|cos（α1+Λ+αk）|+|cosαk+1|•|sin（α1+Λαk）|＜sinαk+1+|sin（α1+Λαk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1∴n=k+1时也成立．由（1）（2）得，原式成立．30.袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（）

A．

B．

C．

D．答案：C31.对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则N等于（）A．150B．200C．120D．100答案：∵每个零件被抽取的概率都相等，∴30N=0.25，∴N=120．故选C．32.在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ，1.1KΩ，1.9KΩ，2.0KΩ，3.5KΩ，4.5KΩ，5.5KΩ七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点的电阻的阻值是（

）.答案：3.5kΩ33.如图所示，判断正整数x是奇数还是偶数，（1）处应填______．答案：根据程序的功能是判断正整数x是奇数还是偶数，结合数的奇偶性的定义，我们可得当满足条件是x是奇数，不满足条件时x为偶数故（1）中应填写r=1故为：r=134.已知⊙C1：x2+y2+2x+8y-8=0，⊙C2：x2+y2-4x-4y-2=0，则的位置关系为（）

A．相切

B．相离

C．相交

D．内含答案：C35.规定运算.abcd.=ad-bc，则.1i-i2.=______．答案：根据题目的新规定知，.1i-i2.=1×2-（-i）i=2+i2=2-1=1．故为：1．36.在下列4个命题中，是真命题的序号为（）

①3≥3；

②100或50是10的倍数；

③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；

④等腰三角形至少有两个内角相等．

A．①

B．①②

C．①②③

D．①②④答案：D37.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是（）

A．

B．

C．

D．答案：D38.方程x2-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则实数k的取值范围为______．答案：构造函数f（x）=x2-（k+2）x+1-3k∵方程x2-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，∴f(0)＞0f(1)＜0f(2)＞0∴1-3k＞0-4k＜01-5k＞0∴0＜k＜15∴实数k的取值范围为（0，15）故为：（0，15）39.直线y=2x+1的参数方程是（）

A.（t为参数）

B.（t为参数）

C.（t为参数）

D.（θ为参数）

答案：B40.与

向量

=(2，-1，2)共线且满足方程=-18的向量为（）

A．不存在

B．-2

C．（-4，2，-4）

D．（4，-2，4）答案：D41.用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是______．答案：∵证明y=x2是增函数时，依据的原理就是增函数的定义，∴用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是：增函数的定义故填增函数的定义42.在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是______．答案：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵甲厂产品占70%，甲厂产品的合格率是95%，∴从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是0.7×0.95=0.665故为：0.66543.已知，，且与垂直，则实数λ的值为（）

A．±

B．1

C．-

D．答案：D44.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是______．答案：这两章的内容都是通过建立直角坐标系，用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质．故为用代数的方法研究图形的几何性质解析：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是______．45.如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B、C两点，PA=3，PB=1，则∠C=______．答案：∵PA切圆O于A点，PBC是圆O的割线∴PA2=PB?PC，可得（3）2=1×PC，得PC=3∵点O在BC上，即BC是圆O的直径，∴∠ABC=90°，由弦切角定理，得∠PAB=∠C，∠PAC=90°+∠C∴△PAC中，根据正弦定理，得PAsinC=PCsin∠PAC即3sinC=3sin(90°+C)，整理得tanC=33∵∠C是锐角，∴∠C=30°．故为：30°46.函数y=ax2+a与（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：D47.设四边形ABCD中，有DC=12AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是

______．答案：由DC=12AB知四边形ABCD是梯形，又|AD|=|BC|，即梯形的对角线相等，所以，四边形ABCD是等腰梯形．故为：等腰梯形．48.由1、2、3可以组成______个没有重复数字的两位数．答案：没有重复数字的两位数共有3×2=6个故为：649.(x3+1xx)10的展开式中的第四项是______．答案：由二项式定理的通项公式可知(x3+1xx)10的展开式中的第四项是：C310(x3)7(1xx)3=120x16?x．故为：120x16?x．50.将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”和“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率各是多少？答案：将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率p1=C24(12)2(12)2=38．将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率p2=C34(12)3?12=14．第3卷一.综合题(共50题)1.设a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．故选B．2.a=0是复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：当a=0时，复数a+bi=bi，当b=0是不是纯虚数即“a=0”成立推不出“复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数”反之，当复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数，则有a=0且b≠0即“复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数”成立能推出“a=0“成立故a=0是复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件故选B3.O、A、B、C为空间四个点，又为空间的一个基底，则（）

A．O、A、B、C四点共线

B．O、A、B、C四点共面，但不共线

C．O、A、B、C四点中任意三点不共线

D．O、A、B、C四点不共面答案：D4.已知圆C的极坐标方程是ρ=2sinθ，那么该圆的直角坐标方程为

______，半径长是

______．答案：把极坐标方程是ρ=2sinθ的两边同时乘以ρ得：ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆，故为：x2+（y-1）2=1；1．5.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设______．答案：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故为三个内角都大于60°．6.下列随机变量ξ服从二项分布的是（）

①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；

②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；

③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N）；

④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N）．

A．②③

B．①④

C．③④

D．①③答案：D7.如图是一个几何体的三视图（单位：cm），则这个几何体的表面积是（）A．（7+2）

cm2B．（4+22）cm2C．（6+2）cm2D．（6+22）cm2答案：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1，1，2，2．所以此几何体的表面积S表面=2S底+S侧面=12（1+2）×1×2+（1+1+2+2）×1=7+2（cm2）．故选A．8.已知平面α内有一个点A（2，-1，2），α的一个法向量为=（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（）

A．（1，-1，1）

B．（1，3，）

C．,（1,-3，）

D．（-1,3，-）答案：B9.抛物线y2=4x，O为坐标原点，A，B为抛物线上两个动点，且OA⊥OB，当直线AB的倾斜角为45°时，△AOB的面积为______．答案：设直线AB的方程为y=x-m，代入抛物线联立得x2-（2m+4）x+m2=0，则x1+x2=2m+4，x1x2=m2，∴|x1-x2|=16m+16∵三角形的面积为S△AOB=|12my1-12my2|=12m（|x1-x2|）=12m16m+16；又因为OA⊥OB，设A（x1，2x1），B（x2，-2x2）所以2x1x1•-2x2x2=-1，求的m=4，代入上式可得S△AOB=12m16m+16=12×4×64+16=85故为：8510.已知直线l过点P（1，0，-1），平行于向量=(2，1，1)，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（）

A．（1，-4，2）

B．（，-1，）

C．（-，-1，-）

D．（0，-1，1）答案：D11.已知向量OC=（2，2），CA=(2cosa，2sina)，则向量.OA的模的最大值是（）A．3B．32C．2D．18答案：∵OA=OC+CA=（2+2cosa，2+2sina）|OA|=(2+2cosa)2+(2+2sina)2=10+8sin(a+π4)∴|OA|≤18=32故选B．12.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为______．答案：过C作OA与OB的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=90°，∠AOC=30°，由|OA|=|OB|=1，|OC|=23得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6．故为6．13.各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．答案：（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则an=2n-1（Ⅱ）只需证：1+13+…+12n-1≤

2n-1．1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．当n=2时，左边＜右边，所以命题成立②假设n=k时命题成立，即1+13+…+12k-1≤2k-1，当n=k+1时，左边=1+13+…+12K-1+12K+1≤2K-1+12K+1．＜2K-1+22K+1+2K-1=2K-1+2(2K+1-2K-1)

2=2(K+1)-1．命题成立由①②可知，1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．14.若直线l与直线2x+5y-1=0垂直，则直线l的方向向量为______．答案：直线l与直线2x+5y-1=0垂直，所以直线l：5x-2y+k=0，所以直线l的方向向量为：（2，5）．故为：（2，5）15.用数学归纳法证明“＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）

A．2k-1

B．2k-1

C．2k

D．2k+1答案：C16.设四边形ABCD中，有DC=12AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是

______．答案：由DC=12AB知四边形ABCD是梯形，又|AD|=|BC|，即梯形的对角线相等，所以，四边形ABCD是等腰梯形．故为：等腰梯形．17.参数方程x=cosαy=1+sinα（α为参数）化成普通方程为

______．答案：∵x=cosαy=1+sinα（α为参数）∴x2+（y-1）2=cos2α+sin2α=1．即：参数方程x=cosαy=1+sinα（α为参数）化成普通方程为：x2+（y-1）2=1．故为：x2+（y-1）2=1．18.如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若则下列向量中与相等的向量是（）

A．

B．

C．

D．

答案：A19.若施化肥量x与小麦产量y之间的回归方程为y=250+4x（单位：kg），当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为______kg．答案：根据回归方程为y=250+4x，当施化肥量为50kg，即x=50kg时，y=250+4x=250+200=450kg故为：45020.若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是[

]A．，+，﹣

B．，+，﹣

C．，+，﹣

D．+，﹣，+2答案：C21.复数(12+32i)3i的值为______．答案：(12+32i)3i=(cosπ3+isinπ3)3cosπ2+isinπ2=cosπ+isinπcosπ2+

isinπ2=cosπ2+isinπ2=i，故为：i．22.(本题满分12分)

已知:

求证:答案：.证明:…………2分由于=………………5分…………①………………6分由于………②……………8分同理:…………③……………10分①+②+③得:即原不等式成立………………12分解析：同答案23.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）

A．假设三内角都不大于60度

B．假设三内角都大于60度

C．假设三内角至多有一个大于60度

D．假设三内角至多有两个大于60度答案：B24.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）．

施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450455（1）画出散点图；

（2）判断是否具有相关关系．答案：（1）根据已知表格中的数据可得施化肥量x和产量y的散点图如下所示：（2）根据（1）中散点图可知，各组数据对应点大致分布在一个条形区域内（一条直线附近）故施化肥量x和产量y具有线性相关关系．25.如图，已知△ABC，过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P，与边AB、AC分别交于点M、N，且CN=2BM，点N平分AC．则AM:BM=（）

A．2

B．4

C．6

D．7

答案：D26.在（1+x）3+（1+x）4…+（1+x）7的展开式中，含x项的系数是______．（用数字作答）答案：（1+x）3+（1+x）4…+（1+x）7的展开式中，含x项的系数是C31+C41+C51+…+C71=25故为：2527.与直线3x+4y-3=0平行，并且距离为3的直线方程为______．答案：设所求直线上任意一点P（x，y），由题意可得点P到所给直线的距离等于3，即|3x+4y-3|5=3，∴|3x+4y-3|=15，∴3x+4y-3=±15，即3x+4y-18=0或3x+4y+12=0．故为3x+4y-18=0或3x+4y+12=0．28.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（x）=1.06×（0.50×[m]+1）给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈______．答案：∵10.6=1.06（0.50×[m]+1），∴0.5[m]=9，∴[m]=18，∴m∈（17，18]．故为：（17，18]．29.若将推理“四边形的内角和为360°，所以平行四边形的内角和为360°”改为三段论的形式，则它的小前提是______．答案：将推理“四边形的内角和为360°，所以平行四边形的内角和为360°”改为三段论的形式，因为四边形的内角和为360°，平行四边形是四边形，所以平行四边形的内角和为360°大前提：四边形的内角和为360°；小前提：平行四边形是四边形；结论：平行四边形的内角和为360°．故为：平行四边形是四边形．30.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为(4，π3)，则|CP|=______．答案：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），点P的极坐标为(4，π3)，所以P的直角坐标（2，23），所以|CP|=(2-2)2+(23-0)2=23．故为：23．31.化简：AB+CD+BC=______．答案：如图：AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD．故为：AD．32.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：

甲：86、72、92、78、77；

乙：82、91、78、95、88

（1）这种抽样方法是哪一种？

（2）将这两组数据用茎叶图表示；

（3）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定．答案：（1）因为间隔时间相同，故是系统抽样．（2）茎叶图如下：．（3）因为.x甲=15（86+72+92+78+77）=81，.x乙=15（82+92+78+95+88）=87，所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4，s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2，而s甲2＞s乙2，所以乙车间产品较稳定．33.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线的一支

D．抛物线答案：A34.设O为坐标原点，给定一个定点A（4，3），而点B（x，0）在x正半轴上移动，l（x）表示AB的长，则△OAB中两边长的比值的最大值为（）

A．

B．

C．

D．答案：B35.与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是（）

A．2x+y=0

B．2x+y-2=0

C．2x+y=0或2x+y-2=0

D．2x+y=0或2x+y+2=0答案：D36.若90°＜θ＜180°，曲线x2+y2sinθ=1表示（）

A．焦点在x轴上的双曲线

B．焦点在y轴上的双曲线

C．焦点在x轴上的椭圆

D．焦点在y轴上的椭圆答案：D37.已知|a|=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为π3时，a在e方向上的投影为（）A．43B．4C．42D