4 解的存在性与连续性 课件

PAGEPAGE30第4章解的存在性与连续性4.1连续性的概念 4.2解的性质

参数约束最优化问题(PCOP)的前两个问题：解的存在性：对每个参数，问题是否有解？解的连续性：解集和值函数是否随参数连续变动？

4.1连续性的概念4.1.1函数的连续性 4.1.2对应的连续性

4.1.1函数的连续性在处连续，，，时，在点处连续中的每一序列，在处连续连续

图4.1连续性的检验

例4.1不连续的凹函数凹(凸)函数在定义域的内部连续，但可能在定义域的边界上不连续。经济生活经常在凸集的边界上发生例：在上是凸的，但在点0处不连续。

4.1.2对应的连续性对应(correspondence)是对应，将映射进表示为：对应是多值映射

图4.2上的对应

非空值，非空凸值，凸紧值，紧

连续的对应图4.3连续的对应

下半连续在点处下半连续对每个开集，存在包含的开集，对，满足。对应下半连续，下半连续。下半连续性表明，对应中的任意元素都可以从所有方向“靠近”。

上半连续、但非下半连续的对应图4.4上半连续、但非下半连续的对应

上半连续在点处上半连续对每个开集，存在包含的开集，对，满足。对应上半连续它在处上半连续。上半连续性意味着，经过某点移动时，对应不会“突然包含新的点”。

下半连续、但非上半连续的对应图4.5下半连续、但非上半连续的对应

对应的连续性在点处连续在处既是上半连续的，又是下半连续的连续在处既是上半连续的，又是下半连续的。

单值对应定理4.1设单值的，且函数由给定，则：是连续的是上半连续的是下半连续的是连续的

4.2解的性质4.2.1解的存在性4.2.2最大值定理4.2.3解的凹凸性

4.2.1解的存在性参数约束最优化问题的一般假定可行集为中的(非空)紧集目标函数为连续的实值函数在这些假定下，问题有解!原因：韦氏定理+确界定理

韦氏定理：紧集的连续映射的像是紧集。确界定理：中的紧集必取得上确界和下确界紧，连续在中紧在取得确界定理4.4解的存在性任意参数，是非空紧集，连续有解

4.2.2最大值定理定理4.5问题满足(i)约束对应连续且紧值(ii)连续，解集非空；上半连续；若单值连续；值函数连续。

定理中的假设条件的作用不是紧值的对有些参数，问题无解。比如，假设，，，则对于任意，。下半连续而非上半连续，结果怎样？设，，并且解集为函数，但不连续。值函数也不连续。

上半连续而非下半连续，结果会怎样？设，，并且解集也是不连续函数。

不连续，结果会怎样？设，，并且 解集为 同时值函数为由图4.6可以看出，在处，不是上半连续的，不是连续的。图4.6当不连续时最大值原理不成立

定理4.3中的第二个结果能不能加强为保证是连续的，而不只是上半连续的？一般说来：不能。例4.6

例4.6考虑具有线性效用的消费者选择两种商品的最优化问题可能的价格集为。解集图4.7显示需求对应曲线在处不连续，但上半连续图4.7需求是不连续的

4.2.3解的凹凸性定理4.4设问题参数集是凸的，如果(i)是连续、紧值的；(ii)连续。则：，拟凹，凸值凸值，严格拟凹，凸值单值凹，凸值凹，且凸值严格凹，凸值严格凹，且单值

例4.7利润函数竞争性厂商的利润函数在中是凸的。这是定理的特殊情形，因为目标函数在中是线性的。

例4.8成本函数如