数理金融第一讲

第一章数理金融引论第一节数理金融的发展沿革任何一门学科的现代化和精确化进程,都必然导致以数学作为自身的语言。从经济学中独立出来的现代金融学的现代化标志，体现在金融学的数量化上。金融学数量化是指金融学理论研究模式趋向于数学化(指推理演绎数学化)、应用研究定量化(指建立相应的数学模型)和运用计算机技术求解模型数值问题的广泛化，从而促成了数理金融学的诞生和发展。数理金融学是一门新兴的金融学与数学的交叉学科。这在当前是一门新兴学科。随着诺贝尔经济学奖越来越多的颁给计量经济学研究学者，学者们也越来越重视数学在金融研究领域中的运用。这门学科的最大特点，就在于利用数学模型来解释和研究金融问题。定义数理金融学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究为主向实证研究为主转变，由理论研究向理论研究与实证研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果一、数理金融的相关机理金融交易都要面对许多不确定性因素，这些不确定性因素都将影响并反映在金融产品的风险和收益上，因此，任何金融决策都必须在权衡风险和收益之后才能做出抉择。所以，如何精确地度量金融交易过程中的风险和收益，就成为金融交易决策的核心。为使决策做到科学和精确，就必须对各种不确定性因素进行定量分析，这种现实和不断发展的需求促进了数学在金融活动中的应用和发展，从而衍生出数理金融学这一新的学科。金融经济学与其他经济学科的主要区别就在于市场环境的不确定性。不确定性=风险因此，也可以说，数理金融学是研究金融风险的理论。研究不确定性的数学－概率论直到现在为止，研究不确定性的最主要的数学学科是概率论(其他还有：模糊数学、混沌理论、集值分析、微分包含等)。概率论几乎可以说是起源于研究“金融风险”的。那是一种简单的“金融风险”问题：赌博。概率论的早期历史BlaisePascal(1623-1662)PierredeFermat(1601-1665)1654年Pascal与Fermat的五封通信，奠定概率论的基础。他们当时考虑一个掷骰子问题，开始形成数学期望的概念，并以“输赢的钱的数学期望”来为赌博“定价”。概率论的早期历史(续)JacobBernoulli(1654-1705)1713年发表《猜度术(ArsConjectandi)》。这是当时最重要、最有原创性的概率论著作。期望效用函数1944年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)“赌神”爱德华·奥克利·索普

（1932年8月14－）生于美国伊利诺伊州芝加哥市，七岁就能心算出一年里有多少秒钟，成年后在美国麻省理工学院教授数学。在工作之余摸索轮盘赌中的学问，后来又研究技巧要求更高的扑克游戏——“二十一点”。经过数月艰苦演算，写了一篇题为《“二十一点”的优选策略》的数学论文，1962年还出版他的专著《打败庄家》，成为金融学的经典。他一夜之间“奇袭”了内华达雷偌市的所有赌场，并成功地从“二十一点”桌上赢了上万美元。被博彩界人士称为“赌神”和“21点之父”。索普在60年代后期就淡出赌博界，1970年代首创第一个量化交易对冲基金，成为美国华尔街量化交易对冲基金的鼻祖。二、数理金融的发展阶段第一个时期：发展初期（1954-1968)．代表人物有，阿罗，德布鲁，马柯维茨，夏普，莫迪利亚等．第二个时期：黄金时代(1969-1979)．代表人物有莫顿，布莱克，卢卡斯，哈里森等．第三个时期：完善时期(1980-至今)．代表人物有达菲，卡瑞撤斯和考克斯等．瓦尔拉斯－阿罗－德布鲁的一般经济均衡体系一般经济均衡理论的创始人1874年1月，法国经济学家瓦尔拉斯(L.Warlas,1834～1910)发表了他的论文《交换的数学理论原理》，首次公开他的一般经济均衡理论的主要观点。一般经济均衡理论要点在一个经济体中有许多经济活动者，其中一部分是消费者，一部分是生产者。消费者追求消费的最大效用，生产者追求生产的最大利润，他们的经济活动分别形成市场上对商品的需求和供给。市场的价格体系会对需求和供给进行调节，最终使市场达到一个理想的一般均衡价格体系。在这个体系下，需求与供给达到均衡，而每个消费者和每个生产者也都达到了他们的最大化要求。但是，从数学的角度来看，长期以来，瓦尔拉斯的一般经济均衡体系始终没有坚实的数学基础。这个问题经过数学家和经济学家们80年的努力，才得以解决。1954年阿罗与德布鲁发表一般经济均衡存在性的严格证明在《经济计量学》杂志上发表了《竞争经济中均衡的存在性》论文，第一次给出了一般均衡的严格叙述和存在证明，整个一般经济均衡理论被严格数学公理化，今天已被认为是现代数理经济学的里程碑。1972年诺贝尔经济学奖获得者阿罗(K.Arrow,1921～)《社会选择与个人价值》1983年诺贝尔经济奖获得者德布鲁(G.Debreu,1921～)《价值理论》肯尼思·阿罗美国人，1921年出生于纽约市。1940年他获得纽约市立学院社会科学学士学位，同年，考取美国保险统计协会的保险统计三级证书，1941年获哥伦比亚大学数学学士学位，1949年在哥伦比亚大学获得数学博士学位，1956年他当选为经济计量学会的会长。德布鲁美籍法裔经济学家，现代数理经济学的奠基人，微观经济学中拓扑学方法和集合论方法的奠基人之。生于法国加菜市，卒于巴黎。1946、1956年先后获巴黎大学数学学士和博士学位，1971年任经济计量学会会长，1983年获得诺贝尔经济学奖。从瓦尔拉斯－阿罗－德布鲁的一般经济均衡体系的观点来看，现代金融学的第一篇文献是阿罗于1953年发表的论文《证券在风险承担的最优配置中的作用》。在这篇论文中，阿罗把证券理解为在不确定的不同状态下有不同价值的商品。这一思想后来又被德布鲁所发展，他把原来的一般经济均衡模型通过拓广商品空间的维数来处理金融市场，其中证券无非是不同时间、不同情况下有不同价值的商品。但是后来大家发现，把金融市场用这种方式混同于普通商品市场是不合适的。原因在于它掩盖了金融市场的不确定性本质，与现实相差太远。第一次华尔街革命第一次“华尔街革命”是指1952年马科维茨(H.Markowitz,1927～)的证券组合选择理论的问世。1990年诺贝尔经济奖获得者马科维茨(H.Markowitz,1927～)《证券组合选择理论》米勒(M.Miller,1923～2000)莫迪利阿尼－米勒定理(MMT)夏普(W.Sharpe,1934～)资本资产定价模型（CAPM)其他有关诺贝尔经济奖获得者1985年诺贝尔经济奖获得者莫迪利阿尼(F.Modigliani,1918～)生命周期理论1976年诺贝尔经济学奖获得者弗里德曼(M.Friedman,1912～)货币主义学派领袖1981年诺贝尔经济学奖获得者托平(J.Tobin,1918～)证券组合选择HarryMarkowitz1927年8月24日，哈里·马克维茨生于美国伊诺斯州的芝加哥。1947年，他从芝加哥大学经济系毕业，获得学士学位。

研究经济学并非他童年的梦想。他是在拿到学士学位之后选择硕士专业时才决定读经济学的。微观经济学和宏观经济学他都学得很好，但是他最感兴趣的是不确定性经济学。马科维茨研究的是这样的一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，那么应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。对此，马科维茨在观念上的最大贡献在于他把收益与风险这两个原本有点含糊的概念明确为具体的数学概念。马科维茨首先把证券的收益率看作一个随机变量，而收益定义为这个随机变量的均值(数学期望)，风险则定义为这个随机变量的标准差。如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。夏普和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以马科维茨的准则来决策，而导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel,CAPM)。这一模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率有关。米勒与莫迪利阿尼一起在1958年以后发表了一系列论文，探讨“公司的财务政策(分红、债权/股权比等)是否会影响公司的价值”这一主题。他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。后来他们的这些结论就被称为莫迪利阿尼－米勒定理(Modigliani-MillerTheorem,MMT)。他们的研究不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明确提出无套利假设。所谓无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会(即确定的低买高卖之类的机会)。无套利假设的简单说法就是“无钱投入就无钱产出”。因此，如果两个公司将来的(不确定的)价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。这就给人以启发，我们不必一定要背上沉重的一般经济均衡的十字架，即我们可以避开一般均衡的理论框架，从无套利假设出发就已经可为金融产品的定价得到许多结果。从此，金融经济学就开始以无套利假设作为出发点。二、数理金融的发展阶段第二个时期：黄金时代(1969-1979)．代表人物有莫顿，布莱克，卢卡斯，哈里森等．第三个时期：完善时期(1980-至今)．代表人物有达菲，卡瑞撤斯和考克斯等．以无套利假设作为出发点的一大成就就是布莱克－肖尔斯期权定价理论。第二次华尔街革命第二次“华尔街革命”是指1973年布莱克(F.Black,1938～1995)－肖尔斯(M.Scholes,1941～)期权定价公式的问世。

1997年诺贝尔经济奖获得者布莱克(F.Black,1938～1995)期权定价公式1973年布莱克－肖尔斯－默顿期权定价理论问世默顿(R.Merton,1944～)《连续时间金融学》肖尔斯(M.Scholes,1941～)期权定价公式最会赚钱的经济学家:莫顿罗伯特·莫顿似乎有着天才投资家的基因：8岁就开始接触金融知识、帮母亲平衡家庭预算。11岁时，他投资了人生第一只股票——通用汽车，并从中获利。进入大学数学系后，每天上午6点到9点上课之前，他总会流连于股票交易所，对当天的股市情况进行分析，并学会了操盘和买卖期货。他师从经济学大家保罗·萨缪尔森已经拿到了应用数学专业硕士学位的莫顿，不顾家庭和朋友的劝阻，申请到了麻省理工学院(MIT)的经济学博士学位，并获得了全额奖学金。非经济学科班出身的莫顿，遇到的首要问题是，用哲学和历史的思维进行教育的经济学，对于数学系出身的人来说，听起来太枯燥。系主任推荐他去听萨缪尔森教授的数理经济学。风趣的课堂演讲、严谨的数理逻辑，萨缪尔森的课程，让莫顿很快找到了自己与经济学的交集之处。后来，他成了萨缪尔森的研究助理，渐渐地莫顿发现自己与保罗（萨缪尔森）在股票市场、期货和可转换债券等方面有着类似的观点和兴趣。贡献：期权定价理论1969年10月，莫顿和萨缪尔森合作研究的论文《使效用最大化的完整的认股权定价模型》发表。之后，莫顿很快将课题做了延伸：不确定情况下效用与资产组合选择的关系。开始了对期权定价模型的进一步研究。这个理论的基本思想是：对于资产组合的投资，通常是高风险伴随着高收益。但人们可以通过引入期权概念，在追求高收益的同时限制损失。后来，期权定价理论也成为经济学方法论转变的重要标志，即从以哲学思辨和历史描述为主向定量描述和模型检验为主过渡。1997年，莫顿的这一学术成就被经济学界普遍认可，他与斯科尔斯一起，获得了那一年度的诺贝尔经济学奖。华尔街近五年的疯狂投资20世纪90年代中叶。当时的全球投资圈里，出现了风靡一时的对冲基金，他们通过银行借贷进行融资，影响到了多个国家的多个领域和产业。这其中与索罗斯的量子基金、美国的老虎基金齐名的美国长期资本投资基金的公司(简称长投基金)，创始人之一便是罗伯特·莫顿。1992年，身为哈佛大学教授的莫顿，与有“华尔街套利之父”的约翰·麦瑞威瑟(JohnMeriwether)合作成立长投基金，莫顿和他的团队开始了在华尔街近五年的疯狂投资。成立前三年，长投基金的资本回报率就分别达到28.5%、42.8%、40.85%。即使在亚洲金融危机发生的1997年，长投基金也取得了17%的利润回报。1997年，长投基金运用40亿美元的资产，向银行借贷1000亿美元进行并购，拥有了价值1.25万亿美元的资产。莫顿掌控的长期资本投资公司用40亿美元的资本金，向银行贷款借入了1000亿美元，创造了国际金融市场的新纪录。而美国长期资本投资公司之前成功的秘籍，正是在莫顿的期权定价模型基础上，用最复杂的风险对冲数学模型，进行杠杆融资。费希尔·布莱克是美国经济学家，布莱克-斯科尔斯模型的提出者之一。费希尔·布莱克毕生坚持奋战在华尔街，在金融领域他是“搞实务的”而不是“做学术的”，然而就是他创建了迄今为止最正确、最经典、应用最广、成就最高的模型：布莱克-肖尔斯期权定价模型。在他因病去世一年后，诺贝尔将经济学奖颁给了参与创建模型的两位学者迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿，费希尔终未获此毕生殊荣。费希尔·布莱克是位充满传奇色彩的人物。他从没受过正式的金融和经济学训练，却在几年之内创立了现代金融学的基础。他在生活中处处规避风险，却在学术研究和商业实践中勇敢地挑战前辈。他能轻易地获得芝加哥大学和MIT的终身教授头衔，也能自如地放弃，再次投身到金融衍生产品的革命大潮。他频繁地在象牙塔和华尔街之间穿梭、游弋。

所谓(股票买入)期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利。期权在它被执行时的价格很清楚，即：如果股票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的，其价格为零。现在要问期权在其被执行前应该怎样用股票价格来定价？TheholderThewriterTheunderlyingassetTheexpirydateTheexerciseprice为解决这一问题，布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，这种随机微分方程称为几何布朗运动。然后，利用每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”。出人意料的是这一方程居然还有显式解。于是布莱克－肖尔斯期权定价公式就这样问世了。布莱克－肖尔斯公式的发表困难重重地经过好几年。与市场中投资人行为无关的金融资产的定价公式，对于习惯于用一般经济均衡框架对商品定价的经济学家来说很难接受。这样，布莱克和肖尔斯不得不直接到市场中去验证他们的公式。结果令人非常满意。有关期权定价实证研究结果先在1972年发表。然后再是理论分析于1973年正式发表。与此几乎同时的是芝加哥期权交易所也在1973年正式推出16种股票期权的挂牌交易(在此之前期权只有场外交易)，使得衍生证券市场从此蓬蓬勃勃地发展起来。布莱克－肖尔斯公式也因此有数不清的机会得到充分验证，而使它成为人类有史以来应用最频繁的一个数学公式。布莱克－肖尔斯公式的成功与默顿的研究是分不开的，后者甚至在把他们的理论深化和系统化上作出更大的贡献。默顿的研究后来被总结在1990年出版的《连续时间金融学》一书中。罗斯的APT布莱克－肖尔斯公式的成功也是用无套利假设来为金融资产定价的成功。这一成功促使1976年罗斯(S.A.Ross,1944～)的套利定价理论(APT,ArbitragePricingTheory)的出现。APT是作为CAPM的替代物而问世的。CAPM的验证涉及对市场组合