2023年圆的相关知识点

圆的相关知识最佳配以简朴的习题掌握刘蕾老师整合板块一:圆的有关概念一、圆的定义：1.描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周,另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点叫做圆心,叫做半径.２．集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径.３.圆的表达方法：通常用符号表达圆，定义中认为圆心,为半径的圆记作“”，读作“圆”.４.同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆;可以重合的两个圆叫做等圆.注意:同圆或等圆的半径相等.二、弦和弧1.弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦．2.直径：通过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍.3．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.4.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.认为端点的圆弧记作，读作弧.5.等弧:在同圆或等圆中,可以互相重合的弧叫做等弧．６．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.7.优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.8．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．三、圆心角和圆周角1．圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份,每一份的弧相应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.３.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论１:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径.推论3：假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所相应的其余各组量分别相等.板块二：圆的对称性与垂径定理一、圆的对称性1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形,对称轴是通过圆心的任意一条直线.2．圆的中心对称性:圆是中心对称图形，对称中心是圆心.3.圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合．二、垂径定理1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．2．推论1：⑴平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;⑵弦的垂直平分线通过圆心,并且平分弦所对的两条弧;⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．３.推论２：圆的两条平行弦所夹的弧相等.板块三:点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有:点在圆上、点在圆内、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.设的半径为，点到圆心的距离为,则有:点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示：位置关系图形定义性质及鉴定点在圆外点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在的圆周上.点在圆内点在圆的内部点在的内部.二、拟定圆的条件1.圆的拟定拟定一个圆有两个基本条件:①圆心（定点）,拟定圆的位置；②半径（定长）,拟定圆的大小.只有当圆心和半径都拟定期,远才干拟定．2．过已知点作圆⑴通过点的圆:以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆,这样的圆有无数个.⑵通过两点的圆:以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径,即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个.⑶过三点的圆:若这三点共线时,过三点的圆不存在;若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的,这样的圆有唯一一个．⑷过个点的圆:只可以作个或个,当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点拟定的圆的圆心.３.定理:不在同一直线上的三点拟定一个圆.注意:⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“拟定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”.４．三角形的外接圆⑴通过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等;②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形，其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合．⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.板块四：直线和圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及鉴定设的半径为,圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表:位置关系图形定义性质及鉴定相离直线与圆没有公共点.直线与相离相切直线与圆有唯一公共点,直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线.直线与相交从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表达：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点无直线名称割线切线无二、切线的性质及鉴定1．切线的性质:定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1：通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点.推论２:通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心．2.切线的鉴定定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.切线长和切线长定理：⑴切线长:在通过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.三、三角形内切圆1.定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.2.多边形内切圆:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．板块五:圆和圆的位置关系一、圆和圆的位置关系的定义、性质及鉴定设的半径分别为（其中),两圆圆心距为,则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及鉴定外离两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部.两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外,每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外切相交两个圆有两个公共点．两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外,一个圆上的点都在另一个圆的内部．两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．两圆内含说明:圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数,又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分,又可分为三大类:相离、相切、相交,其中相离两圆没有公共点,它涉及外离与内含两种情况;相切两圆只有一个公共点,它涉及内切与外切两种情况．二、两圆的连心线1.定义：通过两圆圆心的直线叫做连心线.2.性质：⑴假如两个圆相切，那么切点一定在连心线上；⑵相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．三、两圆的公切线1．定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．外公切线：两个圆在公切线同侧时，这样的公切线叫做外公切线；内公切线：两个圆在公切线两侧时，这样的公切线叫做内公切线．2.公切线条数与两圆的位置关系⑴若两圆外离,则外公切线条数为，内公切线条数为，公切线总数为;⑵若两圆外切,则外公切线条数为，内公切线条数为，公切线总数为；⑶若两圆相交，则外公切线条数为,内公切线条数为，公切线总数为；⑷若两圆内切，则外公切线条数为，内公切线条数为，公切线总数为；⑸若两圆内含，则外公切线条数为，内公切线条数为,公切线总数为；3.性质:⑴若两圆有两条外（内)公切线，并且相交,则两圆的连心线必通过交点且平分这两条公切线的夹角；⑵若两圆外切，则两圆的连心线垂直两圆的内公切线；若两圆内切,则两圆的连心线垂直两圆的外公切线.特别地，若两圆为等圆，则它的两条外公