材料力学组合变形的强度问题

曾经请同学们复习2-6章关于基本变形的论述，并自行总结：1、轴向拉（压）2、扭转3、弯曲4、剪切这四种基本变形的：内力的名称及符号、内力及内力图；应力的计算公式和分布规律；最大应力的公式和强度条件；变形和应变的公式和刚度条件。第8章

组合变形1.组合变形：2.分类------①两个平面弯曲的组合(斜弯曲)②拉伸(或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压

③扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。一、概念杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。

§8-1组合变形的概念二、组合变形工程实例烟囱，传动轴吊车梁的立柱烟囱：自重引起轴向压缩+水平方向的风力而引起弯曲；传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲+扭转

立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩=轴向压缩+纯弯曲组合变形工程实例----以下是什么组合？⑤用强度准则进行强度计算1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加；三、基本解法(叠加法)2.基本解法：①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形②分别计算各基本变形下的内力及应力③将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面的危险点)④对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3)将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变形下的内力和应力，然后进行应力叠加。①外力分解和简化。②内力分析——确定危险面。③应力分析：确定危险面上的应力分布，建立危险点的强度条件。求解步骤四、可行性

由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。实验表明，在小变形情况下这个原理是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。重申基本研究步骤1、分解：简化荷载：用静力等效的载荷，使每一组只引起一种基本变形。2、分别计算：按基本变形求解每组载荷作用下的应力、位移。3、叠加：按叠加原理叠加求出组合变形的解。

平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平面内的弯曲）

§8-2非对称弯曲（斜弯曲）

当外力作用面不通过主惯性平面时,则弯曲变形后,梁的轴线不在外力作用面内。zyF

教材12-1FyFx应力计算中性轴的位置斜弯曲——荷载不作用在构件的纵向对称面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。矩形截面梁的斜弯曲C1、简化外力：如何求C点的正应力？2、按基本变形求各自应力：C点总应力：确定中性轴的位置故中性轴的方程为设中性轴上某一点的坐标为y0、z0，则由中性轴上中性轴是一条通过截面形心的直线中性轴为中性轴与z轴夹角yzyz中性轴4）若截面为曲线周边时，可作//于中性轴的切线，切点为yz注：1）中性轴仍过截面形心；2）中性轴把截面分为受拉、受压两个区域；3）同一横截面上发生在离中性轴最远处点D1、D2。1）危险截面：当x=0时，同时取最大故固定端截面为危险面2）危险点：危险截面上点强度计算式：强度计算

对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面，最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，无需确定中性轴位置。例1矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危

险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位

置；若将截面改为直径D=50mm的圆形，试确定危险点

的位置，并计算最大正应力。例1图解（一）外力分析梁在P1作用下绕z轴弯曲（平面弯曲），在P2作用下绕y轴弯曲（平面弯曲），故此梁的弯形为两个平面弯曲的组合——斜弯曲。受力简图如图示。例1图受力简图（二）内力分析受力简图分别绘出Mz(x)和My(x)图如图示。两个平面内的最大弯矩都发生在固定端A截面上，A截面为危险截面。（三）应力分析和最大应力绘出A截面的应力分布图，从应力分布图可看出a、b两点为最大拉应力和最大压应力点，即为危险点。应力分布图（四）计算中性轴位置及最大正应力AB段中性轴与z轴的夹角为：（坐标原点可设在C截面处）从上式可看出，中性轴位置在AB段内是随x的变化而变化的。在A截面处（x=1m），中性轴位置为：解得：（见图）应力分布图A截面中性轴确定后可绘出总应力分布图（见图）。最大和最小正应力为：如以合成后的总弯矩以矢量表示，中性轴与M的矢量不重合，说明荷载作用平面与中性轴不垂直，这是斜弯曲的特征之一。应力分布图（五）改为圆截面时的计算合成后总变矩为：矩形截面改为圆截面后，受力图不变，内力图也不变。此时对于圆截面来说，不存在斜弯曲问题，两个平面弯曲合成后，还是一个平面弯曲的问题。危险截面A截面上弯矩的合成由矢量来表示（见图）。总弯矩的矢量方向与中性轴重合，说明总弯矩是绕中性轴弯曲（荷载作用平面与中性轴垂直）离中性轴最远的两点（c,d）是正应力最大和最小的点。A截面应力分布图此时Mz引起的最大拉应力在图中a点；My引起

的应力在图中b点，显然将不同点处的应力进行相加，作为该截面上的最大正应力是错误的。

容易出现的一种计算错误：A截面应力分布图ab例：矩形截面木梁跨长l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分布荷载集度q=0.96KN/m,试设计该梁的截面尺寸。许用应力qhbqzy解:跨中为危险截面h/b=3/2b=0.0876m,h=0.131m可选b=90mm,h=135mm请注意计算单位！你知道危险点在何处吗？斜弯曲梁的位移——叠加法zyF总挠度：大小为：设总挠度与y轴夹角为：一般情况下，即挠曲线平面与荷载作用面不相重合，为斜弯曲，而不是平面弯曲。中性轴§8-3轴向拉（压）与弯曲的组合变形LABqFFABFFABq+弯曲拉伸LABq1.求内力xLABFFx2.求应力3.建立强度条件弯曲与拉伸（压缩）组合变形：当杆上的外力除横向力外，还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。一、计算方法：1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；2.按叠加原理求正应力的代数和。二、注意事项：1.如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。2.如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则轴向力在横截面上引起附加弯矩DM=Pw亦不能忽略，这时叠加法不能使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。xqPPw这种情况称为纵横弯曲，可参看§9-7。RAHAFcCABP24kN_FNB2m1m1.5mPACFcxFcy12kN·m_M例图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许用应力[s]=100MPa，试为AB杆选择适当的工字梁。

解：(1)根据AB杆的受力简图，由平衡条件，得：

(2)作AB杆的弯矩图和轴力图：C点左截面上，弯矩为极值而轴力与其它截面相同，故为危险截面。

(3)计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强度条件确定工字梁的抗弯截面模量，有：

(4)查型钢表，选取W=141cm3的16号工字梁，然后按压弯组合变形进行校核。易知，在C截面下缘的压应力最大，且有：

最大压应力小于许用应力，选取16号工字梁是合适的。

例图示压力机，最大压力P=1400kN，机架用铸铁作成，许用拉应力[sL]=35MPa，许用压应力[sy]=140MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。立柱截面的几何性质如下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。在偏心拉力P作用下横截面上的内力及各自产生的应力如图：最大组合正应力发生在截面内、外侧边缘a、b处，其值分别为

解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为：e=yc+500=200+500=700mm。可见，立柱符合强度要求。

Pe500PPhzycycN=PM=PeN=PsNy2ycbcasa'sb'M=Pesasb例图示压力机，最大压力P=1400kN，机架用铸铁作成，许用拉应力[sL]=35MPa，许用压应力[sy]=140MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。立柱截面的几何性质如下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。解：位置？例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力和最大压应力。

例：三角架如图示，在AB杆端点受集中荷载P=8KN，若AB杆横截面为工字钢，试选择其型号。许用应力1.5m2.5mPDCBA解:研究AB作AB内力图12KN·mM图22.17KN⊕C稍左截面弯矩、轴力均最大危险截面1.5m2.5mPDCBA12KN·mM图⊕试算法选18号工字钢代入上式强度足够选16号工字钢符合要求§8-4偏心拉伸（压缩）截面核心1、偏心压缩最大压应力点：右上角最大拉应力点（如存在）：左下角OzyOOxyzAPezPyPyPzPAyBzPMz=PyPMy=PzPD1azD2ay1.构件外力与轴线平行但不与轴线重合时，即为偏心拉伸或压缩。

2.横截面上任意点B的应力：

OzyOOxyzAPezPyPyPzPAyBzPMz=PyPMy=PzPD1azD2ay1.构件外力与轴线平行但不与轴线重合时，即为偏心拉伸或压缩。

2.横截面上任意点B的应力：

①对于受偏心压缩的短柱，y、z轴为形心主惯性轴，P作用点坐标为yP、zP，将P向形心简化，则各内力在(y,z)点引起的应力分别为：负号表示为压应力；

②组合应力：

式中：

—截面对z、y轴的惯性半径。

OzyyPzPAyBzD1azD2ay3.中性轴方程：

①利用中性轴处的正应力为零，得中性轴方程y0=f(z0)为：

—直线方程

②中性轴在y、z轴上的截距分别为：

1)ay、az分别与yP、zP符号相反，故中性轴与偏心压力P的作用点位于截面形心的两侧。2)中性轴将截面分成两个区，压力P所在区受压，另一区受拉。在截面周边上，D1和D2两点切线平行于中性轴，它们是离中性轴最远的点，应力取极值。例：图示钢板受集中力P=128KN作用，当板在一侧切去深4cm的缺口时，求缺口截面的最大正应力？若在板两侧各切去深4cm的缺口时，缺口截面的最大正应力为多少?(不考虑应力集中)4cmPP10360解:1、一侧开口时是偏心拉伸，即轴向拉伸与弯曲的组合40MPa15MPa4cmPP2、两侧开口时是轴向拉伸36010本题中：两侧开口好于一侧开口，为什么？

例

图示一夹具。在夹紧零件时，夹具受到的外力为P＝2kN。已知：外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为e=60mm，竖杆横截面的尺寸为b=10mm，h=22mm，材料的许用应力[σ]＝170MPa。试校核此夹具竖杆的强度。解：对于夹具的竖杆，P力是一对偏心拉力。对竖杆的作用相当于图b中所示的一对轴向拉力P和一对在竖杆的纵向对称平面内的力偶；拉伸和弯曲的组合变形。竖杆的危险点在横截面的内侧边缘处。都是拉应力。危险点处的正应力为:强度条件满足，所以竖杆在强度上是安全的。2.研究意义：

①工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要求构件横截面上不出现拉应力；②地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。

3.求截面核心方法：

①基本方法：将截面周界上一系列点的切线作为中性轴，反求出相应压力P作用点位置，其连线即为截面核心的周界。设y、z轴为形心主惯性轴，周界某一点切线为中性轴时，在y、z轴上的截距分别为ay、az，则压力P作用点坐标为：

1.定义：当压力P作用在截面的某个区域内时，整个截面上只产生压应力，该区域通常就称为截面核心。

②特殊情况：

截面核心的概念

4.例题：求矩形截面的截面核心。

解（1）中性轴在①位置时，有截矩ay=h/2，az=∞：

zybh则压力作用点的坐标1(-h/6,0)。

同理可求中性轴②所对应的压力作用点2(0,b/6)；

中性轴③所对应的压力作用点3(h/6,0)；

中性轴④所对应的压力作用点4(0,-b/6)。

1)截面周界有直线段时，对应的压力作用点只是一点；2)截面周界有棱角时，对应压力作用点为一直线；3)中性轴不能穿过截面，则当截面周界有内凹时，取中性轴为跨过内凹部分的切线。ybhzB(yB，zB)⑤④①②③12354

(3)所形成的菱形(阴影部分)即为矩形截面的截面核心。图中的1、3点正处在截面宽度的三分点处，因此又称“均三分法则”。B点对应压力作用点在直线12上，连接1、2，同理将2、3、4、1点顺序相连；

(2)将定点B的坐标(yB,zB)代入中性轴方程得：

—直线方程

讨论：1.中性轴与F力作用点总是位于截面形心o的两侧；2.中性轴若与截面相割，将截面分成受压和受拉两部分；3.当F力作用点越接近截面形心o时（即偏心程度减小），则中性轴离截面形心越远，可以与截面相切，甚至移出截面以外，这时截面上只有一种性质的应力。截面核心：当偏心力作用在截面上一定区域内时，在截面上只引起一种性质的应力，此区域称为截面核心。截面核心的确定：作若干条与截面边界相切的中性轴，分别求出其截距，然后代入下式求得偏心力的作用点，这些点的连线就是截面核心的周界线。zyD例

分别确定圆截面与矩形截面的截面核心。中性轴(a)圆截面C根据对称性,它的截面核心亦为一圆。如中性轴与C点相切,则相应的载荷作用点在K,截面核心为一直径为D/4的圆.K截面核心(b)矩形截面Czybh11223344AK(h/6,0)L

(-h/6,0)m(b/6,0)n(-b/6,0)可证明:当中性轴分别绕四个棱角从一个位置转到另一个位置时,与之对应的偏心力作用点必沿着直线从一点移到另外一点。一、单向弯曲与扭转组合变形

1.引例：以钢制摇臂轴为例。

①外力向形心简化(建立计算模型)：②作弯矩、扭矩图(找危险截面)：由弯矩图知：A截面|M|→max；全梁T处处相同，∴A截面为危险截面：

③危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最大，∴K1、K2点均为危险点：K2点：

K1点：§8-5弯曲与扭转组合变形PaPLMT_一xLayzAPCBdPPaAssttK1K2sstsK1tsK2xLayzAPCBdxLayzAPCBd④对危险点进行应力分析：(从K1、K2点取单元体，因它们的s、t数值分别相同，危险程度也相同，不妨取K1点研究)：⑤进行强度计算：(圆轴：Wt=2Wz)

2.讨论：

公式1)、3)可用于一般构件中只有一对s的平面应力状态；

公式2)、4)只能用于圆轴单向弯扭变形。

二、双向弯曲和扭转强度计算(基本步骤与前相同)分析AB强度PABCɑlA截面为危险截面一、简化外力：P弯曲变形Mx=-Pa扭转变形二、分析危险截面：三、分析危险点：MPlTPaPPaBAl三、分析危险点：Wt=2Wt圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：注意：1、公式只适用于圆杆或圆环截面杆。2、对于非圆截面杆由于Wt≠2W,公式不适用。第三强度理论第四强度理论相当弯矩例图示皮带轮传动轴，传递功率N=7kW，转速n=200r/min。皮带轮重量Q=1.8kN。左端齿轮上啮合力Pn与齿轮节圆切线的夹角(压力角)为20o。轴材料的许用应力[s]=80MPa，试按第三强度理论设计轴的直径。解：①外力简化(建立计算模型)：外力向AB轴轴线简化，并计算各力大小。

zyD1ABCD200200400f300f500D2MyMz0.446kN·m0.8kN·m0.16kN·m0.36kN·mF1=2F2F220oPnxyQPyPz3F2MxMxQQPyPz②作轴的扭矩图和弯矩图(确定轴的危险截面)：

因全轴上扭矩相等，所以扭矩图略。作xz平面内的My图和作xy平面的Mz图，可以看出D截面为危险截面，其上的内力为③最后根据第三强度理论设计轴的直径：

讨论：

①对于圆轴，由于对称性，其横截面上的两方向弯矩可以矢量合成②合成弯矩可能最大点在各方向弯矩图的尖点处，如上题，可能合弯矩最大值在C、D处；

计算公式

计算公式圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：注意：1、公式只适用于圆杆或圆环截面杆。2、对于非圆截面杆由于Wt≠2W,公式不适用。第三强度理论第四强度理论相当弯矩例图示传动轴，传递功率P=7.5Kw,轴的转速n=100r/min。A、B为带轮。轮A带处于水平位置；轮B带处于铅垂位置。F’p1=Fp1、F’p2=Fp2为带拉力。已知Fp1>

Fp2，Fp2=1500N,两轮直径均为D=600mm,轴材料的许用应力[σ]=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径。解：一、简化外力：求出各支