概率论与数理统计第一章(PPT)

概率论与数理统计教师:陈敏教材：《概率论与数理统计》

同济大学出版社序言?概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学

第一章随机事件与概率随机事件及其运算事件的概率及其性质古典概型与几何概型条件概率与贝叶斯公式事件的独立性与伯努利概型

1.1随机事件及其概率

一、随机事件试验Ⅰ：一个盒子中有十个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一个球。试验Ⅱ：一个盒子中有十个完全相同的球，但5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取一个球。确定性现象：在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。（如试验Ⅰ）

“苹果，不抓住必然往下掉。”

此现象非常广泛，例如：

“早晨，太阳必然从东方升起。”

“带同种电荷的两个小球必互相排斥，带异种电荷的小球必互相吸引。”“在一个标准大气压下，当温度达到100摄氏度时，纯净水一定沸腾。随机现象：在一定条件，具有多种可能发生的结果，而且事先都不能预言多种可能结果中会出现哪一种。试验Ⅱ它具有两个特点：(1)

在一次实验中，现象可能发生，也可能不发生，即结果呈现不确定性；

(2)在大量重复试验中，其结果具有统计规律性。例如：“扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏”

“某地区的年降雨量”

“某电话交换站在单位时间内收到用户呼唤的次数”

“打靶射击时，弹着点离靶心的距离”随机试验(randomexperiment)一个实验如果满足下列条件1.实验可以在相同条件下重复进行；

2.实验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个；3.每次实验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前无法确定具体是哪一个结果出现。

就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也简称为试验。常用字母E表示。E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:掷一颗骰子，可能出现的点数；E3:记录110报警台一天接到的报警次数；E4:在一批灯泡中任取一只，测其寿命；E5:记录某物理量(长度、直径)的测量误差；E6:在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。随机实验的例子样本空间(samplespace)幻灯片6

随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点，用字母表示。随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，用字母表示。例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:

则样本空间第1次第2次(H,H):(H,T)：(T,H):(T,T)：HHHTTTHT

在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现

.如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，故

样本空间若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现的次数：则样本空间由以上两个例子可见样本空间的元素是有试验的目的所确定的。随机事件(randomevent)实验E的样本空间的子集称为E的随机事件。随机事件简称事件，常用A,B,C等表示。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件：由一个样本点组成的单点集。（最简单的不可再分的事件）两个特殊事件：在随机试验E中，必然出现的事件，1必然事件：Certainevent2不可能事件：实验E中不可能出现的事件Impossibleevent1.包含(contain)关系“事件A发生必然导致事件B发生”

记为AB

随机事件的关系与运算对任意事件A，都有2.和(union)事件：“事件A与事件B至少有一个发生，记作AB2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作例1袋中有5个白球和3个黑球，从中任取3个球。令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球颜色相同”，则例2甲乙两人向同一目标射击，令A表示“甲命中目标”，B表示“乙命中目标”，C表示“目标被命中”，则3.积(intersection)事件:A与B同时发生，记作AB＝AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An4.差事件(p5)：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发

生而事件B不发生思考：何时A-B=?何时A-B=A？5.互斥的事件(mutuallyexclusiveevent)：事件A与事件B不可能同时发生，即AB＝,简称A与B互不相容。

6.对立事件(oppositeevent):若事件A与事件B在一次实验中必有且只有其中一个发生，即A,B满足条件AB＝,且AB＝则称事件A与事件B为互逆事件，或称事件A,B互为对立事件，事件A的对立事件记为注意：1若A与B为对立事件，则A与B互不相容，但反过来不一定成立。2互斥事件和对立事件都是A发生B就不发生。3对立事件就只有A,B两事件，A不发生B就一定发生，非此即彼。4互斥事件可以有多个事件，如A.B.C.D…,A不发生B不一定发生，同一时间只有一个发生。例2在图书馆中随意抽取一本书，事件A表示数学书，B表示“中文图书”，C表示“平装书”.(1)说明事件的实际意义；(2)若说明什么情况；(3)若是否意味着馆中所有数学书都不是中文版的？解：随意抽取的书为中文版非平装的数学书；非平装版的书都是中文图书；馆中所有数学书都不是中文版的.概率论样本空间事件事件A发生事件A不发生必然事件不可能事件集合论子集概率论事件A发生导致事件B发生“事件A与B至少有一个发生”“事件A与B同时发生”“事件A发生而B不发生”事件A与B互不相容集合论例1设A,B,C,是中的随机事件，则事件“A与B发生，C不发生”“A,B,C中至少有两个发生”“A,B,C中恰发生两个”“A,B,C中有不多于一个事件发生”事件的运算1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：

1.2事件的概率及其性质

1.理解事件频率的概念，了解概率的定义；2.熟练掌握概率的性质；3.掌握古典概型的计算。

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子.例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.

了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.频率的定义频率：频率所具有的三个性质1.非负有界性：即3.可加性：即若A,B互不相容，则实践证明：当试验次数n增大时，

逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率2.规范性：即若是必然事件，则抛掷钱币试验记录试验者抛币次数n“正面向上”次数频率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005

注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义概率的定义1特别地，当A与B互不相容时，4.减法公式设A,B为两个随机事件，则特别地，例1设A,B为两个随机事件，例2设A,B为两个随机事件，例3设A,B互不相容，例4设A,B,C是三个事件，且求A,B,C至少有一个发生的概率.解已知由故得所求概率为例4

某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报若某实验E满足：1.有限性：样本空间含有有限个样本点;2.等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的，即有则称E为古典概型也叫等可能概型。1.2.1.古典概型古典概型中的概率:根据概率的有限可加性知：于是对任意一个随机事件A,如果A是r个基本事件的和，即则有P(A)具有如下性质(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，则

P(AB

)＝P(A)＋P(B)也即例1掷一枚质地均匀的骰子，求出现奇数点的概率。解样本空间样本点总数而事件“出现奇数点”用A表示，则所含样本点数从而例2:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A表示至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩，T表示某个孩子是女孩，={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}样本空间的样本点总数A中样本点数为则有二、古典概型的几类基本问题乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。（也可推广到分若干步）复习：排列与组合的基本概念加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。（也可推广到若干途径）这两原理的思想贯穿着整个概率问题的求解。有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.排列与组合都是计算“从n个元素中任取k个元素”的取法总数公式，其主要区别在于：如果不考虑取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式，而是否考虑元素间的次序，可以从实际问题中得以辩别。古典概型实验满足以下两点：1）基本事件的总数是有限的；2）每个基本事件发生的可能性相等。称此实验为古典概型古典概型概率计算公式，A为一随机事件，则有1、抽球问题例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。答:取到一红一白的概率为3/5种取法，即基本事件总数A所包含的基本事件数为解:设A表示“取到一红一白”，从5个球中任取两个，共有例2袋中有5个白球3个黑球，从中任取两个，求取到两个球颜色相同的概率。解从8个球中任取两个，共有种取法，即基本事件总数记A表示“取到的两个球颜色相同”，A包含两种情况：全是白球或全是黑球。全是白球有种取法，全是黑球有种取法，由加法原理知，A的取法共种，即A包含的基本事件数，故一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。2、分球入盒问题例4：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒例5设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住，求下列事件的概率：（1）指定的n个房间各有一个人住；（2）恰好有n个房间，其中各住一个人；（3）指定的一间房恰有k个人住。某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？?几何概型概率的古典定义具有可计算性的优点，但它也有明显的局限性，要求样本点有限，如果样本空间中的样本点有无限个，概率的古典定义就不适用了.把有限个样本点推广到无限个样本点的情况，人们引入了几何概型，由此形成了确定概率的另一方法。——几何方法几何概型(1)从１，２，……，９共９个数字中任取一个数字，取出的数字为偶数的概率.

求下列随机事件发生的概率.

古典概型的两个特点:

②每个基本事件出现的可能性相等.①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.计算公式：

940101320．．。．（2）在区间（10，20］内的所有实数中，随机地取一个实数a，满足a≤13的概率．①——试验中所有可能出现的基本事件个数是无限的．②——每个基本事件发生的可能性相等．因此：事件A发生的概率与所在的位置无关，只与所取的区域的长度成比例．试验的基本事件是：从区间（10，20]内的所有实数中任取一个实数a．设事件A={取出的实数a≤13}．．．．．．．103若满足１５≤a≤1８呢？(4)在1000mL的水中有一个草履虫，现从中取出2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.

与体积成比例0.002(3)在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率.0.004与面积成比例几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodelsofprobability)，简称几何概型．计算公式:定义:构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)P(A)=例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。解：以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，于是，这个人打开收音机的时间必在内，记“等待时间短于10分钟”为事件A,则有于是1.4条件概率条件概率与乘法公式全概率公式与贝叶斯公式理解条件概率的概念及其性质。

掌握条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的概率计算，并能运用这些公式进行一些实际问题分析。一、条件概率1.条件概率的概念在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}，P(A)=1/6，P(A|B)=？已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.容易看到P(A|B)掷骰子

B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.于是又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记A={取到一等品}，

B={取到正品}则P(A)=3/10，P(A|B)A={取到一等品}，

B={取到正品}P(A)=3/10，P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.2.条件概率的定义设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称

(1)为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).?“条件概率”是“概率”吗？条件概率符合概率定义中的三个条件对概率所证明的一些结果都适用于条件概率例1在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品。现从其中任取一件为合格品，求它是一等品的概率。解设A表示“任取一件为合格品”，B表示“任取一件为一等品”，注意，则所求概率为例2盒中有5个黑球3个白球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个。若已知第一次取到的是白球，求第二次取出的是黑球的概率。解设A表示“第一次取球取出的是白球”，B表示“第二次取球取出的是黑球”，所求概率为由于第一次取球取出的是白球，所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球，由古典概型的概率计算方法得二、乘法公式设A、B

，P（A）>0,则

P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。

式(1.4.2)还可推广到三个事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3)

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.4.4)例在10个产品中，有2件次品，不放回的抽取2次产品，每次取一个，求取到两件产品都是次品的概率。解设A表示“第一次取产品取到次品”，B表示“第二次取产品取到次品”，则故求例5设求例6设一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.

我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”

i＝1,2,3,4,5.则表示“第i个人未抽到入场券”显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5也就是说，第1个人抽到入场券的概率是1/5.由于由乘法公式也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.课堂练习某人忘记了电话号码的最后一数字，因而他就随机的拨号。假设拨完整个号码算一次拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。(2)若已知最后一位数字是奇数，求上述概率。三、全概率公式与贝叶斯公式例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。B定义(p15)事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：A1A2……………AnB定理1、(p15)设A1，…,An是的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B有

式(1.3.3)就称为全概率公式。例5有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球；甲乙式(1.3.4)就称为贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:定理2(p16)设A1，…,An是

的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B，有

例7盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中去两次球，每次取一个，若第二次取到白球，求第次一取到到黑球的概率。例8某工厂中有甲，乙，丙三台机器生产同一型好的产品，它们的产量各占30%，35%，35%，并且在各自的产品中废品率为5%，4%，3%，若任取一件为废品，分别求它是由甲，乙，丙生产的概率。

商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:例6数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：设A---发射端发射0，

B---接收端接收到一个“1”的信号．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)条件概率条件概率小结缩减样本空间定义式乘法公式全概率公式贝叶斯公式3.已知求(1)至少有一个发生的概率；(2)全不发生的概率.解因为所以至少有一个发生的概率全不发生的概率5.从0,1,…,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率(1)3个数字中不含0与5的概率(2)3个数字中不含0或5的概率.解设

表示“3个数字中不含0与5”;表示“3个数字中不含0或5”.基本事件总数其中包含的基本事件数包含的基本事件数有概率的可加性和概率的乘法公式上述公式称为概率运算中的全概率公式。例1已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者。现从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，问是色盲患者的概率是多少？解设A表示“任选一人是男性”，B表示“任选一人是女性”，C表示“任选一人，此人是色盲”，所求概率为P(C)全概率公式与贝叶斯公式1全概率公式对于比较复杂事件概率的计算，经常会把它分解为若干个简单事件的和，通过分别计算这些简单事件的概率，利用概率的可加性计算出所求事件的概率。依题意知由全概率公式得在例1中，已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者。现从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

2贝叶斯公式则B发生条件下发生的条件概率由乘法公式和全概率公式可得该公式称为贝叶斯(Bayes)公式B是任意一个事件通常认为是导致试验结果B的原因，称为先验概率，若实验产生了结果B,探究它发生的原因，称条件概率为后验概率，它反映了试验之后各种原因发生的可能性大小。例4针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应。设人群中有1%的人患这种病。若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？解设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则由全概率公式得再由贝叶斯公式得通常认为是导致试验结果B的原因，称为先验概率，若实验产生了结果B,探究它发生的原因，称条件概率为后验概率，它反映了试验之后各种原因发生的可能性大小。在例1中，已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者。现从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

三、全概率公式看一个例子:有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记

Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}其中A1、A2、A3两两互斥123B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，例2某工厂中，三台机器分别生产某种产品总数的25%，35%，40%，它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，现随机地取一产品，问它是次品的概率是多少？又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率大？即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B两两互斥运用加法公式得到P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得证明由于互不相容，且，故也互不相容，则定义设事件满足如下条件：(1)互不相容，且(2)即至少有一个发生，则称为样本空间的一个划分。注意当是的一个划分时，每次试验有且只有其中一个发生。全概率公式设随机试验对应的样本空间为，设是样本空间的一个划分，B是任意一个事件，则例1盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取到白球的概率。解设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，则由全概率公式得例2某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量15%，20%，30%和35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。现从出厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？解令A表示“任取一件，恰好抽到不合格品”表示“任取一件，恰好抽到第i条流水线的产品”于是由全概率公式得例3(续例2)在上述例子中，若该厂规定，出了不合格品要追究有关流水线的经济责任。现在在出厂产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问厂方如何处理这件不合格品比较合理？比方说，第四条流水线承担多大责任？解从概率论的角度考虑可以按的大小来追究第四条流水线的经济责任，由条件概率定义知在前面的计算中，已经利用全概率公式求得而于是2贝叶斯公式则B发生条件下发生的条件概率由乘法公式和全概率公式可得该公式称为贝叶斯(Bayes)公式B是任意一个事件通常认为是导致试验结果B的原因，称为先验概率，若实验产生了结果B,探究它发生的原因，称条件概率为后验概率，它反映了试验之后各种原因发生的可能性大小。例4针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应。设人群中有1%的人患这种病。若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？解设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则通常认为是导致试验结果B的原因，称为先验概率，若实验产生了结果B,探究它发生的原因，称条件概率为后验概率，它反映了试验之后各种原因发生的可能性大小。例4针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应。设人群中有1%的人患这种病。若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？解设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则由全概率公式得再由贝叶斯公式得例已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者。现从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解设A表示“任选一人是男性”，B表示“任选一人是女性”，C表示“任选一人，此人是色盲”，依题意知由全概率公式得由贝叶斯公式得1.5事件的独立性

1)理解事件独立性的概念2）掌握事件独立性的性质3）理解重复独立实验的概念和二项概率公式的问题背景，会使用事件的独立性和二项概率公式进行各种概率计算一两事件独立定义

对任意的两个事件A,B,若成立，则称事件A,B是相互独立的，简称为独立的。例1分别掷两枚均匀的硬币，令

A={硬币甲出现正面}B={硬币乙出现正面}验证事件A,B是相互独立的。由此知这时有成立，所以A,B是相互独立的。证明这是样本空间共含有4个基本事件，它们是等可能的，各有概率为，而

例2从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}问事件A、B是否独立？解由于P(A)=4/52=1/13,P(B)=26/52=1/2,P(AB)=2/52=1/26.可见,P(AB)=P(A)P(B)

故事件A、B独立.辨析：事件独立性与互斥的区别1定义角度区别互斥

对立事件独立性从集合角度定义从概率角度定义2.若，则A,B独立一定不互斥，互斥一定不独立。例1对任意事件A,B，下列结论正确的是()若，则A,B一定独立B)若，则A,B可能独立C)若，则A,B一定独立D)若，则A,B一定不独立B例设A,B是互斥事件，则以下结论正确的是()解析C事件的独立性有下列性质：性质1设，则A,B相互独立的充分必要条件是设，则A,B相互独立的充分必要条件是证明只证第一部分，另一部分类似。设A与B相互独立，则，于是反之，若，由乘法公式有即A与B相互独立。性质2若A与B相互独立，则都相互独立。证明只证与独立，由于A与B相互独立知。故有两事件独立的定义知与独立定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件相互独立；(3)事件相互独立；(4)事件相互独立。例3两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率。解设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”，C表示“目标被击中”则，A与B相互独立，，故或例4设A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且，求解由题意，因为A与B相互独立，则练习设两个相互独立的事件A与B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则例设，则A与B相互独立证明如果A,B相互独立，则例设A,B是任意两事件，其中，则A与B相互独立的充要条件是二、多个事件的独立性对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系对n(n>2)个事件相互独立两两独立?三、独立性的概念在计算概率中的应用对独立事件，许多概率计算可得到简化

例2三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解将三人编号为1，2，3，记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3所求为已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]123例33门高射炮同时对一架敌机各发一炮，它们的命中率分别为0.1，0.2和0.3，求敌机恰中一弹的概率。解B表示“敌机恰中一弹”，则其中，互不相容，且相互独立，则3.假设一批产品中一、二、三等品各占

，从中任取1件，结果不是三等品求取到的是一等品的概率.解：设表示“抽到等品”(由于互不相容，所以)8.某工厂中，三台机器分别生产某种产品总数的它们生产的产品中分别有的次品，将这些产品混在一起，现随机地取一产品，问它是次品的概率是多少？又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？解：设表示“任取一件产品为第

台机器生产”表示“任取一件产品，它是次品”，则由全概率公式得再由贝叶斯公式得所以这一次品是由第二台机器生产的概率最大.四.n重贝努利(Bernoulli)试验(1)独立重复试验将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的,或称为n次独立重复试验.(2)n重贝努利试验

定理在n重贝努利试验中，设每次试验中事件A的概率为P，则事件A恰好发生k次的概率称该式为二项概率公式。例1一射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.8，求(1)恰好命中两次的概率；(2)至少命中一次的概率。解因为每次射击是相互独立的，故此问题可看作4重贝努利实验，(1)设事件表示“4次射击恰好命中两次”，则所求概率为(2)设事件B表示“4次射击中至少命中一次”，又表示“4次射击中都未命中”，则故所求概率为例2一车间有5台同类型且独立工作的机器，假设在任一时刻t，每台机器出故障的概率为0.1，问在同一时刻(1)没有机器出故障的概率是多少？(2)至多有一台机器出故障的概率是多少？解在同一时刻观察5台机器，它们是否出故障是相互独立的，故可看做5重贝努力试验，p=0.1,q=0.9.设表示“没有机器出故障”，表示“有一台机器出故障”，B表示“至多有一台机器出故障”，则于是有例3某人有一串m把外形相同的钥匙，其中有一把能打开家门，有一天该人酒醉后回家，下意识的每次从m把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第k次才打开的概率多大？解因为该人每次从m把钥匙中任取一把(试用后不做记号又放回)，所以能打开家门的一把钥匙在每次试用中恰被选中的概率为，易知这是一个贝努利试验。在第k次才把门打开，意味着前面的次没有打开，于是由独立性既得例4已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为0.96，问需要发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999？解设需要发射n枚导弹，各枚导弹是否击中敌机是独立的，可看作n重贝努利试验，p=0.96,q=0.04.至少有一枚导弹击中敌机的概率为由题意，要求，即，则故至少需要发射3枚导弹才能满足要求。第一章内容小结理解随机现象，随机试验和随机事件的概念；掌握事件的4种运算：事件的并，事件的交，事件的差和事件的余；掌握事件的4个运算法则：交换律，结合律，分配律和对偶律；理解事件的4种关系：包含关系，相等关系，对立关系和互不相容关系.2了解古典概型的定义，会计算简单的古典概型中的相关概率3理解概率的定义，理解概率与频率的关系，掌握概率的基本性质。特别地，当A与B互不相容时，会用这些性质进行概率的基本运算。4理解条件概率的概念掌握乘法公式会用条件概率公式和乘法公式进行概率计算。5掌握全概率公式和贝叶斯公式，会用它们计算较简单的相关问题。6理解事件独立性的定义及充要条件。理解事件的关系——相互对立，互不相容与相互独立三者的联系与区别。7理解n重贝努利试验的定义，掌握贝努利概型的重要计算公式1．设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C至少有一个发生

；

2）A、B、C中恰有一个发生；

3）A、B、C不多于一个发生；

2．设A、B为随机事件，，，。求

.

3．若事件A和事件B相互独立，，则4.甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率？

5一射手对一目标独立的射击4次，若至少命中一次的概率为，求射手射击一次命中目标的概率？6把10本书任意放在书架的一排上，其中指定的3本书放在一

起的概率为

。7.袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是

（A）1/5（B）2/5

（C）3/5（D）4/5()1．设A、