求下列方程的通解

5.9方求下列方程的通解(1)x2y"xy'y

dy d2 dy d2解：x0时，令xet，则tlnx，y ,dt

dt

dt

y0特征方程为210yCetCetyCxC2 dy d2 dy d2x0时，令xet，则tlnx，y ,dt

dt2dtx2dt2y0 特征方程为210yCetCetyCxC2 （2）y dy d2 dy ,y dt

dt2dt于是d2 2dyy2et，特征方程为2210，齐次方程通解为yCetCtet 设非齐次特解为y*At2et，代入得A1y*t2et，所以非齐次方程的通解为 yt2etCetCtetxln2xCxCx dy d2 dyx0时，令xet，则tlnx，y ,dt

dt

d2 2 y2e2210yCetCtet 设非齐次特解为y*At2et，代入得A1y*t2et（3）x3y"'3x2y"2xy'2y x x tln dy d2 dy d3 d2 dyydtx,

dt

dtx2,

3dt2

d3 dy2y0，特征方程为3320，1220, 1,2 yCetCtetCe2tCxCxlnxC312312x时，令x， t dy d2 dy d3 d2 dyydtx,

dt

dtx2,

3dt2

dd 2y0，特征方程为3320，120, 1,2 yCetCtetCe2tCxCxlnxC3 x2y"2xy'2yln2x2ln dy d2 dy d2 2 ,y2

2

3 2yt22t2dt

dt

特征方程为2320，齐次方程通解为yCetCe2t A1y*At2BtC，代入得B

21y*1t21t12 2C44y1t21t1CetCe2t1ln2x1lnx1CxCx2. x2y"xy'4y dy d2 dy d2 ,dt

dt

4ye3t 特征方程为240yCe2tCe2ty*Ae3t 代入得

A ，即5

y*1 ，所以非齐次方程的通解为y1e3tCe2tCe2t1x3Cx2C2

dy d2 dyx0时，令xet，则tlnx，y

,dt

d2 3t240yCe2t1 4y1

特解为y*Ae3t，代入得A1，即y*1e3t，所以非齐次方程的通解为y

1e3tCe2tCe2t

1x3Cx2

C2 x2y"xy'4yxsinln

dy d2 dy解：令x ，则tln ，y

,dt

，于 d2

4yetsint，特征方程为2240， 3i，齐次方程通解 yC1etcos3tC2etsin3t，设非齐次特解为y*etAcostBsint，代入得A22B

， y*1etsin ，所以非齐次方程的通解y1etsintCetcos3tCetsin3txsinlnxCxcos3lnxCxsin3ln x2y"3xy'4yxx2ln dy d2 dy解：令x ，则tln ，y

,dt

，于 d2

4yette2t，特征方程为2440，齐次方程通解为 yCe2tCte2t，设非齐次特解为y*Aett2e2tBtC

AB

,，即 y*et1 6yet1t3e2tCe2tCte2tx1x2ln3xCx2Cx2ln (8)x3y'"2xy'2yx2lnx dy d2 dy d3 d2 dy ,y

2,y

3 dt

dt

dt

dtd3 d2 于

2y

3e，特征方程为332420 12220,yCetCetcostCetsin

y*Atete2tBtC，代入得B

y*3tet

t

y3tete2t1t1CetCetcostCetsin2 23xlnx

ln

1CxCxcoslnxCxsinln1

2 x2y"3xy'y

dy d2 dy解：x0时，令xet，则tlnx，y

,dt

，于是 d2 2dyy0，特征方程为2210，通解为yCetCtet，即 yC1C2lnx dy d2 dyx0时，令xet，则tlnx，y

,dt

dt2dtx2 d2 2dyy0，特征方程为2210，通解为yCetCtet，即 yC1C2lnx (10)x2y"4xy'6y dy d2 dyt解：x0时，令xet，则tlnx，y , t dtx2于 d2y 2 5 6yedt2 2

，特征方程为2560，齐次方程通解为y Ce设非齐次特解为y*Aet，代入得A1，即y*1et，所以非齐次方程的通解为y

etCe2tCe3t

xCx2Cx3.

dy d2 dyx0时，令xet，则tlnx，y

,dt

dt2dtx2 d2y

6ye，特征方程为2560，齐次方程通解为y Ce 设非齐次特解为y*Aet，代入得A1y*1ety

1etCe2tCe3t

xCx2Cx3. d2R2dRnn1R

t

tdt t 解：td 2tdRnn1R0t ，令t ，则sln dRdR1d d dR

d , 2 2

2，于是 2 nn1R0，特征方程ds ds 2nn10RCen1sCensC1Ctn t x2y"3xy'5y dy d2 dy解：x0时，令xet，则tlnx，y

,dt

，于是 d2 2dy5y ，特征方程 225 ，通解 yCetcos2tCetsin2tCcos2lnx

sin2ln，

'dy d2 dy'x0时，令xet，则tlnx，y ,dt

dt

，于是d2y2dy5y ，特征方程 225 ，通解 yCetcos2tCetsin2tCcos2lnxCsin2lnx x2y"xy'y2ln

dy d2 dy d2 解：令xet，则tlnx，y ,dt

dt

dt

2 y2t 特征方程为2210，齐次方程通解为yCetCtet y*At

A，代入得B

y*2t4 y2t4CetCtet2lnx4CxC （14）x2y"5xy'4y