基本事实与定理

8、3基本事实与定理（一）自主学习下列命题是真命题吗?1、如果a是有理数，那么a是实数；2、如果m是自然数，那么m是整数；3、如果a是整数，那么a是有理数；4、如果四边形ABCD是正方形，那么它是矩形一、知识回眸：是是是是欧几里得

古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.

欧几里得以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理，它也可以作为判断其他命题的真假的依据.（一）自主学习（1）阅读欧几里得的简介，师友互谈感想。小知识欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫《原本》.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系．（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.)《原本》.（一）自主学习知识梳理

（2）叫公理，

(3).,.

叫定理。（4）公理与定理之间有什么关系:.

。人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，并作为证明其它命题的依据，称这些真命题.已经判断为真的命题并作为证明其它命题的依据，称这些真命题公理是不需要证明的,由实践得出的结论,定理是由公理得出来的,也可以说是公理的推论,

是需要证明的

（一）自主学习检测

下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（）A公理和定理都是真命题，B公理就是定理，定理也是公理，C公理和定理都可以作为推理论证的依据D公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明B把哪些真命题作为公理应当遵循下列原则：直观，易于被大家所公认；相互之间不闹矛盾等．

根据上述原则并且考虑到同学们的实际情况，我们这套教材到目前为止选择了八条真命题作为公理：（一）自主学习知识梳理

你能记下P42面的八条公理吗？

1.两点确定一条直线．

2.两点之间线段最短

．3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

5.经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

6.两边及夹角对应相等的两个三角形全等;7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;8.三边对应相等的两个三角形全等;等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理．“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.其它公理推理的依据：1、已知条件2、定义3、公理4、定理5、等式（不等式）的性质

动脑筋（二）经典例题例1：由上面给出的公理，证明如下命题的正确性：

等角的补角相等。

已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180，∠2+∠4=180。求证：∠3=∠4证明：∵∠1+∠3=180，∠2+∠4=180(已知)，∴∠3=180-∠1，∠4=180-∠2(等式的性质)∵∠1=∠2(已知)，∴∠3=∠4(等式的性质)。

第一步：根据题意，画出图形．先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论、结合图形，写出已知、求证。把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知，求证，这时只要写出“证明”一项就可以了．证明的一般步骤：

（二）经典例题例2：如图，已知：在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，求证：（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD证明：（1）∵AB=AD,BC=DC,AC=AC∴△ABC≌△ADC(2)由（1）知△ABC≌△ADC∴∠BCA=∠DCA,又∵BC=DC∴BO=OD,AC⊥BD用所学公理、定理、定义说明1、“两点之间，线段最短”这个语句是（）

A、定理B、公理C、定义D、只是命题2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（）

A、定理B、公理C、定义D、只是命题3、下列命题中，属于定义的是（）

A、两点确定一条直线B、同角的余角相等

C、两直线平行，内错角相等

D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度4、下列句子中，是定理的是（），是公理的是（），是定义的是（），

A、三边对应相等的两个三角形全等；B、对顶角相等

C、全等三角形的对应边相等，对应角相等

D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等三、巩固练习BCDB、CA、ED谁得优？A、B、C、D、E五名学生猜自己的数学成绩：

A说：“如果我得优，那么B也得优。”

B说：“如果我得优，那