平方差公式的广义理解及应用

平方差公式的广义理解及应用第一页，共二十页，2022年，8月28日各位领导、各位同行：上午好！首先感谢教研室和伞陂中学的领导给我提供了一个向大家汇报学习心得的平台。把我在教学上的一点做法在这里提出来，与大家共勉。在协作区教研活动中，2007年在我们张集中学举办了一次由我执教的数学观摩课，执教的内容是《实际问题与二次函数》，受到参加听课的领导和教师的一致好评，特别是学生又快又准确的运算给大家留下深刻印象。今天我就在这里向大家汇报学生是怎么快速运算的，也就是我今天向大家汇报的内容《平方差公式的广义理解及应用》。首先请大家看两个实际问题。第二页，共二十页，2022年，8月28日平方差公式的广义理解及应用问题1世博会期间上海某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满；当房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支付20元的各种费用。根据规定，每个房间的房价不得高于340元。当房间的房价每天增加多少元时，宾馆一天的利润达到9200元？解：设宾馆每个房间的房价每天增加x元，根据宾馆一天的利润为9200元列方程得

第三页，共二十页，2022年，8月28日一般解法：第四页，共二十页，2022年，8月28日我的解法：第五页，共二十页，2022年，8月28日问题2政府大力扶持大学生创业。李明在某市政府的扶持下，投资销售一种进价为20元的护眼灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看做一次函数y=-10x+500，设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？解：由题意可得W=(x-20)(-10x+500)=-10x²+500x+200x-10000=-10x²+700-10000=-10（x²-70x）-10000=-10﹝（x²-70x+35²）-35²﹞-10000=-10（x-35）²+10×35²-10000=-10（x-35）²+2250即当x=35时，w有最大值，w最大=2250.

第六页，共二十页，2022年，8月28日而我的做法是：

W=(x-20)(-10x+500)=-10(x-20)(x-50)=-10(x-35)²+2250即当w=35时，w有最大值，w最大=2250.从以上两个问题中，大家很容易发现，问题1和问题2中都是形如(ax+b)(cx+d)式子，而又都是需要转化为a(x-h)²+k的形式。而这种转化过程的一般的解法都是把(ax+b)(cx+d)先整理为ax²+bx+c的形式后，再通过配方才能把它们转化为a(x-h)²+k的形式。这个过程不仅环节多、运算量大，且易出错。而我的做法是由(x+a)(x+b)直接转化为(x-h)²+k的形式。这不仅减少了中间环节，而且运算步骤少，运算量小，有的仅仅用心算就行了。第七页，共二十页，2022年，8月28日我这种做法有没有依据？是怎么做的呢？这就是我今天向大家汇报的内容。它是我基于对平方差公式的广义理解的实际应用。下面先我们来回顾平方差公式。一、平方差公式(x+y)(x-y)=x²-y²

这个公式除了课标里告诉我们性质及应用以外，我们还应该获得这样一个信息：这个公式是在告诉我们等式两边的运算方式发生了相互转换：即积与平方差这两种运算方式能够相互转化。今天我们着重探究积是怎么直接转变为平方差的。即ab=()²-()²的形式。这个平方差的底数是多少呢？我们设：x+y=ax-y=b解得x=，y=.所以我们得到公式：ab=()²-()².

这就告诉我们，任何两个因数的积都能表示成平方差的形式，而且积的大小跟这两个数的和与它们的差的大小相关。如果两个因数的和一定，它们的积就只跟它们的差相关了，即两个因数和一定时，它们的差越大这个积就越小，差越小时积就越大，平方幂（差为0时）是最大的积.第八页，共二十页，2022年，8月28日二、平方差公式的几何意义如果我们在数轴上任取两点表示a、b。则表示以a、b为端点的线段的中点表示的数；表示以a、b为端点的线段长的一半。则这个平方差的几何意义就是：任何两个数的积等于以这两个数为端点的线段中点表示的数与这个线段长度的一半的平方差。ba

因此，我们把形如(ax+b)(ax+c)直接可以转化为(ax+h)²+k的形式了，因为

(ax+b)(ax+c)=［］²-［］²即(ax+b)(ax+c)=(ax+)²-()²所以h=k=-()²第九页，共二十页，2022年，8月28日三、平方差公式的应用问题3不计算把下列各式从大到小排列出来

17×1913×2318²11×2515×218×2814×2216×20

因为：17+19=13+23=18+18=11+25=15+21=8+28=14+22=16+20,18-18〈19-17〈20-16〈21-15〈22-14〈23-13〈25-11〈28-8所以从大到小的排列顺序为：18²17×1916×2015×2114×2213×2311×258×28.第十页，共二十页，2022年，8月28日三、平方差公式的应用问题4解下列方程(x-7)(x-19)=13解：原方程直接化为(x+)²-()²=13

即(x-13)²-6²=13(x-13)²=49

所以x-13=±7x1=20x2=6第十一页，共二十页，2022年，8月28日问题5在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅长方形的挂图，如果要使这个挂图的面积是5400cm2，那么金色的纸边的宽度应该是多少？三、平方差公式的应用解：设金色纸边的宽度是xcm，那么挂图的长为(2x+80)cm，宽为(2x+50)cm，根据挂图面积是5400cm列方程得

(2x+80)(2x+50)=5400所以原方程可化为(2x+)²-()²=5400即(2x+65)²-15²=5400所以2x+65=±75x1=5x2=-70（不合题意,舍去）答：金色纸边的宽度应该是5cm。

第十二页，共二十页，2022年，8月28日问题6某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？

三、平方差公式的应用解：设利润为y元。因每件利润为（x-30）元，卖出（100-x）件，所得利润

y=(x-30)(100-x)因为=35=x-65所以所以当x=65时，y有最大值，y最大=35²

答：这种商品以每件65元出售才能使利润最大，最大利润是1225元。

第十三页，共二十页，2022年，8月28日四、灵活应用平方差公式如果我们机械理解平方差公式的这种应用，能解的问题的“面”就太窄了。前面问题3、问题4、问题5、问题6，都是未知数的系数相同或者相反的。请看问题7某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可销售出500千克，经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应该涨价多少元？解：设每千克涨价x元，则每千克的利润为(x+10)元，日销量为(500-20x)千克。根据商场保证每天盈利6000元列方程得(x+10)(500-20x)=6000因为=255-9.5x=10.5x-245则原方程就化为(255-9.5x)²-(10.5x-245)²=6000第十四页，共二十页，2022年，8月28日四、灵活应用平方差公式可见这种未知数的系数不相同或者不相反时，转化为平方差以后，两项都含有未知数了。这种转化是没有实际意义的，那么是不是平方差公式的这种应用对其就没有作用了呢？答案肯定是否定的。我们采取化归的方法把(x+10)(500-20x)变形为-20(x+10)(x-25)，则(x+10)(x-25)就是我们上面认知的问题类型了。所以原方程就转化为-20(x+10)(x-25)=6000-20(x+)²+20×()²=6000(x-7.5)²=6.25x-7.5=±2.5x1=5x2=10（不合题意,舍去）答：每千克应该涨价5元。第十五页，共二十页，2022年，8月28日问题8某商店经营一种商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件,而销售价每降低1元，平均每天就可以多销售100件，每件商品销售价是多少元时，商店每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？四、灵活应用平方差公式解：设每件商品销售价为x元，商店每天销售这种商品的利润是y元，则

y=(x-2.5)［500+100(13.5-x)］

=-100(x-2.5)(x-18.5)=-100(x-10.5)²+100×8²所以当x=10.5时，y有最大值，y最大=6400答：每件商品销售价是10.5元时，商店每天销售这种商品的利润最大，最大利润是6400元。第十六页，共二十页，2022年，8月28日综上所述，两个二项式的积直接转化为平方差的形式分两种情况：

1.两个二项式的未知数的系数相同的，形如

(ax+b)(ax+c)，直接用公式(ax+b)(ax+c)=(ax+)²-()²

2.两个二项式的未知数的系数不相同的，形如(ax+b)(cx+d)，需要把它化归为未知数系数相同的两个二项式的积的类型上去。化归的时候视情况定，也可以化归为未知数的系数是1，也可以化归为系数相同。第十七页，共二十页，2022年，8月28日另外，两个二项式(ax+b)(ax+c)转化为(ax+h)²+k还有一种求法:(ax+b)(ax+c)=(ax+h)²+(-h+b)(-h+c)

也就是先求出h=再把ax=-h的值代入(ax+b)(ax+c)中，求出：(ax+b)(ax+c)=(-h+b)(-h+c)于是(ax+b)(ax+c)=(ax+h)²+(-h+b)(-h+c)在计算的过程中其实(-h+b)(-h+c)=-()²把（ax+b)(ax+c)=(

ax+)²-()²或者(ax+b)(ax+c)=(ax+h)²+(-h+b)(-h+c)其实是一样的。第十八页，共二十页，2022年，8月28日如：问题4中方程(x-7)(x-19)=13可以将方程变为(x-13)²+(13-7)(13-19)=13问题5中方程(2x+80)(2x+50)=5400可以将方程变形为(2x+65)²+(

-65+80)(-65+50)=5400问题6中y=(x-30)(100-x)=-(x-65)²+(65-30)(65-1