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幂级数的收敛域第一页,共十一页,2022年,8月28日
定理7(逐项求积分)若函数项级数∑un(x)在[a,b]上一致收敛,且每一项都连续,则其和函数在[a,b]
可积,且
定理8(逐项求导)若∑un(x)在I收敛,un(x)在[a,b]上有连续的导数,∑un′(x)在[a,b]上一致收敛,则其和函数在I连续可导,且第二页,共十一页,2022年,8月28日幂级数的一般形式为第三页,共十一页,2022年,8月28日定理1
(阿贝尔第一定理)一、幂级数的收敛域都发散.第四页,共十一页,2022年,8月28日注由定理1知道:幂级数(1)的收敛域是以原点为中心的对称区间.
若以2r表示区间的长度,则r称为幂级数的收敛半径.第五页,共十一页,2022年,8月28日定理2则第六页,共十一页,2022年,8月28日证
根据级数的根式判别法,当时,级数
收敛.当时,级数发散.于是(i)当时,由得幂级数收敛半
径(ii)所以第七页,共十一页,2022年,8月28日(iii)第八页,共十一页,2022年,8月28日第九页,共十一页,2022年,8月28日第十页,共十一页,2022年,8月28
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