幂级数的收敛域

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幂级数的收敛域第一页，共十一页，2022年，8月28日

定理7（逐项求积分）若函数项级数∑un(x)在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]

可积，且

定理8（逐项求导）若∑un(x)在I收敛，un(x)在[a,b]上有连续的导数，∑un′(x)在[a,b]上一致收敛，则其和函数在I连续可导，且第二页，共十一页，2022年，8月28日幂级数的一般形式为第三页，共十一页，2022年，8月28日定理1

(阿贝尔第一定理)一、幂级数的收敛域都发散.第四页，共十一页，2022年，8月28日注由定理1知道:幂级数(1)的收敛域是以原点为中心的对称区间.

若以2r表示区间的长度，则r称为幂级数的收敛半径.第五页，共十一页，2022年，8月28日定理2则第六页，共十一页，2022年，8月28日证

根据级数的根式判别法,当时,级数

收敛.当时,级数发散.于是(i)当时,由得幂级数收敛半

径(ii)所以第七页，共十一页，2022年，8月28日(iii)第八页，共十一页，2022年，8月28日第九页，共十一页，2022年，8月28日第十页，共十一页，2022年，8月28

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