一阶二阶电路时域分析7

§7-1动态电路的方程及其初始条件§7-2一阶电路的零输入响应§7-3一阶电路的零状态响应§7-4一阶电路的全响应§7-5一阶和二阶电路的阶跃响应§7-6一阶和二阶电路的冲激响应§7-7二阶电路的零输入响应§7-8二阶电路的零状态响应和全响应第7章一阶电路和二阶电路的时域分析2、零输入响应零状态响应全响应重点掌握(maincontents)：4、基本信号：阶跃函数和冲激函数3、稳态分量暂态分量1、换路定理三要素法§７-1动态电路的方程及其初始条件7.1.1概述1.动态元件（储能元件）元件电压和电流的约束关系是微分或积分关系。2.动态电路：含有动态元件的电路

电路处于旧稳态开关S闭合

电路处于新稳态RUS+_CSRUS+_USt稳态3.过渡过程电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。过渡状态7.1.2过渡过程产生的条件和原因原因：(2)电路中存在储能元件（L或C）(1)电路有换路存在（如：电源的接通、断开、电路参条件：数改变等所有电路状态的改变）若发生突变，所以电容电压不能突变※从电压电流关系分析SRUS+_CiuCCuiRUS+=S

闭合后同理，所以电感电流不能突变,不满足KVL7.1.3换路定理1.

关于t=0-

与t=0+换路在t=0时刻进行，－∞

0-

00++∞K+–uCUsRCi

t=0初始值：为t=0+时u，i

的值原稳态原稳态终值换路瞬间过渡过程新稳态换路后初始值如在t=t0合上，则t=t0+时刻的值iucC+-求t=0+时刻uc(0+)=？（1）电容2.

换路定理uc(0+)=uc(0-)若i()为有限值（2）电感iLuL+-求t=0+时刻iL(0+)=？iL(0+)=iL(0-)若

u()为有限值(在换路瞬间电容上的电压、电感上的电流不能跃变)求解依据初始值t=0+

时电路中的各电流、电压值7.1.4

初始电压、电流的确定 求解步骤1）求t=0-

时（电路处于原稳态）的uC（0-）、iL（0-）；2）根据换路定则确定uC和iL的初始值；3）画出t=0+（换路后）的等效电路：将电容作为恒压源处理，其大小和方向取决于uC（0+）；将电感作为恒流源处理，其大小和方向取决于iL（0+）；然后，利用该电路确定其它电量的初始值。由于开关闭合前电路已处于稳定，uC(t)不再变化，电路如图

(a)所示。在开关闭合前，电路已处于稳定。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。

+－uS12VR1R28Ω4Ω+－uCCS1Fi1i2ic(a)+－uS12VR1R28Ω4Ω+－uc(0-)(b)解:(1)求开关闭合前的电容电压uC(0-)。t=0-时电路如图(b)所示例1duC/dt=0，故iC=0，电容可看作开路。(2)根据换路定律有(3)画0+等效电路(c)+－uS12VR1R28Ω4Ω+－i1(0+)(c)12Vic(0+)i2(0+)+－uS12VR1R28Ω4Ω+－uCCS1Fi1i2ic(a)例2：换路前电路处于稳态,试求图示电路中各电压和电流的初始值。解：

(1)

求uC(0–)、iL

(0–)42+_RR2R1U8V++4i14_uC_uLiLR3LCt=0-等效电路

(2)

求uC(0+)、iL

(0+)

U_+2RR2R18Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34(3)

由t=0+电路求iC(0+)、uL

(0+)t=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4iC_iLR3iU_+2RR2R18Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR347.2.1

RC电路的零输入响应已知：uC

(0-)=U0求t≥0

的uC和i。§７-2一阶RC电路的响应：仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电一阶电路路，且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。零输入响应：换路后电路激励(电源)为零，仅由电容（电感）初始储能引起的响应。is(t=0)+–uRC+–uCRt≥0电路的KVL方程一阶常系数齐次微分方程01=+RCP特征方程：得：P—特征根由于

uC(0+)=uC(0)=U0

A=uC(0+)=U0通解为

uC=Aept定义：

称为时间常数分析：1）电容上电压随时间按指数规律变化；2）变化的起点是初始值U0，变化的终点是稳态值0；关于时间常数的讨论：0.007U05U000.02U00.05U00.135U00.368U0432ttU0

e-Cut理论上t时，uC达到稳态值；实际上当

t=(3~5)

时，uC达到稳值。当t=

时3）变化的速度取决于时间常数；t0312123越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到稳态所需要的时间越长。4）电路中其它物理量也随时间按指数规律变化t0uCUoi5）能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设

uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C

如图（a）所示电路，在t=0时刻开关S闭合，S闭和前电路处于直流稳态。试求t≥0时的i1(t)、i2(t)、ic(t)。解：画出t=0-电路等效电路如图（b）所示2AS(t=0)CR23Ω0.5Fi1(t)

R1

i2(t)iC(t)(a)6Ω（b）i1(t)

R1

i2(t)2AR23Ω+uc(0-)-由换路定律uc(0-)=2×3=6(v)uc(0+)=uc(0-)=6v例3t≥0时等效电路如图（c）所示从电容两端看入电路等效电阻为（c）i1(t)

R1

i2(t)

uc(t)

R23Ωic(t)2AS(t=0)CR23Ω0.5Fi1(t)

R1

i2(t)iC(t)(a)6Ω例4：图示电路中，开关S合在位置1时电路已达稳态，t=0时开关由位置1合向位置2，试求t≥0时的电流i(t)。1i(a)6Ω+－2i2Ω

0.25FS(t=0)6Ω3Ω+－9V2解：t=0-t=0+t≥0+的等效电路如(b)所示i(b)6Ω+－2i2Ω

0.25F+－u例5求:(1)图示电路S闭合后各元件的电压和电流随时间变化的解：RC

零输入响应u

(0-)=u1(0-)+

u2(0-)=-20Vu1(0-)=4V，u2(0-)=24V。规律，(2）电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。uSC15F++－iC220F250k+－－u

(0+)=u(0-)=-20VuSC

4F+i250k+－－初始储能最终储能电阻耗能+7.2.2RC电路的零状态响应一阶常系数非齐次微分方程uC(0+)=uC(0-)=0换路后(t≥0)电路的KVL方程：换路前电路已处稳态换路瞬间方程的通解=方程的特解

+对应齐次方程的通解sRUS+_C+_iuc零状态响应作用下产生的响应。：电路储能元件初始能量为零，换路后在激励(电源)(1)

求特解与外加激励US的形式相同，又称强制分量。设代入方程，得特解反映了电路的稳态特性，故又称稳态分量。(2)求通解取决于特征根，又称为自由分量(暂态分量)。对应齐次微分方程(3)全解0tuC

(0+)=US+A=0

A=uC

(0+)

US(4)

定积分常数AUS稳态分量暂态分量=US根据换路定则在t=0+时，i连续函数跃变sRUS+_C+_iuc当

t=(3～5)时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。CutUst0tt2t4t5t6u00.632US0.865US0.950US0.982US0.993US0.998USt3)(tu0.632Us当t=

时（5）能量关系电容储存能量：电源提供能量：电阻消耗能量：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。表明RC+-US如图

(a)所示电路,开关闭和前uc(0)=0。求t≥0，ic(t)和

i(t)。

解:由题意uc(0+)=uc(0-)=0,+uC(t)-i(t)

ic(t)6KC5μF+12V-3k(b)例6i(t)

ic(t)+uC(t)-(a)+12V-S(t=0)3K6KC

5μF

t≥0时等效电路如图(b)所示一阶RC电路的全响应及其两种分解方式1.

全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)=RC由uC

(0+)=A+US=U0

A=UoUS(t≥0)uC

(0)=U0uC

(0+)=U0自由(暂态)分量强制(稳态)分量7.2.3RC电路的全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。U0+_RCt=0US+_+_2.

全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应0uCtU0Us1）电容上电压随时间按指数规律变化；2）变化的起点是初始值，变化的终点是稳态值；3）变化的速度取决于时间常数

如图所示电路中，t<0时电路已达稳态，在t=0时开关闭合。求t≥0时的i(t)和u(t)

。例7+－+－Us24V3ΩS(t=0)0.5FIs=2A6Ω+－uCu(t)i(t)解：+－+－Us24V3Ω0.5FIs=2A6Ω+－uCu(t)i(t)t≥0××7.2.4一阶线性电路暂态分析的三要素法一阶电路的数学描述是一阶微分方程,其解的一般形式为：当t=0+则三要素求稳态解

f()

画出换路后的等效电路,在直流激励的情况下,令(C开路,L短路）电路响应的变化曲线tOtOtOtO电路如图

(a)所示，t<0时电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。求电容电压uC和电流i.

解:

(1)

求uC(0+)和i(0+)例8t=0-时，电容C相当于开路如图(b)，t=0+时3AR3IS33VS1R2R120.5F+－6+－R43S2i(a)R33VR22+－6+－R43i(0+)(c)6Vt=0+时的等效电路如(c)所示R33AR22+－3R16(b)IS(2)

求uC(∞)和i(∞).

R33VR22+－6+－R43i(0+)(c)6V①3AR3IS33VS1R2R120.5F+－6+－R43S2i(a)R33VR22+－6+－R43i(∞)(d)(4)

求uC和i。

(3)求τ。

3AR3IS33VS1R2R120.5F+－6+－R43S2i(a)R3R226R43(e)Rt/S0264t/S-1/31/30§７-3一阶RL电路的响应RL电路的零输入响应RC电路的零输入响应Ctu=)(Uoet-τLti=)(Ioet-τRC电路的零状态响应RL电路的零状态响应RC电路的全响应RL电路的全响应时间常数(b)L2H3Ω

+24V

-6Ω2ΩiiL电路如图所示,在t=0时,已知iL(0)=0,求t≥0时iL(t)和i(t)。解:由题意

iL(0+)=iL(0-)=0，例9

3Ω+24V

-S(t=0)

iL

L=2H

2Ω+uL-

6Ω(a)i时间常数t≥0时电路如图(b)所示稳态电流例10如图所示稳态电路，t=0时开关S由a打向b，求t≥0时的u(t)。

+－8VS(t=0)u(t)6A+－4Ω2Ω4Ω4Ω2HabS(t≥0)××+－8Vu(t)+－4Ω2Ω4Ω2H已知：电感无初始储能,t=0时合S1,t=0.2s时合S2，求两0<t<0.2s解:[例11]次换路后的电感电流i(t)。t>0.2si10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-1Ht(s)0.25i(A)1.2620求：t≥0时的电压uL?解：求t≥0电感两端戴维宁等效电路2A2i1+－i14Ω4Ω20.1HuL+－iL开关置于2点电路uoc2uL0.1H+-iLReq+-例7-20S2A2i1+－i14Ω4Ω+－8V0.1H2ΩuL+－iL122i1+-i14Ω4Ω2u-+12V2uL0.1H+-iL10Ω+-2A2i1+－i14Ω4Ω20.1HuL+－iL××1.定义2.

单位阶跃函数的延迟t(t)01t(t-t0)t0017.4.1单位阶跃函数§７-4

阶跃函数及阶跃的响应3.

单位阶跃函数的作用①用单位阶跃函数表示复杂的信号tf(t)0例1At0tf(t)0A(t)At0-A(t-t0)例21t1f(t)02431t1f(t)02431t1f(t)0例32(t-1)-(t-3)-(t-4)t1

02已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。t1

u(t)0－22t1

0－11t1

01

t1021例4解：i+–uCUs(t-t0

)RC+－iK+–uCUsRC+－②在电路中模拟开关的动作t=t0

合闸③起始一个函数④延迟一个函数tf(t)0t0tf(t)0t0tf(t)0t0tf(t)0t0uC

(0-)=0单位阶跃响应：单位阶跃函数作用下的零状态响应tuc1t0i7.4.2

单位阶跃响应iC+–uCR+–s(t)注意的区别和t01ituC10t0i1tiC0激励在

t=t0

时加入，则响应从t=t0开始。不要写为：iC(t-t0)C+–uCRt0注意例:一矩形脉冲电压作用于图示电路。已知uC(0)=0，求uC(t)。us+uCRC+usUs0Tt解：1.Us+uCR+C12t=0~T：t=T

~：矩形脉冲电压作用可相当于一开关电路为零状态响应为零输入响应2.10kΩ10kΩ+-ic100FuC(0-)=010kΩ10kΩ+-ic100FuC(0-)=0解：+补例：下图中uC(0-)=0，求us作用下电流iC(t)？10kΩ10kΩus+-ic100FuC(0-)=00.510t(s)us(V)010kΩ10kΩ+-ic100FuC(0-)=010kΩ10kΩ+-ic100FuC(0-)=0+-ic′100FuC(0-)=05kΩ戴维南等效+-ic100FuC(0-)=05kΩ戴维南等效分段表示为：t(s)iC(mA)01-0.6320.50.368§７-5

冲激函数及冲激响应2.单位冲激函数7.5.1冲激函数