复变函数课件ch6 2-3

2/4/20231第二节用留数定理计算实积分1.计算型积分.2.计算型积分3.计算型积分某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分值，这时计算某些实积分的有效途径之一。

1、计算形如的积分例1解：思考题计算积分引理6.1：

2、计算形如的积分为互质多项式,且满足条件:(1)n-m≥2;

定理6.7

设为有理分式,其中0xa2aka1yza3a4xy..这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,f(z)在C及其内部除去有限孤立奇点外处处解析.取R适当大,使f(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.分析可先讨论最后令即可.根据留数定理得:当充分大时,总可使例2解引理6.2（Jordan引理）：

3、计算形如的积分则(2)Q(x)≠0,xR;(3)m>0.(*)定理6.8

设，其中P(z)及Q(z)是互质多项式且满足条件(1)Q(z)的次数比P(z)的次数高；特别说来,将(*)分开实虚部,就可以得到形如:例3解:192/4/20234.计算上连续,且型积分Sr引理6.3

设f(z)在圆弧于Sr上一致成立,则有证因,于是有分析类似于引理6.1.（小圆弧引理）例5计算积分分析

因在实轴上有一级极点应使封闭路线不经过奇点,所以可取图示路线:解封闭曲线C:由柯西-古萨定理得:

定理6.2.3（推广的留数定理)例6假设已知泊松积分计算反常积分有时要用种种不同的方式来选择积分路径证明弗莱聂尔(Frensnel)积分公式证如图路径，令两端实部与虚部分别相等，得2/4/202327第三节辐角原理及即应用6.3.1对数留数6.3.2辐角原理6.3.3儒歇定理282/4/2023定义：形如的积分称为f(z)的对数留数。注:函数f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.6.3.1对数留数引理6.4(1)设a为f(z)的n级零点,

(2)设b为f(z)的m级极点，则b则a必为函数的一级极点,且必为函数

的一级极点,且证312/4/2023

定理6.9

设C是一条围线，f(z)满足条件:(1)f(z)在C的内部是亚纯的;(2)f(z)在C上解析且不为零；则有式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数.注意:m级的零点或极点算作m个零点或极点.[证毕]由引理和留数定理，得例求

。

解

例求

。

解法二令

，则

为

的一级零点,

.不一定为简单闭曲线,其可按正向或负向绕原点若干圈.

对数留数的几何意义2.辐角原理单值函数等于零结论:(k总为整数)对数留数的几何意义是绕原点的回转次数k由定理6.9及对数留数的几何意义得可计算f(z)在C内零点的个数此结果称为辐角原理392/4/2023如f(z)在围线C上及C内部均解析,且f(z)在C上不为零,则6.3.2辐角原理(2)

f(z)在C内是亚纯的(3)f(z)在C上连续且不为零,则设(1)C是一条围线例1

,试验证辐角原理。

证

故辐角原理成立。

412/4/2023定理6.10(儒歇(Rouche)定理)6.3.3儒歇(Rouche)定理设C是一条围线,函数f(z)及(z)满足条件:

(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;(2)在C上,|f(z)|>|(z)|则f(z)与f(z)+(z)在C内部有同样多的零点,即证在C内部解析[证毕]例2:设n次多项式p(z)=a0zn+…+atzn-t+…+an(a0≠0）满足条件：|at|>|a0|+…