第七章-线性变换-习题答案

3．在中，，，证明：．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．证明任取，则有，于是．4．设是线性变换，如果，证明：．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明当时，由于，可得，因此结论成立．假设当时结论成立，即．那么，当时，有，即对结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切结论都成立．『特别提醒』由可知，结论对也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．证明设是线性空间上的一个可逆变换．对于任意的，如果，那么，用作用左右两边，得到，因此是单射；另外，对于任意的，存在，使得，即是满射．于是是双射．『特别提醒』由此结论可知线性空间上的可逆映射是到自身的同构．．而根据上一题结论可知是单射，故必有，又由于是线性无关的，因此．从而线性无关．反之，若是线性无关的，那么也是的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换，使得，．显然，，．再根据教材中的定理1知，．所以是可逆的．证法2设在基下的矩阵为，即．中的定理2，将线性变换可逆转化成了矩阵可逆．9．设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为．1）求在基下的矩阵；2）求在基下的矩阵，其中且；故在基下的矩阵为．2）由于，，．故在基下的矩阵为．3）由于从到的过渡矩阵为，故在基下的矩阵为．『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，，用作用于上式，得，但，因此．于是，再用作用上式，同样得到．依此下去，可得．从而线性无关．16．证明：与相似，其中是的一个排列．『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．证法1设是一个维线性空间，且是的一组基．另外，记，．于是，在基下，矩阵对应的一个线性变换，即．故与相似．证法２设与．对交换两行，再交换两列，相当于对左乘和右乘初等矩阵和，而即为将中的和交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将的主对角线上的元素变成，这也相当于存在一系列初等矩阵，使得，令，则有，即与相似．『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．17．如果可逆，证明与相似．证明由于可逆，故存在．于是，因此，根据相似的定义可知与相似．19．求复数域上线性变换空间的线性变换的特征值与特征向量．已知在一组基下的矩阵为：1）；4）；5）．解1）设在给定基,下的矩阵为．由于的特征多项式为其中为任意非零常数．当时，方程组，即为解得它的基础解系为，从而的属于特征值的全部特征响向量为，其中为任意非零常数．4）设在给定基下的矩阵为，由于的特征多项式为，故的特征值为，，．当时,方程组，即为求得其基础解系为，故的属于特征值2的全部特征向量为其中为任意非零常数．当时,方程组，即为求得其基础解系为，故的属于特征值的全部特征向量为其中为任意非零常数．故的特征值为（二重），．当时，方程组，即为求得其基础解系为，故的属于特征值1的全部特征向量为其中为任意不全为零的常数．当时，方程组，即为求得其基础解系为，故的属于特征值的全部特征向量为，其中为任意非零常数．『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．24．1）设是线性变换的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，证明：不是的特征向量；2）证明：如果线性空间的线性变换以中每个非零向量作为它的特征向量，那么是数乘变换．证明1）反证法．假设是属于特征值的特征向量，即．而由题设可知，且，故再根据是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此，即．这与矛盾．所以不是的特征向量．2）设是的一组基，则它们也是的个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值，即，．根据1）即知．否则，若，那么，且不是的特征向量，这与中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的，都有，即是数乘变换．25．设是复数域上的维线性空间，是上的线性变换，且．证明：1）如果是的一个特征值，那么是的不变子空间；2）至少有一个公共的特征向量．证明1）设，则，于是，由题设知，因此．根据不变子空间的定义即知